1、第九章 解析幾何,9.1直線的傾斜角、斜率與 直線的方程,知識梳理,雙擊自測,1.直線的傾斜角與斜率 (1)直線的傾斜角 定義:當直線l與x軸相交時,我們取x軸作為基準,把x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當直線l與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為0. 傾斜角的范圍為0,180). (2)直線的斜率 定義:一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=tan ,傾斜角是90的直線斜率不存在. 過兩點的直線的斜率公式 經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2)的直線的斜率公式為k= .,知識梳理,雙擊自測,2.直線方程的五種

2、形式,知識梳理,雙擊自測,1.若過點M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為() A.1B.4 C.1或3D.1或4,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,2.直線3x- y+1=0的傾斜角是() A.30B.60C.120D.135,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.若直線ax+by+c=0經過第二、三、四象限,則有() A.ab0,bc0B.ab0,bc0D.ab0,bc0,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,4.過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,5.直線kx+y+2=-k,當k變化時,所有的直線都過定點.,答案,解析,知識梳理

3、,雙擊自測,自測點評 1.對于直線的五種形式一定要理解其結構特點及適用范圍. 2.斜率的求解可以通過過兩點的直線的斜率公式,也可以通過求傾斜角的正切值來實現. 3.直線的點斜式、斜截式是最常用的形式,點斜式重在突出斜率與定點,斜截式主要體現斜率及在y軸上的截距,都具有非常鮮明的幾何特點.,考點一,考點二,考點三,直線的傾斜角與斜率(考點難度),【例1】 (1)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,(2)若直線l過點P(1,0),且與以A(2,1),B(0, )為端點的線段有公共點,則直線l的斜率的取值范圍為.,答案,解析,考點一,考點二,考

4、點三,方法總結1.任一直線都有傾斜角,但斜率不一定都存在;直線傾斜角的范圍是0,),斜率的取值范圍是R. 2.正切函數在0,)上不單調,借助圖象或單位圓數形結合,確定傾斜角的取值范圍.,考點一,考點二,考點三,對點訓練(1)直線l經過點A(3,1),B(2,-m2)(mR)兩點,則直線l的傾斜角的取值范圍是.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,(2)直線l經過點A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率k的取值范圍是(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,求直線的方程(考點難度) 【例2】 (1)求經過點A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程

5、. (2)求經過點A(- ,3),且傾斜角為直線 x+y+1=0的傾斜角的一半的直線方程.,考點一,考點二,考點三,解:(1)當橫截距、縱截距均為零時,設所求的直線方程為y=kx,此時,直線方程為x+2y+1=0. 綜上所述,所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0.,考點一,考點二,考點三,方法總結1.求直線方程時,應結合所給條件選擇適當的直線方程形式,并注意各種形式的適用條件. 2.涉及截距問題,還要考慮截距為0這一特殊情況. 3.對于點斜式、斜截式方程,使用時要注意分類討論思想的應用.,考點一,考點二,考點三,對點訓練過點P(2,3),并且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線l的方程

6、為.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,直線方程的綜合應用(考點難度) 【例3】 已知直線l:kx-y+1+2k=0(kR). (1)求證:直線l過定點; (2)若直線不經過第四象限,求k的取值范圍; (3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,AOB的面積為S(O為坐標原點),求S的最小值并求此時直線l的方程.,(1)證明:直線l的方程可化為k(x+2)+(1-y)=0,故無論k取何值,直線總經過定點(-2,1). (2)解:當k0時,k0,1+2k0,解得k0; 當k=0時,直線為y=1,符合題意,故k的取值范圍是0,+).,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,方法

7、總結1.直線的方程的綜合問題常與共線、中點、截距、面積等問題進行聯系,其中直線是核心,尤其要重視直線方程的解析式設法. 2.當直線方程的綜合問題求最值時,常常轉化成函數或者不等式問題.,考點一,考點二,考點三,A,B兩點,O為坐標原點,當AOB的面積取到最大值時,直線l的傾斜角為() A.150B.135C.120D.不存在,答案,解析,考點一,考點二,考點三,(2)已知直線l過點P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,如圖所示,求ABO的面積的最小值及此時直線l的方程.,考點一,考點二,考點三,方法二由題意知,直線l的斜率k存在且k0, 則直線l的方程為y-2=k(x-3)(

8、k0),即ABO的面積的最小值為12. 故所求直線的方程為2x+3y-12=0.,易錯警示分類討論思想在直線方程中的應用 直線的點斜式和兩點式方程都是有使用范圍的,點斜式未包含傾斜角為90的情況,兩點式未包含傾斜角為0和90的情況.因此,使用點斜式和兩點式方程的應該對未包含的情況進行討論.,【典例】 過直線l:y=x上的點P(2,2)作直線m,若直線l,m與x軸圍成的三角形的面積為2,則直線m的方程為. 答案:x-2y+2=0或x=2 解析:若直線m斜率不存在,則直線m的方程為x=2,直線m,直線l和x軸圍成的三角形面積為2,符合題意; 若直線m的斜率為0,則直線m與x軸沒有交點,不符合題意;

9、 若直線m的斜率k0, 設其方程為y-2=k(x-2),即x-2y+2=0. 綜上知,直線m的方程為x-2y+2=0或x=2. 答題指導直線方程中,各種直線形式都有各自的適用范圍.當用點斜式設直線方程時,注意斜率不存在問題的討論.,對點訓練直線過點(5,10),且到原點的距離為5,求直線方程.,解:當斜率不存在時,所求直線方程為x-5=0; 當斜率存在時,設其為k, 則所求直線方程為y-10=k(x-5), 即kx-y+(10-5k)=0.,故所求直線方程為3x-4y+25=0. 綜上知,所求直線方程為x-5=0或3x-4y+25=0.,高分策略1.涉及直線的傾斜角與斜率的轉化問題,首先要想到k=tan ,必要時可結合正切函數的圖象. 2.求直線方程常用的方法是直接法和待定系數法,但在特定條件下,應首先考慮下面的設法: (1)已知直線的縱截距,常設方程的斜截式; (2)已知直線的橫截距和