1、1,信號與系統(tǒng),Signals and Systems,第九章 拉普拉斯變換,2,4. 雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；,本章基本內(nèi)容：,1. 雙邊拉普拉斯變換；,2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域；,5. 系統(tǒng)函數(shù)；,6. 單邊拉普拉斯變換；,3. 零極點圖；,3,9.0 引言 Introduction,傅里葉變換是以復指數(shù)函數(shù)的特例 和 為基底分解信號的。對更一般的復指數(shù)函數(shù) 和 ，也理應能以此為基底對信號進行分解。,傅里葉分析方法之所以在信號與LTI系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因為相當廣泛的信號都可以表示成復指數(shù)信號的線性組合，而復指數(shù)函數(shù)是一切 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。,4,通過本章及下一章，

2、會看到拉普拉斯變換和變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題，而且還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯變換與變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。,將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。,5,9.1 拉普拉斯變換,復指數(shù)信號 是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應為 ，則系統(tǒng)對 產(chǎn)生的響應是:,，其中,顯然當 時，就是連續(xù)時間傅里葉變換。,The Laplace Transform,6,一.雙邊拉氏變換的定義：,稱為 的雙邊拉氏變換，其中 。,若 ， 則有:

3、,這就是 的傅里葉變換。,表明：連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在 或是在 軸上的特例。,7,由于,所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣， 的 拉氏變換就是 的傅里葉變換。只要有合適的 存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入 后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。,8,例1.,在 時，積分收斂。,當 時， 的傅里葉變換存在,顯然，在 時，拉氏變換收斂的區(qū)域為 ，包括了 （即 軸）。,9,比較 和 ，顯然有,例2.,與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。,10,由以上例子，可以看出:,1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在

4、收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上的任何復數(shù)都能使拉氏變換收斂。,2. 使拉氏變換積分收斂的那些復數(shù) S的集合，稱為拉氏變換的收斂域 。拉氏變換的收斂域 ROC （Region of Convergence）對拉氏變換是非常重要的概念。,11,3. 不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。,5. 如果拉氏變換的ROC包含 軸，則有,4. 只有拉氏變換的表達式連同相應的收斂域，才能和信號建立一一對應的關(guān)系。,12,二. 拉氏變換的ROC及零極點圖：,例3.,13,可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平行于 軸的直線作為邊界的

5、，ROC的邊界總是與 的分母的根相對應的。,若 是有理函數(shù),14,分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。,將 的全部零點和極點表示在S平面上， 就構(gòu)成了零極點圖。零極點圖及其收斂域可以表示一個 ，最多與真實的 相差一個常數(shù)因子 。,因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法。,15,9.2 拉氏變換的收斂域,可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：,The Region of Convergence for Laplace Transforms,4. 右邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于 軸的直線的右邊。,3. 時限信號的ROC是整個 S 平面。,2. 在ROC內(nèi)無任何極點。,1. ROC是 S 平面

6、上平行于 軸的帶形區(qū)域。,16,若 ，則,表明 也在收斂域內(nèi)。,若 是右邊信號, , 在ROC內(nèi)，則有 絕對可積，即：,17,5. 左邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于 軸的直線的左邊。,若 是左邊信號，定義于 , 在 ROC 內(nèi)， ，則,表明 也在收斂域內(nèi)。,18,6. 雙邊信號的ROC如果存在，一定是 S 平面內(nèi)平行于 軸的帶形區(qū)域。,19,考查零點，令,例2.,有極點,顯然 在 也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個S平面上無極點。,20,當 時，上述ROC有公共部分，,當 時，上述 ROC 無公共部分，表明 不存在。,21,當 是有理函數(shù)時，其ROC總是由 的極點分割的。ROC必

7、然滿足下列規(guī)律：,3. 雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之間的帶形區(qū)域。,2. 左邊信號的ROC一定位于 最左邊極點的左邊。,1. 右邊信號的ROC一定位于 最右邊極點的右邊。,22,例3.,可以形成三種 ROC： ROC： ROC： ROC：,此時 是右邊信號。,此時 是左邊信號。,此時 是雙邊信號。,23,The Inverse Laplace Transform,一.定義：,由,若 在ROC內(nèi)，則有:,9. 3 拉普拉斯反變換,24,當 從 時, 從,拉氏反變換表明: 可以被分解成復振幅為 的復指數(shù)信號 的線性組合。,25,二.拉氏反變換的求法:,對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種

8、方法,即部分分式展開法和留數(shù)法。,1. 將 展開為部分分式。,部分分式展開法：,3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì),對每一項進行反變換。,2. 根據(jù) 的ROC，確定每一項的ROC 。,26,極點：,27,例2.,28,1. 求出 的全部極點。,留數(shù)法（當 是有理函數(shù)時）：,3. 求出 在 ROC 右邊的所有極點處的留數(shù)之和，并加負號，它們構(gòu)成了 的反因果部分。,2. 求出 在 ROC 左邊的所有極點處的留數(shù)之和，它們構(gòu)成了 的因果部分。,29,例3.,的極點 位于ROC的右邊， 位于ROC的左邊。,30,可以用零極點圖表示 的特征。當ROC包括軸時，以 代入 ，就可以得到 。以此為基礎(chǔ)

9、可以用幾何求值的方法從零極點圖求得 的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。,Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot,9.4 由零極點圖對傅里葉變換幾何求值,31,1. 單零點情況：,矢量 稱為零點矢量，它的長度 表示 ,其幅角即為 。,零點 , 要求出 時的 ，可以作兩個矢量 和 ，則 。,32,極點,直接由極點向 點作矢量（稱為極點矢量），其長度的倒量為 ,幅角的負值為 。,2. 單極點情況：,33,因此有:,對有理函數(shù)形式的,3. 一般情況：,34,即：從所有零點向 點作零點矢量，從

10、所有極點向 點作極點矢量。所有零點矢量的長度之積除以所有極點矢量的長度之積即為 。所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和即為 。,當 取為 軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值。考查 在 軸上移動時所有零、極點矢量的長度和幅角的變化，即可得出 的幅頻特性和相頻特性。,35,例1. 一階系統(tǒng)：,36,37,例2. 二階系統(tǒng)：,38,39,1. 當 時， 有兩個實數(shù)極點，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。 起主要作用。隨著 , 兩極點相向移動，向 處靠攏。,2. 當 時，兩極點重合于 處，成為二階極點。系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。,40,3. 進一步減小，則二階 極點分裂為共軛復數(shù) 極點，且隨 的減小而

11、逐步靠近 軸。極點運動的軌跡根軌跡是一個半徑為 的圓周。,此時系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，隨著 ，位于第2象限的極點矢量比第3 象限的極點矢量更短，因此它對系統(tǒng)特性的影響較大（被稱為主極點）。,當 時，由于該極點矢量變得很短，因而 會使 出現(xiàn)峰值。其峰點位于 處，,41,峰值為,在 時，若認為主極點矢量增長 倍時，對應的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時的系統(tǒng)帶寬約為 。,42,4. 當 時，兩極點分別位于 軸上的 處，此時系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)。,系統(tǒng)的相位特性也可以從零極點圖得到。此時，只需考察當動點沿 軸移動時所有極點矢量和所有零點矢量的幅角變化，用所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的

12、幅角之和，即可得到系統(tǒng)的相位特性。,43,例3. 全通系統(tǒng)：,考查零極點對稱分布的系統(tǒng),（一階全通系統(tǒng)）,該系統(tǒng)的 在任何時候都等于1，所以 稱為全通系統(tǒng)。,44,其相位特性,全通系統(tǒng)的零極點分布呈四角對稱特征。,全通系統(tǒng)被廣泛用于對系統(tǒng)進行相位均衡。,45,例4. 最小相位系統(tǒng)：,46,顯然這兩個系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。但零點在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點在右半平面的系統(tǒng)。因此將零極點均位于左半平面的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。,工程應用中設(shè)計的各種頻率選擇性濾波器，如：Butterworth 、Chebyshev、 Cauer濾波器都是最小相位系統(tǒng)。,47,當工程應用中要求實現(xiàn)一個非最小相位系

13、統(tǒng)時，通常采用將一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)級聯(lián)來實現(xiàn)。,從本質(zhì)上講系統(tǒng)的特性是由系統(tǒng)的零、極點分布決定的。對系統(tǒng)進行優(yōu)化設(shè)計，實質(zhì)上就是優(yōu)化其零、極點的位置。,48,49,Properties of the Laplace Transform,9.5 拉氏變換的性質(zhì),拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。,1. 線性（Linearity ）：,若,50,而,ROC擴大為整個S平面。,當 與 無交集時，表明 不存在。,例.,（原因是出現(xiàn)了零極點相抵消的現(xiàn)象）,51,2. 時移性質(zhì)（Time Shifting）:,若,3. S域平移（Shifting in the

14、 s-Domain）:,表明 的ROC是將 的ROC平移了一個 。這里是指ROC的邊界平移。,52,例.,顯然,53,4. 時域尺度變換（Time Scaling）:,若,則,當 時 收斂， 時 收斂,54,可見：若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。,特例,5. 共軛對稱性（Conjugation）：,55,如果 是實信號，且 在 有極點（或零點），則 一定在 也有極點（或零點）。這表明：實信號的拉氏變換其復數(shù)零、極點必共軛成對出現(xiàn)。,當 為實信號時，有：,由此可得以下重要結(jié)論：,或,56,包括,6. 卷積性質(zhì):（Convolution Property）,顯然

15、有:,例.,57,ROC擴大,原因是 與 相乘時，發(fā)生了零極點相抵消的現(xiàn)象。當被抵消的極點恰好在ROC的邊界上時，就會使收斂域擴大。,7. 時域微分:（Differentiation in theTime Domain）,58,8. S域微分:（Differentiation in the s-Domain）,59,9. 時域積分:（Integration in the Time Domain ）,若,包括,60,如果 是因果信號，且在 不包含奇異函數(shù)，則,初值定理,時 ，且在 不包含奇異函數(shù)。,Proof:,將 在 展開為Taylor級數(shù)有：,10. 初值與終值定理: （The Initia

16、l- and Final- Value Theorems),61,對上式兩邊做拉氏變換：,62,如果 是因果信號，且在 不包含奇異函數(shù)， 除了在 可以有單階極點外，其余極點均在S平面的左半邊，則,終值定理,63,的實部 可以大于零，因此,除了在 可以有一階極點外，其它極點均在S平面的左半平面（即保證 有終值），故 的ROC中必包含 軸。表明：,當 時，,64,極點在S平面的分布與信號終值的關(guān)系,65,66,Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform,一. 系統(tǒng)函數(shù)的概念：,以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立

17、LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即,其中 是 的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)。,9.7 用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng),67,這就是LTI系統(tǒng)的傅里葉分析。 即是系統(tǒng)的頻率響應。,這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于復指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。當以 為基底分解信號時，LTI系統(tǒng)對輸入信號的響應就是,如果 的ROC包括 軸，則 和 的ROC必定包括 軸，以 代入，即有,68,連同相應的ROC也能完全描述一個LTI系統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在 及其ROC中一定有具體的體現(xiàn)。,； 而以 為基底分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應就是 。,二. 用系統(tǒng)函數(shù)表征LTI系統(tǒng)：,1. 因果性：,如果

18、時 ，則系統(tǒng)是因果的。,69,如果 時 ，則系統(tǒng)是反因果的。,因此，因果系統(tǒng)的 是右邊信號，其 的ROC必是最右邊極點的右邊。由于反因果系統(tǒng)的 是左邊信號， 的ROC必是最左邊極點的左邊。,應該強調(diào)指出，由ROC的特征，反過來并不能判定系統(tǒng)是否因果。ROC是最右邊極點的右邊并不一定系統(tǒng)因果。,70,2. 穩(wěn)定性：,如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有 。因此 必存在。意味著 的ROC必然包括 軸。,只有當 是有理函數(shù)時，逆命題才成立。,綜合以上兩點，可以得到：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 ，其全部極點必須位于S平面的左半邊。,71,顯然，ROC是最右邊極點的右邊。,的全部極點都在S平面的左半邊。,72,的ROC是最右邊極點的

19、右邊，但 是非有理函數(shù)， ，系統(tǒng)是非因果的。,由于ROC包括 軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。,而對系統(tǒng),仍是非有理函數(shù)，ROC是最右邊極點的右邊，但由于 ，系統(tǒng)是因果的。,73,結(jié) 論：,如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部極點位于S平面的左半平面，則系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。,2. 如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊極點的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最左邊極點的左邊。,74,三. 由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：,是一個有理函數(shù),75,的ROC需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定。,1）如果LCCDE具有一組全部為零的初始條件， 則 的ROC必是最右

20、邊極點的右邊。,2）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是因果的，則 的ROC必是最右邊極點的右邊。,3）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則 的ROC 必包括 軸。,76,四.系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系:,自學。請關(guān)注例9.25、9.26、9.27,五. Butterworth濾波器:,通常Butterworth濾波器的特性由頻率響應的模平方函數(shù)給出。對N階 Butterworth低通濾波器有：,（N為濾波器的階數(shù)）,77,由于,Butterworth濾波器的沖激響應應該是實信號，,將 函數(shù)拓展到整個S平面有：,共有2N個極點,78,表明N階Butterworth低通濾波器模平方函數(shù)的全部2N個極

21、點均勻分布在半徑為 的圓周上。,極點分布的特征：,極點分布總是關(guān)于原點對稱的。,相鄰兩極點之間的角度差為 。,軸上不會有極點。當N為奇數(shù)時在實軸上 有極點，N為偶數(shù)時實軸上無極點。,2N個極點等間隔均勻分布在半徑為 的圓周上。,79,要實現(xiàn)的濾波器應該是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此位于左半平面的N個極點一定是屬于 的。,據(jù)此，確定出 后，也就可以綜合出一個Butterworth 濾波器。,80,9.8 系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示,System Function Algebra and Block Diagram Representations,一.系統(tǒng)互聯(lián)時的系統(tǒng)函數(shù)：,1. 級聯(lián)：,包括,81,3

22、. 反饋聯(lián)結(jié)：,2. 并聯(lián)：,包括,包括,82,二. LTI系統(tǒng)的級聯(lián)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：,LTI系統(tǒng)可以由一個LCCDE來描述。,對其進行拉氏變換有：,是一個有理函數(shù),83,1. 級聯(lián)結(jié)構(gòu)：,將 的分子和分母多項式因式分解,這表明：一個N階的LTI系統(tǒng)可以分解為若干個二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級聯(lián)。在N為偶數(shù)時，可以全部組合成二階系統(tǒng)的級聯(lián)形式。,84,其中,如果N為奇數(shù)，則有一個一階系統(tǒng)出現(xiàn)。,85,2. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)：,將 展開為部分分式 (假定 的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點都是單階的），則有：,將共軛成對的復數(shù)極點所對應的兩項合并:,（N為偶數(shù)時）,86,N為偶數(shù)時又可將任意兩個一階項合并為二階項，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)：,87,The Unilateral Laplace Transform,單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析LCCDE 描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。,一.定義:,如果 是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。,9.9 單邊拉普拉斯變換,88,單邊拉氏變換也同樣存在ROC 。其ROC必然遵從因果信號雙