1、四、小結 思考題,一、偏導數,三、高階偏導數,6.4 偏導數與全微分,二、全微分,一、偏導數,1.【偏導數的定義】,(1)【二元函數在一點處的偏導數】,(2)【二元函數在區域內的偏導數】,注意求偏導的方法！,偏導數的概念可以推廣到二元以上函數,如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 處,(3)【多元函數的偏導數】,例1 . 求,解法1,解法2,在點(1 , 2) 處的偏導數.,先求后代,先代后求再代,【解】,不存在,例7.9 例7.10 例7.11,2.【有關偏導數的幾點說明】,(1),(2),求分界點、不連續點處的偏導數要用定義求；,解,例如,一元函數中在某點可導 連

2、續，,多元函數中在某點偏導數存在 連續，,(3). 【偏導數存在與連續的關系】,？,【解】,【例7.12】,按定義可知：,但函數在原點處并不連續(令y=kx,知極限不存在,故不連續).,偏導數存在,【思考題】連續 偏導數存在.,？,【結論】,連續.,(4). 【偏導數的幾何意義】,如圖,(復習:反函數求導法則的幾何意義),【幾何意義】,復習,一元函數,在,可微,微分,即,二、全微分,由一元函數微分學中增量與微分的關系得,2. 【全增量的概念】,1. 【偏增量與偏微分】,二元函數 對x和對y的偏增量,二元函數 對x和對y的偏微分,3.【全微分定義】,即,【定義】,函數可微的充分條件與必要條件,1

3、. 【可微的必要條件】,事實上,可微,連續,【定理7.2】,即：,可導與可微的關系: 一元函數：在某點的導數存在 微分存在,多元函數：各偏導數存在 全微分存在,？,【結論】多元函數的各偏導數存在并不能保證全微分存在。故偏導數存在是可微分的必要條件而不是充分條件。,即 可微 可偏導,【警惕】若偏導數存在，雖能從形式上寫出,但它不一定是函數的全微分.,但如果再假定多元函數的各個偏導數連續，則可以證明函數是可微分的。即有下面的定理。,(1)習慣上，記全微分為,(3)全微分的定義（或疊加原理）可推廣到三元及三元以上函數,(2)全微分符合疊加原理即：全微分=各偏微分之和,【注】,2.【可微的充分條件】,

4、3. 【充要條件】,（即是定義）,【注意】用全微分定義驗證一個可導函數的可微性只需,?,驗證,例7.14 偏微分在近似計算中的應用。 例7.15,多元函數的極限存在、連續、可偏導、可微、偏導數連續之間的關系,三、高階偏導數,設 z = f (x , y)在域 D 內存在偏導數,若這兩個偏導數仍存在偏導數，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導數 .,按求導順序不同, 有下列四個二階偏導,數:,【定義式】,其余類推,(2) 同樣可得：三階、四階、以及n 階偏導數。,(3) 定義二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數。,【解】,例7.17,說明:,函數在其定義區域內是連續的 ,故求初等函數的高階導,數可以選擇方便的求導順序.,因為初等函數的偏導數仍為初等函數 ,而初等,證明,具備怎樣的條件才能使混合偏導數相等？,(2)【問題】,即混合偏導數與求導次序無關.,即：二階混合偏導數在連續的條件下與求導的先后順序無關。,例7.18,偏導數的定義：,偏導數的計算,高階偏導數,（偏增量比的極限）,純偏導,混合偏導,（相等的條件）,四、小結,可偏導與連續的關系：,可偏導,連續,多元函數全微分的概念；,多元函數全微分的求法；,多元