1、山東省青島市2020屆高三3月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一模）數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，集合，由此能求出【詳解】集合， 集合， 故選：C【點(diǎn)睛】本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題2.已知為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)，b滿足(2i)(abi)=(8i)i，則的值為（）A. 6B. -6C. 5D. -5【答案】A【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)相等的條件求解即可得答案【詳解】，解得的值為6故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式

2、的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題3.已知x，y滿足約束條件，則z=yx-6的最小值是（）A. -3B. C. 0D. 3【答案】A【解析】【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義進(jìn)行求解即可【詳解】作出，滿足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：則的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的直線的斜率，由圖象可知當(dāng)直線過(guò)A點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率最小，由x=3x-y+6=0，解得，此時(shí)的斜率，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法，要熟練掌握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義4.已知函數(shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心的距離為，且對(duì)任意xR都有f(4+x)=f(4-x)，則函數(shù)y

3、=f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間可以為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件求出函數(shù)的周期和，利用條件判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】函數(shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心的距離為，即T=，對(duì)任意都有f4+x=f4-x，函數(shù)關(guān)于x=4對(duì)稱(chēng)，即24+=k+2，即，|0)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若與拋物線交于A，兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，則的值為（）A. B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由點(diǎn)差法得到y(tǒng)1-y2x1-x2y1+y2=2p，因?yàn)檫^(guò)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，所以，

4、方程為：y=x-P2，故，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，再由線段的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，能求出p【詳解】設(shè)Ax1,y1，則，-，得：，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線相交于A，兩點(diǎn)，方程為：y=x-P2，為中點(diǎn)縱坐標(biāo)， ，y2=x2-p2，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，解得故選：C【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化7.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱(chēng)為分形謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出具體操作是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線，將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后

5、，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程得到如圖所示的圖案，若向該圖案隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在黑色部分的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先觀察圖象，再結(jié)合幾何概型中的面積型可得：，得解【詳解】由圖可知：黑色部分由9個(gè)小三角形組成，該圖案由16個(gè)小三角形組成，設(shè)“向該圖案隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在黑色部分”為事件，由幾何概型中的面積型可得：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)圖能力及幾何概型中的面積型，熟記公式即可，屬于?？碱}型8.在中，CE=2EA，則（）A. B. C. D. DE=23CA+13CB【答案】A【解析】【分析】由平面向量的基本定理結(jié)合向量共線定理，即可得解.【詳解】

6、=23(CA-CB)-13CA=13CA-23CB，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理，熟記基本定理即可，屬于?？碱}型9.已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的右頂點(diǎn)且垂直于x軸的直線交C的漸近線于A，B，過(guò)的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交C的漸近線于M，若OAB與的面積比為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角形的面積比等于相似比的平方，可得，即可求出漸近線方程【詳解】由三角形的面積比等于相似比的平方，則，C漸近線方程為yx，故選：B【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了雙曲線的幾何意義的應(yīng)用，考查了三角形面積之比等于相似比這一轉(zhuǎn)化，題目比較基礎(chǔ).10.設(shè)a

7、=0sinxdx，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A. 560B. 1120C. 2240D. 4480【答案】B【解析】【分析】計(jì)算定積分求得的值，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)【詳解】設(shè)，則展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的運(yùn)算，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題11.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱(chēng)為塹堵已知在塹堵中， ，則與平面所成角的大小為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利

8、用向量法能求出CA1與平面所成角的大小【詳解】在塹堵中，BC=22，以B為原點(diǎn)，為x軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，A1C=(-2,22,-2)，平面的法向量，設(shè)與平面所成角的大小為，則，CA1與平面所成角的大小為45故選：B【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題12.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. 13,1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由方程的根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系得：方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線

9、有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線方程可得：當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：k=1，再結(jié)合像圖知函數(shù)f(x)的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是，得解【詳解】因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不相等的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)，易得：當(dāng)直線與函數(shù)f(x)=-x2-32x相切時(shí),方程只有一個(gè)實(shí)根，即只有一個(gè)實(shí)根，故=0，即，k=12或(舍)；當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)?，所以；所以切線方程為，即；又切線方程為，所以，k=fx0=1-lnx0=1，由圖知函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)

10、個(gè)數(shù)的關(guān)系及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線方程，屬中檔題二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若，則_【答案】.【解析】【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得的值【詳解】，則 sin2-cos2sin2+cos2=tan2-1tan2+1=35，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14.已知，且，則的最小值為_(kāi)【答案】4.【解析】【分析】直接利用代數(shù)式的恒等變換和利用均值不等式的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】，2a+8b22a+3b=222=4，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：代數(shù)式的恒等變換，均值不等式

11、的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型15.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，面，且，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)有一個(gè)球，則此球的最大表面積為_(kāi)【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意分析出當(dāng)球和四棱錐內(nèi)切時(shí)球的表面積最大，之后根據(jù)面積分割得到13S四邊形ABCDPD=13S表面積R，從而得到球的半徑.【詳解】在這個(gè)四棱錐內(nèi)有一個(gè)球，則此球的最大表面積時(shí)，對(duì)應(yīng)的球應(yīng)該是內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑最大，設(shè)內(nèi)切球的球心為O半徑為R，連接球心和ABCD四個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成五個(gè)小棱錐，根據(jù)體積分割得到，五個(gè)小棱錐的體積之和即為大棱錐的體積，根據(jù)AB垂直于AD，PD垂直于AB可得到AB垂直于面PDA，故得到AB垂

12、直于PA， 同理得到BC垂直于PC，表面積為：， 此時(shí)球的表面積為：43-522= .故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.球和錐體的內(nèi)切問(wèn)題，通常是應(yīng)用體積分割來(lái)求解.16.在中，B=60，b=3，若c-2am恒成立，則的最小值為_(kāi)【答案】3.【解析】【分析】由正弦定理可得，可表示a=2sinA，c=2sinC=2sin120-A，然后根

13、據(jù)和差角公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)可求c-2a的范圍，進(jìn)而可求【詳解】B=60，b=3，由正弦定理可得，asinA=csinC=332=2，a=2sinA， 3cosA-3sinA=23cosA+60，c-2am恒成立，則m3，即的最小值為3，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，和差角公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔試題三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn，滿足：a1=1，Sn+1-1=Sn+an，數(shù)列bn為等比數(shù)列，滿足b1=4b3，b2=14b1，nN* （）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為Wn，數(shù)列bn的前項(xiàng)

14、和為T(mén)n，試比較Wn與1Tn的大小【答案】（）an=n；bn=(12)n.（） Wn1Tn.【解析】【分析】（）由題意可得數(shù)列an為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，即可得到所求an的通項(xiàng)公式；再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到bn的通項(xiàng)公式；（）由1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得Wn，由等比數(shù)列的求和公式可得Tn，由不等式的性質(zhì)即可得到大小關(guān)系【詳解】（）a1=1，Sn+1-1=Sn+an，可得an+1=an+1，即數(shù)列an為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得an=n；數(shù)列bn為等比數(shù)列，滿足b1=4b3，b2=1414；q=-12不成立，舍去

15、，則bn=(12)n；（）1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1，Wn=1-12+12-13+1n-1n+1 =1-1n+1=nn+11，即有Wnb0)的離心率為12，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，四邊形APBQ的面積為6（）求橢圓的方程；（）若直線的斜率為k(k0)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)M，求證：|MF|PQ|為定值【答案】（）x24+y23=1；（）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（）根據(jù)S四邊形APBQ=12|AB|PQ|=2b2=6，可得b2=3，再根據(jù)離心率求出，即可求出橢圓方程，（）由題意可知F(1,0)，直線的方程

16、為y=k（x-1），根據(jù)韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出PQ，再求出直線的方程可得M的坐標(biāo)，即可求出MF，問(wèn)題得以證明【詳解】（）由：，令x=c可得y=b2a，則|PQ|=2b2a，則 ，可得b2=3e=ca=12，a=2c，a2=b2+c2，a2=4橢圓的方程為x24+y23=1證明：（）由題意可知F(1,0)，直線的方程為y=k（x-1），由x24+y23=1y=k(x-1)，可得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，y1+y2=kx1+x2-2k=-6k4k2+3，設(shè)的中點(diǎn)為N，則N4k24k2+3,-3k4k2+3，則的過(guò)程為y+3k4k2+3=-1kx-4k2

17、4k2+3，令y=0，可得Mk24k2+3,0，|PQ|=1+k2x1+x22-4x1x2= ，|MF|PQ|=14為定值【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查根的判斷式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題20.某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取100件產(chǎn)品作為樣本稱(chēng)出它們的質(zhì)量（單位：毫克），質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品如表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖產(chǎn)品質(zhì)量/毫克頻數(shù)3919352275（）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面22列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的

18、包裝合格與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)？甲流水線乙流水線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)附表：P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式： K2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，n=a+b+c+d）（）由乙流水線的頻率分布直方圖可以認(rèn)為乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N（200，12.22），求質(zhì)量指標(biāo)落在上的概率；參考公式：P(-+)=0.6826，P(-2z+2)=0.9544（）若以頻率作為概率，從甲流水線任取2件產(chǎn)品，求至少有一件產(chǎn)品是

19、合格品的概率【答案】() 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下不能認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)；() 0.8185；(3) 0.9936【解析】【分析】（）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個(gè)數(shù)為100(1-0.04)=96，由此可得22列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求得K2的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得；（）先根據(jù)題中參考公式求出P(-z+2)，再由 即可求出結(jié)果.（）根據(jù)對(duì)立事件概率公式計(jì)算【詳解】（）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個(gè)數(shù)為100（1-0.04）=96所以，22列聯(lián)表是：甲流水線乙流水線總計(jì) 合格品92 96188不合格品8 4 12總計(jì)10010

20、0200所以K2=200(924-968)2100100188121.4182.072，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下不能認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)（）乙流水線的產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N200,12.22，所以P(-z+)=0.6826，P(-2z+2)=0.9544，所以P(-+2)= =12P(-z+)+ 12P(+z+2)=12(0.6826+0.9544)=0.8185，即：P(200-12.2z200+12.22)= P(187.8z224.4)=0.8185，所以質(zhì)量指標(biāo)落在概率是0.8185（）若以頻率作概率，則從甲流水線任取一件產(chǎn)品是不合格品的概率P=0.08，設(shè)“任取兩件產(chǎn)品，至少有一件合格品”為事件，則A-為“任取兩件產(chǎn)品，兩件均為不合格品”，且P(A-)=p2=0.082=0.0064，所以，所以任取兩件產(chǎn)品至少有一件為合格品的概率為0.9936【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，以及正態(tài)分布問(wèn)題，熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想以及正態(tài)分布的特征即可，屬于中檔題21.已知函數(shù)f(x)=x-x22+ax(lnx-1)+a-12（）當(dāng)a0時(shí)，證明：函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；（）若函數(shù)f(x)的極大值等于0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】()見(jiàn)解析；（）a1.【解析】【分析