3.1列代數式表示數量關系-第3課時

反比例關系第三章

代數式【2024新教材】人教版數學

七年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********3.1列代數式表示數量關系-第3課時

反比例關系一、情境導入（10分鐘）展示生活中的兩個場景：場景一：班級組織搬運圖書活動，共有300本圖書需要搬運。當安排5名同學搬運時，每人需搬運60本；若安排10名同學搬運，每人只需搬運30本。場景二：學校食堂準備一批食材做包子，每個包子用餡料20克時，可以做150個包子；若每個包子用餡料30克，則只能做100個包子。引導學生觀察并思考：在這兩個場景中，分別存在哪兩個變量？這兩個變量之間的變化有什么規律？隨著學生的討論與回答，逐步引出本節課的主題——反比例關系，讓學生初步感知反比例關系在生活中的體現

。二、知識新授（20分鐘）（一）反比例關系的概念定義講解：通過上述實例，總結反比例關系的定義。兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，那么這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。用字母表示為\(xy=k\)（\(k\)為常數，\(ka?

0\)）

。例如在搬運圖書場景中，同學人數\(x\)與每人搬運圖書數量\(y\)，\(5??60=10??30=300\)，這里\(300\)就是常數\(k\)，同學人數和每人搬運圖書數量成反比例關系。概念剖析：強調“兩種相關聯的量”，即一個量的變化會引起另一個量的變化；“乘積一定”是判斷反比例關系的關鍵。同時，對比正比例關系（兩種相關聯的量，比值一定），讓學生明確兩者的區別

。（二）反比例關系的性質變量變化規律：深入分析反比例關系中兩個變量的變化規律。當一個量增大時，另一個量會減小；反之，當一個量減小時，另一個量會增大。例如在做包子場景中，每個包子餡料用量增加，包子的個數就會減少

。圖像特點：簡單介紹反比例函數\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數，\(ka?

0\)）的圖像特點，其圖像是雙曲線。當\(k>0\)時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限；當\(k<0\)時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限

。不過在本節課中，主要讓學生對圖像有初步印象，不進行深入的圖像繪制與分析。（三）反比例關系的判斷方法分析數量關系：講解判斷兩種量是否成反比例關系，首先要分析它們是否相關聯，再看它們相對應的乘積是否一定。例如，判斷長方形的面積一定時，長和寬是否成反比例關系。因為長方形面積=長

×

寬，面積一定，也就是長和寬的乘積是定值，所以長和寬成反比例關系

。舉例判斷：給出一些例子，讓學生判斷兩種量是否成反比例關系。如：路程一定，速度和時間。因為路程=速度

×

時間，路程一定，所以速度和時間成反比例關系。總頁數一定，已看頁數和未看頁數。已看頁數+未看頁數=總頁數，是和一定，不是乘積一定，所以已看頁數和未看頁數不成反比例關系

。三、實例探究（15分鐘）小組討論：提出實際問題，組織學生以小組為單位進行討論。問題：某工廠要生產一批零件，每小時生產零件的個數與生產時間成反比例關系嗎？為什么？引導學生從反比例關系的定義出發，分析每小時生產零件個數和生產時間這兩個量的關系。每小時生產零件個數

×

生產時間=零件總數，因為要生產的零件總數是一定的，所以每小時生產零件的個數與生產時間成反比例關系

。成果分享：每個小組選派代表分享討論結果，教師進行點評和總結，強調判斷過程中要緊扣反比例關系的關鍵要素

。四、例題講解（15分鐘）例1：判斷下列各題中的兩種量是否成反比例關系，并說明理由三角形的面積一定，它的底和高。分析：根據三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}ah\)（\(S\)表示面積，\(a\)表示底，\(h\)表示高），面積一定，即\(\frac{1}{2}ah\)為定值，那么\(ah\)也為定值，所以底和高成反比例關系。解答：成反比例關系，因為三角形面積一定時，底和高的乘積是定值。購買筆記本的單價一定，購買的數量和總價。分析：因為總價

÷

數量=單價（一定），是比值一定，不是乘積一定，所以購買的數量和總價成正比例關系，不成反比例關系。解答：不成反比例關系，購買的數量和總價成正比例關系，因為它們的比值一定。例2：已知\(y\)與\(x\)成反比例關系，當\(x=4\)時，\(y=3\)，求當\(x=6\)時，\(y\)的值。分析：因為\(y\)與\(x\)成反比例關系，所以設\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數，\(ka?

0\)）。將\(x=4\)，\(y=3\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，可得\(3=\frac{k}{4}\)，解得\(k=12\)，所以反比例關系式為\(y=\frac{12}{x}\)。再將\(x=6\)代入\(y=\frac{12}{x}\)，求出\(y\)的值。解答：設\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數，\(ka?

0\)），把\(x=4\)，\(y=3\)代入得：\(3=\frac{k}{4}\)，解得\(k=12\)，所以\(y=\frac{12}{x}\)，當\(x=6\)時，\(y=\frac{12}{6}=2\)。五、課堂練習（15分鐘）判斷下列兩種量是否成反比例關系，并說明理由工作總量一定，工作效率和工作時間。圓的周長和它的直徑。被除數一定，除數和商。已知\(a\)與\(b\)成反比例關系，當\(a=5\)時，\(b=8\)，求當\(a=10\)時，\(b\)的值。某車間要加工一批零件，原計劃每天加工40個，30天完成任務。如果要提前5天完成，每天需要加工多少個零件？（用反比例關系解答）教師在學生練習過程中巡視，觀察學生對反比例關系的判斷、運用反比例關系解決問題的情況，及時發現并糾正學生出現的錯誤，對學習困難的學生進行針對性輔導

。六、課堂總結（5分鐘）回顧核心概念：再次強調反比例關系的定義，明確判斷兩種量成反比例關系的關鍵是它們相對應的乘積一定，以及兩個變量的變化規律。總結解題方法：總結判斷反比例關系的方法和利用反比例關系解決問題的步驟，如先設出反比例關系式，再根據已知條件求出常數\(k\)，最后進行計算

。強調實際應用：回顧本節課中生活實例，鼓勵學生在日常生活中繼續尋找反比例關系的應用，體會數學與生活的緊密聯系

。七、作業布置基礎作業判斷下列各題中的兩種量是否成反比例關系，并說明理由長方形的周長一定，它的長和寬。煤的總量一定，每天的燒煤量和能夠燒的天數。分子一定，分母和分數值。已知\(m\)與\(n\)成反比例關系，當\(m=6\)時，\(n=4\)，求\(m\)與\(n\)的關系式，并求當\(m=8\)時，\(n\)的值。拓展作業一個長方形的面積是36平方厘米，它的長和寬成反比例關系。請你列舉出長和寬可能的取值，并在方格紙上畫出幾個這樣的長方形（每個小方格邊長為1厘米），觀察這些長方形的形狀變化，你有什么發現？觀察生活中還有哪些成反比例關系的例子，記錄下來并嘗試用反比例關系的知識進行分析，下節課與同學們分享

。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解1.結合具體情境理解兩個量的反比例關系.2.準確判斷實際問題中的兩個量是否成反比例關系.3.掌握正比例關系與反比例關系的區別.學習目標

某品牌蘋果采摘機器人平均每秒可以完成5m2范圍內蘋果的識別.工作量=工作效率×工作時間該機器人ts能識別的范圍（單位：m2）是5×t=5t.機器人能識別的范圍與所用時間的比值總是一定的（等于5）.因此機器人能識別的范圍與所用時間是成正比例的量，它們成正比例關系.知識點1 反比例關系

一般地，對于工程問題，當工作效率保持不變，工作量與工作時間是成正比例的量，它們成正比例關系.

下面我們來討論，如果工作量保持不變，工作時間與工作效率之間的關系.先看一個實際問題：知識點1 反比例關系

問題北京是全球首個既舉辦過夏季奧運會又舉辦過冬季奧運會的城市，在冬季奧運會前，某賽場計劃造雪260000m3.解答下列問題：（1）根據每天造雪量，計算所需的造雪天數，填寫表3.1-1.每天造雪量/m3500052006500…造雪天數…表3.1-1造雪總量

525040知識點1 反比例關系

（2）每天造雪量和造雪天數這兩個量是怎樣變化的？它們之間有什么關系？每天造雪量/m3500052006500…造雪天數…表3.1-1525040每天造雪量變大造雪天數變小可以發現，造雪天數隨著每天造雪量的變大而變小，而且造雪天數與每天造雪量的乘積一定，總是260000.像這樣，兩個相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的乘積一定，這兩個量就叫作成反比例的量，它們之間的關系叫作反比例關系.知識點2 反比例關系的表示方法

無論x，y如何變化，x與y的乘積始終等于常數k.例1

如圖，四個圓柱形容器內部的底面積分別為10cm2，20cm2，30cm2，60cm2.分別往這四個容器中注入300cm3的水.（1）四個容器中水的高度分別是多少厘米？知識點2 反比例關系的表示方法

例1

（2）分別用x（單位：cm2）和y（單位：cm）表示容器內部的底面積與水的高度，用式子表示y與x的關系，y與x成什么比例關系？知識點2 反比例關系的表示方法

xy=300

y與x成反比例關系.思考

生活中，成反比例關系的例子是很常見的.例如，在購買某種物品時，總價一定，購物的數量與商品的單價成反比例關系，你還能舉出一些例子嗎？知識點2 反比例關系的表示方法

機器加工一批零件，加工的總數量一定時，每小時加工的數量與加工的時間成反比例關系.知識點3 正比例與反比例關系的區別

正比例關系反比例關系兩個相關聯的量x，y的乘積一定，這兩個量就叫作反比例的量，它們之間的關系叫作反比例關系.即xy=k（k是一個確定的值，且k≠0）.例2

判斷下面各題中的兩個量x，y是否成反比例關系，并說明理由.（1）普通投影儀燈泡的使用壽命約為1500小時，它的可使用天數y（天）與平均每天使用的時間x（時）；知識點3 正比例與反比例關系的區別

例2

判斷下面各題中的兩個量x，y是否成反比例關系，并說明理由.（2）一種商品的單價為a（元/件），所花費的錢數y（元）與購買的件數x（件）；知識點3 正比例與反比例關系的區別

解：（2）y=ax,不是反比例關系，因為y與x的比值是定值，是正比例關系.例2

判斷下面各題中的兩個量x，y是否成反比例關系，并說明理由.（3）小明應完成的作業量a一定，他已完成的作業量x和未完成的作業量y；知識點3 正比例與反比例關系的區別

解：（3）x+y=a,不是反比例關系，因為y與x的和是定值.例2

判斷下面各題中的兩個量x，y是否成反比例關系，并說明理由