章末復習第十八章

分式【2025新教材】人教版數學

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********第十八章

分式

章末復習一、知識框架構建

通過以上思維導圖，清晰呈現分式章節的核心內容架構，便于整體把握知識脈絡。二、重點知識回顧與詳解（一）分式的概念定義：一般地，如果\(A\)、\(B\)（\(B\neq0\)）表示兩個整式，且\(B\)中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)就叫做分式

。例如\(\frac{x}{x+1}\)，\(\frac{2}{a-b}\)都是分式，而\(\frac{3}{5}\)，\(\frac{x^2}{3}\)（分母不含字母）不是分式。有意義的條件：分式的分母不能為\(0\)，即當\(B\neq0\)時，分式\(\frac{A}{B}\)有意義。例如對于分式\(\frac{1}{x-2}\)，當\(x-2\neq0\)，即\(x\neq2\)時，該分式有意義。值為零的條件：分式的值為零需同時滿足分子\(A=0\)且分母\(B\neq0\)。如分式\(\frac{x-1}{x+1}\)，當\(x-1=0\)且\(x+1\neq0\)，即\(x=1\)時，該分式的值為\(0\)。（二）分式的運算乘除運算乘除法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即\(\frac{A}{B}??\frac{C}{D}=\frac{A??C}{B??D}\)；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即\(\frac{A}{B}?·\frac{C}{D}=\frac{A}{B}??\frac{D}{C}=\frac{A??D}{B??C}\)（\(B\neq0\)，\(C\neq0\)，\(D\neq0\)）。乘除混合運算：按照從左到右的順序依次進行計算，有括號先算括號內，運算過程中可先對分子分母因式分解，再約分簡化計算。例如\(\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}?·\frac{x-1}{x+1}??\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}??\frac{x+1}{x-1}??\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+1}\)。乘方運算：分式乘方要把分子、分母分別乘方，\((\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}\)（\(B\neq0\)，\(n\)為正整數）

，如\((\frac{2x}{y^2})^3=\frac{(2x)^3}{(y^2)^3}=\frac{8x^3}{y^6}\)。加減運算同分母分式加減：分母不變，分子相加減，即\(\frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}=\frac{A\pmB}{C}\)（\(C\neq0\)）

，例如\(\frac{2a}{a-b}+\frac{a-b}=\frac{2a+b}{a-b}\)。異分母分式加減：先通分，變為同分母的分式，再按照同分母分式加減法的法則進行計算，即\(\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD}\pm\frac{BC}{BD}=\frac{AD\pmBC}{BD}\)（\(B\neq0\)，\(D\neq0\)）。確定最簡公分母是關鍵，如計算\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}\)，最簡公分母是\(6xy\)，通分后得到\(\frac{3y}{6xy}+\frac{2x}{6xy}=\frac{3y+2x}{6xy}\)?；旌线\算：運算順序為先乘方，再乘除，最后加減；有括號先算括號內。例如\((\frac{x^2}{x-1}-x-1)?·\frac{x}{x^2-1}\)，先對括號內化簡，再進行乘除運算。負整數指數冪：當\(n\)是正整數時，\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(aa?

0\)），引入后同底數冪的運算性質適用于整數指數冪。如\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)，\(3^{-2}??3^4=3^{-2+4}=3^2=9\)。科學記數法：絕對值小于\(1\)的數可以用科學記數法表示成\(a??10^{-n}\)的形式，其中\(1\leq\verta\vert???10\)，\(n\)是正整數，\(n\)等于原數中左起第一個非零數前零的個數（含整數位數上的零）

，如\(0.000025=2.5??10^{-5}\)。（三）分式方程概念：分母里含有未知數或含有未知數整式的有理方程叫做分式方程，如\(\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}\)。解法：基本思路是將分式方程化為整式方程，步驟為去分母（方程兩邊同時乘以各分母的最簡公分母）、解整式方程、檢驗（檢驗是否為增根以及是否符合實際意義）。例如解方程\(\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}\)，兩邊同乘\(x(x-2)\)化為整式方程\(3x=2(x-2)\)求解，最后檢驗。列方程解實際問題：步驟包括審題、設未知數、找等量關系、列方程、解方程、檢驗、作答。常見應用于行程、工程、銷售等問題，如行程問題中根據時間、速度、路程關系列方程，工程問題依據工作量、工作效率、工作時間關系列方程

。三、經典例題解析（一）分式概念相關例1：當\(x\)為何值時，分式\(\frac{x^2-9}{x+3}\)有意義？值為\(0\)？分析：對于有意義，分母\(x+3\neq0\)；對于值為\(0\)，需分子\(x^2-9=0\)且分母\(x+3\neq0\)。解答：由\(x+3\neq0\)，得\(x\neq-3\)時，分式有意義；由\(x^2-9=0\)且\(x+3\neq0\)，即\((x+3)(x-3)=0\)且\(x\neq-3\)，解得\(x=3\)時，分式值為\(0\)。（二）分式運算相關例2：計算\((\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-2ab+b^2})?·(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2})\)分析：先對分子分母因式分解，再通分計算括號內式子，最后將除法轉化為乘法進行運算。解答：\(\begin{align*}&(\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{(a-b)^2})?·(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{(a+b)(a-b)})\\=&[\frac{a(a-b)}{(a-b)^2}-\frac{a^2}{(a-b)^2}]?·[\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}-\frac{a^2}{(a+b)(a-b)}]\\=&\frac{a^2-ab-a^2}{(a-b)^2}?·\frac{a^2-ab-a^2}{(a+b)(a-b)}\\=&\frac{-ab}{(a-b)^2}??\frac{(a+b)(a-b)}{-ab}\\=&\frac{a+b}{a-b}\end{align*}\)（三）分式方程相關例3：解方程\(\frac{x}{x-2}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}\)分析：先確定最簡公分母\((x-2)(x-1)(x+2)\)，去分母化為整式方程求解，最后檢驗。解答：方程兩邊同乘\((x-2)(x-1)(x+2)\)得：\(x(x-1)(x+2)-(x-2)(x-1)(x+2)=3(x-2)\)展開化簡求解得\(x=1\)，檢驗：當\(x=1\)時，\((x-2)(x-1)(x+2)=0\)，所以\(x=1\)是增根，原方程無解。例4：某工廠現在平均每天比原計劃多生產\(50\)臺機器，現在生產\(600\)臺機器所需時間與原計劃生產\(450\)臺機器所需時間相同，求原計劃平均每天生產多少臺機器？分析：設原計劃平均每天生產\(x\)臺機器，則現在每天生產\((x+50)\)臺，根據時間相等列方程。解答：由題意得\(\frac{600}{x+50}=\frac{450}{x}\)方程兩邊同乘\(x(x+50)\)得：\(600x=450(x+50)\)解得\(x=150\)檢驗：當\(x=150\)時，\(x(x+50)\neq0\)，所以原計劃平均每天生產\(150\)臺機器。四、針對性練習基礎練習若分式\(\frac{x-2}{x+3}\)無意義，則\(x\)的值為______。計算\(\frac{2a}{a^2-4}-\frac{1}{a-2}\)。解方程\(\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x}\)。提高練習化簡\((\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})?·\frac{a}{a^2-1}\)。關于\(x\)的分式方程\(\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}\)有增根，求\(m\)的值。拓展練習甲、乙兩人分別從相距\(36\)千米的\(A\)、\(B\)兩地同時相向而行，甲從\(A\)地出發至\(1\)千米時，發現有物品遺忘在\(A\)地，便立即返回，取了物品又立即從\(A\)地向\(B\)地行進，這樣甲、乙兩人恰好在\(A\)、\(B\)中點處相遇，又知甲比乙每小時多走\(0.5\)千米，求甲、乙兩人的速度。已知\(a^2-5a+1=0\)，求\(a^2+\frac{1}{a^2}\)和\(a^4+\frac{1}{a^4}\)的值。五、易錯點歸納與復習建議（一）易錯點歸納分式概念混淆：忽略分式有意義的條件，對分式值為\(0\)的條件理解不全面，導致錯誤判斷。運算錯誤：分式運算中，乘除時約分不徹底，加減時通分錯誤，混合運算順序混亂，負整數指數冪計算時符號出錯。分式方程問題：解分式方程忘記檢驗，導致增根未排除；列分式方程解實際問題時，等量關系找錯，單位未統一。（二）復習建議強化概念理解：通過對比整式與分式，加深對分式概念的理解，多做判斷分式有意義、值為\(0\)的練習。勤加練習運算：針對分式運算的各類題型，進行專項練習，注意總結運算技巧和易錯點，提高運算準確性和速度。重視方程學習：熟練掌握分式方程的解法步驟，養成檢驗的習慣；在解決實際問題時，認真審題，借助列表、畫圖等方法準確找出等量關系

。這份復習課件全面梳理了分式章節要點。你可結合自身學習情況，說說練習難度是否合適，或還有哪些知識想重點復習，我會進一步優化內容。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解知識結構分式概念基本性質運算分式方程約分通分乘、除、乘方加、減，及混合運算整數指數冪最簡分式知識回顧知識點一分式一般地，如果

A，B

表示兩個整式，并且

B

中含有字母，那么式子

叫作分式.整式整式分式A÷B=

被除式÷除式=商當______時，分式

有意義當______時，分式

無意義當

時，分式

值為0B≠0B=0A=0，B≠0舉一反三訓練1.若分式

有意義，則實數

x

的取值范圍是（

）A.

x

≠–1

B.

x>

–1C.

全體實數

D.

x=–1Ax+1≠0x≠–12.若分式

的值為0，則

x的值是_____.2x≠0且

x2

–2x=0x=2分式的基本性質：分式的分母與分子乘（或除以）同一個不等于0的________，分式的值________.最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式.約分：把一個分式的分子與分母的________約去.通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式.整式公因式知識點二分式的基本性質其中A，B，C(C

≠0)是整式.不變1.下列各式從左到右的變形，一定正確的是（）C舉一反三訓練×10×10××√×c

可能為02.若實數

m，n

滿足

2m–3n

=

0，且

mn

≠

0，則

的值為______.知識點三分式的運算先乘方，再乘除，然后加減.若有括號，先算括號里面的.加、減法：乘、除法：乘方：混合運算：舉一反三訓練1.計算：2.化簡求值：其中x=4.當x=4時，

知識點四整數指數冪負整數指數冪：運算性質：(1)am·an=am+n

(m，n是整數)(2)

(am)n=amn

(m，n是整數)(3)

(ab)n=anbn

(n是整數)a×10–n

(1

|a|<10，n

是正整數)科學記數法：舉一反三訓練1.計算：2.石墨烯是目前世界上最薄卻又最堅硬同時還是導電性能最好的納米材料，其理論厚度大約僅0.00000000034m.將0.00000000034用科學記數法表示為（

）A.3.4×10-8 B.3.4×10-10C.34×10-11 D.0.34×10-9B知識點五分式方程及其應用1.分式方程：分母中含未知數的方程叫作分式方程.2.分式方程的解法：分式方程去分母整式方程求解x=mx=m

是分式方程的解目標最簡公分母不為0檢驗舉一反三訓練1.解下列分式方程：解：方程兩邊乘x(x+1)，得x2+3(x+1)=x(x+1)解得

x=檢驗：當x=時，x(x+1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.解：方程兩邊乘(x+3)(x–3)，得2x(x–3)=6+2(x+3)(x–3)解得

x=2檢驗：當x=2時，

(x+3)(x–3)

≠0，所以，原分式方程的解為x=2.方程兩邊乘x(x+1)(x–1)，得7(x–1)–6x

=–3(x+1)解得：

x=1檢驗：當x=1時，x(x+1)(x–1)=0，因此x=1不是原分式方程的解.解：原分式方程可化為所以，原分式方程無解.2.若關于x

的方程的解是正數，則m

的取值范圍為__________________.解析：方程兩邊乘x–2，得2x+m–x+1

=3(x–2)解得x=因為方程的解是正數，所以且x–2≠0.

解得m>–7且

m≠–3.m>–7且

m≠–33.某工程隊修建一條1800m的道路，由于采用了新技術，所以工作效率比原計劃提高了20%，結果提前3天完成任務.(1)求這個工程隊原計劃每天修建道路多少米；(2)這項工程，如果要求工程隊比原計劃提前6天完成任務，那么這個工程隊實際每天需修建道路多少米？解：(1)設這個工程隊原計劃每天修建道路

xm.由題意，得方程兩邊乘1.2x，得2160–1800=3.6x解得x=100.檢驗：當

x

=100時，1.2x

≠

0.所以

x

=100是原方程的解.答：這個工程隊原計劃每天修建道路

100m.(2)設這個工程隊實際每天需修建道路

ym.由題意，得方程兩邊乘y，得18y–1800=6y解得y=150.經檢驗：y=150是原方程的解.答：這個工程隊實際每天需修建道路

150m.一、核心考點鞏固考點1

分式的有關概念

AA.甲對、乙不對

B.乙對、甲不對

C.甲和乙都對

D.甲和乙都不對返回2.下列關于分式的判斷正確的是(

)D

返回考點2

分式的基本性質

B

返回4.下列各式變形正確的是(

)D

返回

A

返回

返回考點3

分式的運算7.下列計算正確的是(

)D

返回8.