課標要求1.了解向量的實際背景.2.理解平面向量的概念,理解兩個向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾何意義.5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.【知識梳理】1.向量的有關概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示,此時有向線段的方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的長度(或稱模),記作|AB|.(2)零向量:長度為0的向量,記作0.(3)單位向量:長度等于1個單位長度的向量.(4)平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,記作a∥b.規定:0與任一向量平行.(5)相等向量:長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=b+a(2)結合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法求兩個向量差的運算三角形法則a-b=a+(-b)數乘規定實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作λa(1)|λa|=|λ||a|;(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反;當λ=0時,λa=0λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數λ,使b=λa.[常用結論與微點提醒]1.中點公式的向量形式:若P為線段AB的中點,O為平面內任一點,則OP=12(OA+OB2.OA=λOB+μOC(λ,μ為實數),若點A,B,C共線(O不在直線BC上),則λ+μ=1.3.解決向量的概念問題要注意兩點:一是不僅要考慮向量的大小,更要考慮向量的方向;二是要特別注意零向量的特殊性,考慮零向量是否也滿足條件.【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)|a|與|b|是否相等和a,b的方向無關.()(2)若a∥b,b∥c,則a∥c.()(3)向量AB與向量CD是共線向量,則A,B,C,D四點在一條直線上.()(4)當兩個非零向量a,b共線時,一定有b=λa,反之成立.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)若b=0,則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合,也可以平行,則A,B,C,D四點不一定在一條直線上.2.(人教A必修二P5T3改編)(多選)下列說法錯誤的是()A.非零向量AB與BA是兩平行向量B.若a=b,b=c,則a=cC.若a與b都是單位向量,則a=bD.若兩個單位向量平行,則這兩個單位向量相等答案CD解析易知A,B正確;單位向量a與b的方向均不確定,故C錯誤;兩個單位向量平行,它們的方向可能相反,兩個向量不相等,故D錯誤.3.(蘇教必修二P47T17改編)已知a,b是兩個不共線向量,向量b-ta與12a-32b共線,則實數t=答案1解析由題意知,存在實數λ,使得b-ta=λ12則t=-12λ,4.(北師大必修二P89例6改編)如圖,點O是?ABCD外一點,用OA,OB,OC表示OD=.

答案OA-OB+OC解析由于OD=OC+CD,因此只需將CD用OA,OB表示,而CD=BA=OA-OB,故OD=OC+CD=OC+(OA-OB)=OA-OB+OC.考點一平面向量的概念例1(1)(多選)下列命題正確的有()A.方向相反的兩個非零向量一定共線B.零向量是唯一沒有方向的向量C.若兩個向量相等,則它們的起點相同,終點相同D.“若A,B,C,D是不共線的四點,且AB=DC”?“四邊形ABCD是平行四邊形”答案AD解析方向相反的兩個非零向量必定平行,所以方向相反的兩個非零向量一定共線,故A正確;零向量是有方向的,其方向是任意的,故B錯誤;兩個向量起點相同,終點相同,則兩個向量相等;但兩個向量相等,不一定有相同的起點和終點,故C錯誤;A,B,C,D是不共線的四點,AB=DC,即模相等且方向相同,即平行四邊形ABCD對邊平行且相等,反之也成立,故D正確.(2)設a,b都是非零向量,下列四個條件中,使aa=bb成立的充分條件是(A.a=-b B.a∥bC.a=2b D.a∥b且|a|=|b|答案C解析因為向量aa的方向與向量a方向相同,向量bb的方向與向量b方向相同,且aa所以向量a與向量b方向相同,故可排除選項A,B,D.當a=2b時,aa=2b|故a=2b是aa=bb思維建模平行向量有關概念的四個關注點(1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量,它們均與起點無關.(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量,解題時,不要把它與函數圖象的平移混淆.(4)非零向量a與aa的關系:aa是與a訓練1(1)下列命題中正確的是()A.向量AB的長度與向量BA的長度相等B.向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反C.a與b同向,且|a|>|b|,則a>bD.兩個終點相同的向量,一定是共線向量答案A解析對于A,向量AB與向量BA的長度相等,方向相反,故A正確;對于B,向量a與b平行,且a或b為零向量時,不滿足條件,故B錯誤;對于C,因為向量是既有大小又有方向的量,所以任意兩個向量都不能比較大小,故C錯誤;對于D,兩個終點相同的向量,不一定是共線向量,故D錯誤.(2)如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,則與BC相等的向量為()A.BA B.CDC.AD D.OD答案D解析A,B選項均與BC方向不同,C選項與BC長度不相等,D選項與BC方向相同,長度相等.考點二平面向量的線性運算例2(1)(2025·深圳模擬)在△ABC中,D是線段AB上靠近B的四等分點,E是線段CD上靠近D的三等分點,則AE=()A.-23CA+13CBC.-56CA+12CB D.答案C解析如圖,由題意得CE=23CD,AD=故AE=AC+CE=AC+2=AC+23(AD-AC=13AC+23AD=-13CA+12(CB=-56CA+(2)(2025·大連雙基測試)在△ABC中,若AD=mDB,CD=13CA+λCB,則λ=(A.23 B.1C.-13 D.-答案A解析法一若AD=mDB,則AB=AD+DB=1m可得AD=m1+∴CD=CA+AD=CA+m=CA+m1+m(CB-CA)=11+結合題意,得11+m=13,m解得m=2,λ=23法二過點D作DM∥BC,DN∥AC,分別交AC,BC于點M,N,∵AD=mDB,∴點D在AB上,又CD=13CA+λ∴M為線段AC上靠近C的三等分點,如圖,CD為平行四邊形CMDN的對角線,∴D為線段AB上靠近B的三等分點,∴N為線段BC上靠近B的三等分點,∴λ=23思維建模平面向量線性運算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則;求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數問題可以通過向量的運算將向量表示出來,進行比較,求參數的值.訓練2(1)(2025·長沙調研)已知D是△ABC所在平面內一點,AD=35AB+25AC,A.BD=25BC B.BDC.BD=32BC D.BD答案A解析由AD=35AB+得AB+BD=35AB+得BD=-25AB+得BD=25(-AB+AC)=2(2)(2025·西安模擬)在△ABC中,D在BC上,且BD=2DC,E在AD上,且AD=4AE.若BE=xAB+yAC,則x+y=()A.1312 B.3C.-34 D.-答案C解析因為BD=2DC,所以BD=23則AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=1又AD=4AE,所以AE=1=112AB+則BE=AE-AB=-1112AB+又BE=xAB+yAC,所以x=-1112,y=1則x+y=-1112+16=-考點三共線向量定理的應用例3(1)(2025·泰州調研)設e1,e2是兩個不共線的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)與向量n=ke1-4e2(k∈R)共線,則()A.k=0 B.k=±2C.k=2 D.k=-2答案B解析因為e1,e2是兩個不共線的向量,且m=-e1+ke2,n=ke1-4e2(k∈R)共線,所以存在實數λ∈R,使得m=λn,則-1=kλ,k=-4則k=±2.(2)(2025·衡水調研)已知點O是△ABC的重心,過點O的直線與邊AB,AC分別交于M,N兩點,D為邊BC的中點.若AD=xAM+yAN(x,y∈R),則x+y=()A.32 B.2C.2 D.1答案A解析如圖所示,由三角形重心的性質,可得AOAD=2所以AD=32所以32AO=xAM+y即AO=23xAM+23y易知M,O,N三點共線,可得23x+23y=1,所以x+y=思維建模利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a=λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.(2)當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線,即A,B,C三點共線?AB,AC共線.(3)若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0.(4)OA=λOB+μOC(λ,μ為實數),若A,B,C三點共線(O不在直線BC上),則λ+μ=1.訓練3(1)已知e1,e2是平面內兩個不共線的向量,OA=3e1+2e2,OB=4e1+ke2,OC=5e1-4e2,若A,B,C三點共線,則實數k的值為()A.-1 B.0 C.1 D.2答案A解析法一因為OA=3e1+2e2,OB=4e1+ke2,OC=5e1-4e2,所以AB=OB-OA=(4e1+ke2)-(3e1+2e2)=e1+(k-2)e2,AC=OC-OA=(5e1-4e2)-(3e1+2e2)=2e1-6e2,又A,B,C三點共線,所以存在唯一的實數λ,使得AB=λAC,即e1+(k-2)e2=λ(2e1-6e2),所以2λ=1,-6λ法二根據題意,設OA=xOB+(1-x)OC,則3e1+2e2=[4x+5(1-x)]e1+[kx-4(1-x)]e2,因為e1,e2是平面內兩個不共線的向量,所以4x+5(1-(2)(2025·青島調研)在△ABC中,BC=3BD,CF=2FA,E是AB的中點,EF與AD交于點P.若AP=mAB+nAC(m,n∈R),則m+n=()A.37 B.4C.67答案A解析如圖所示,因為BC=3BD,所以BD=13則AD=AB+13(AC-AB)=23AB因為A,P,D三點共線,所以AP=λAD=23λAB+13λAC(λ∈因為CF=2FA,所以AF=13因為E是邊AB的中點,所以AE=12因為E,P,F三點共線,所以AP=kAE+(1-k)AF=12kAB+1-k3AC(k則2解得k=47,從而m=27,n=故m+n=37等和線等和(高)線定理(1)由三點共線結論推導等和(高)線定理:如圖,由三點共線結論可知,若OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ=1,由△OAB與△OA′B′相似,必存在一個常數k,使得OP'=kOP,則OP'=kOP=kλOA+kμOB,又OP'=xOA+yOB(x,y∈R),∴x+y=k(λ+μ)=k;反之也成立(2)平面內一組基底OA,OB及任一向量OP',OP'=λOA+μOB(λ,μ∈R),若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上,則λ+μ=k(定值);反之也成立,我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.典例給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°,如圖,點C在以O為圓心的圓弧AB上運動,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x+y的最大值是.

答案2解析法一由已知以OA為x軸的正半軸,O為坐標原點,建立直角坐標系(圖略).其中A(1,0),B-12,32,C(cosθ,其中∠則有OC=(cosθ,sinθ)=x(1,0)+y-1即x得x=33sinθ+cosθ,y=233sinx+y=33sinθ+cosθ+233=3sinθ+cosθ=2sinθ+其中0≤θ≤2π3所以(x+y)max=2,當且僅當θ=π3時取得

法二如圖,連接AB交OC于點D,設OD=tOC,由于OC=xOA+yOB,所以OD=t(xOA+yOB).因為D,A,B三點在同一直線上,所以tx+ty=1,x+y=1t由于|OD|=t|OC|=t,當OD⊥AB時t取到最小值12當點D與點A或點B重合時t取到最大值1,故1≤x+y≤2.故x+y的最大值為2.法三(等和線法)連接AB,過C作直線l∥AB,則直線l為以OA,OB為基底的平面向量基本定理系數的等和線,顯然當l與圓弧相切于C1時,定值最大,因為∠AOB=120°,所以OC1=OA+所以x+y的最大值為2.訓練如圖,在△ABC中,H為BC上異于B,C的任一點,M為AH的中點,若AM=λAB+μAC,則λ+μ=.

答案1解析由等和線定理可知λ+μ=AMAH=1一、單選題1.化簡2(a-3b)-3(a+b)的結果為()A.a+4b B.-a-9bC.2a+b D.a-3b答案B解析2(a-3b)-3(a+b)=2a-6b-3a-3b=-a-9b.2.下列命題中正確的是()A.|a|+|b|=|a-b|?a與b方向相反B.在△ABC中,AB+BC+CA=0C.若兩個單位向量互相平行,則這兩個單位向量相反D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a+b的方向與a,b之一的方向一定相同答案B解析對于A,當a,b之一為零向量時,不成立,故A錯誤;對于B,首尾順次相接,B正確;對于C,兩個單位向量互相平行,這兩個單位向量相等或相反(大小相等,方向相反),故C錯誤;對于D,當a+b=0時,零向量的方向是任意的,故D錯誤.3.如圖,e1,e2為互相垂直的單位向量,向量a+b+c可表示為()A.2e1-3e2B.3e1-2e2C.2e1+3e2D.3e1+2e2答案D解析由題意得a=e1+2e2,b=e1-2e2,c=e1+2e2,所以a+b+c=e1+2e2+e1-2e2+e1+2e2=3e1+2e2.4.(2025·蘭州診斷)已知向量a,b不共線,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c與d方向相反,則實數x的值為()A.1 B.-1C.1或-12 D.-1或-答案B解析因為c與d方向相反,所以存在k∈R,使得d=kc,且k<0,即a+(2x-1)b=kxa+kb,因為向量a,b不共線,則kx整理可得x(2x-1)=1,即2x2-x-1=0,解得x=-12或x又k<0,所以x<0,故x=-125.在△ABC中,D為AB的中點,E為CD的中點,設AB=a,AC=b,則AE=()A.12a+14b B.12aC.14a+12b D.14a答案C解析法一因為D為AB的中點,E為CD的中點,所以AE=AC+CE=AC+12CD=AC=14AB+12AC=14法二因為D是AB的中點,所以AD=12又E為CD的中點,所以AE=12(AC+AD=12b+12a=6.(2025·佛山質檢)在△ABC中,AB=a,AC=b,若AC=2EC,BC=2DC,線段AD與BE交于點F,則CF=()A.13a+23b B.13aC.-13a+23b D.-13a答案B解析如圖所示,由AC=2EC,BC=2DC可得D,E分別為BC,AC的中點,由三角形中線的性質可得AF=23又AD=12(AB+AC)=12(a+b所以AF=23×12(a+b)=13(a+因此CF=CA+AF=-b+13(a+b=13a-237.已知D為線段AB上的任意一點,O為直線AB外一點,A關于點O的對稱點為C.若OD=xOB+yOC,則x-y的值為()A.-1 B.0C.1 D.2答案C解析因為A關于點O的對稱點為C,所以OC=-OA,又OD=xOB+yOC,所以OD=xOB-yOA,又因為A,B,D三點共線,所以x-y=1.8.(2025·鄭州聯考)在平行四邊形ABCD中,E是BC的中點,F是CD的中點,DE與BF相交于點G,則AG=()A.23AB+23ADC.13AB+13AD答案A解析連接BD,GC,如圖所示,由題意可知,G為△BCD的重心,設AC∩BD=O,則O為AC的中點,A,O,G,C四點共線,且AO=OC=3OG,所以AG=23AC=23(AB=23AB+二、多選題9.已知P是△ABC所在平面內一點,且滿足|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,則△ABC不可能是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案AD解析設D為BC的中點,則PB+PC=2PD,由已知得|CB|=|2PD-2PA|=2|AD|,∴△ABC為直角三角形,且∠BAC為直角.10.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,AC與BD相交于點O,則下列結論正確的是()A.AC-AD=1B.|OA+2OC|=0C.OA=23CDD.AB+BC+CD+DA=0答案ABD解析對于A,AC-AD=DC=12AB,故A對于B,由題知COAO=CDAB=所以OA+2OC=0,故|OA+2OC|=0,故B正確;對于C,OA=23CA=23(CB+2CD)=23CB+4對于D,AB+BC+CD+DA=0,故D正確.11.下列命題正確的是()A.若A,B,C,D四點在同一條直線上,且AB=CD,則AB=CDB.在△ABC中,若O點滿足OA+OB+OC=0,則O點是△ABC的重心C.若a=(1,1),把a向右平移2個單位,得到的向量的坐標為(3,1)D.在△ABC中,若CP=λCA|CA|+CB|CB答案BD解析對于A,如圖,A,B,C,D四點滿足條件,但AB≠CD,故A錯誤;對于B,設BC的中點為D,當OA+OB+OC=0時,能得到OA=-(OB+OC),所以OA=-2OD,所以O是△ABC的重心,故B正確.對于C,向量由向量的方向和模確定,平移不改變這兩個量,故C錯誤.對于D,根據向量加法的幾何意義知,以CA|CA|,CB|CB|為鄰邊所得到的平行四邊形是菱形,點P在該菱形的對角線上,由菱形的對角線平分一組對角,得P點在∠ACB三、填空題12.在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CD|=.

答案2解析法一如圖,連接AD,BE,CF,因為正六邊形ABCDEF由6個全等的等邊三角形構成,且AB=1,所以|AD|=2,所以|AB+FE+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.法二連接AD,易知AD=2,則|AB+FE+CD|=|ED+FE