第03講：三角函數(shù)性質(zhì)圖像和三角恒等式變換高頻考點(diǎn)突破【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x；把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)，分別記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．考點(diǎn)二：正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．考點(diǎn)三：公式一sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．平方關(guān)系：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商數(shù)關(guān)系：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于這個(gè)角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．考點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.考點(diǎn)六：六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限技巧歸納：1．誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.考點(diǎn)七．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R單調(diào)性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞增；在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞減在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上遞增最值當(dāng)x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心(kπ，0)(k∈Z)(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)對(duì)稱(chēng)軸方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ考點(diǎn)八.函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的步驟如下：考點(diǎn)九兩角和與差的余弦公式名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考點(diǎn)十兩角和與差的正弦公式名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考點(diǎn)十一：兩角和與差的正切公式名稱(chēng)公式簡(jiǎn)記符號(hào)條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考點(diǎn)十二：二倍角的正弦、余弦、正切公式考點(diǎn)十三半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考點(diǎn)十四輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【題型梳理】題型一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系A(chǔ)．7 B． C． D．5【答案】C【分析】利用弦切互化計(jì)算即可.故選：C．A． B． C． D．【答案】D【分析】由誘導(dǎo)公式以及商數(shù)關(guān)系求解即可.故選：D【答案】A故選：A.題型二：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式A． B． C． D．【答案】A故選：A.【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）利用三角恒等變換計(jì)算即可.【答案】(1)題型三：三角形的圖像和性質(zhì)【答案】A【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，即可判斷ABC,由驗(yàn)證法即可代入求解D.故選：A【答案】D故選:D.A． B． C． D．【答案】B故選：B.題型四：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖像的變換和綜合性質(zhì)【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換，可得平移后的函數(shù)解析式，即得答案.故選：B【答案】A故選：A.【答案】D故選：D．題型五：兩角和與差的三角函數(shù)13．（2023春·四川成都·高一成都實(shí)外校考期末）下列化簡(jiǎn)不正確的是（

）【答案】D【分析】利用三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而確定正確答案.故選：D【答案】C【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.故選：C.【答案】B故選:B題型六：二倍角公式的應(yīng)用A． B． C． D．【答案】A故選：A．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩角和的正切公式、二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.故選：D【答案】A故選：A.題型七：降冪公式的應(yīng)用A． B． C． D．【答案】C故選：C．【答案】C故選：C.A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即得.故選：C.題型八：三角函數(shù)恒等式變換其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C所以結(jié)論正確的為①②，故選：C.【答案】D故選：DA． B． C． D．【答案】A故選：A.題型九：三角函數(shù)的綜合應(yīng)用（2）利用整體代換法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可確定值域.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)(2)答案見(jiàn)解析【專(zhuān)題突破】一、單選題A． B． C． D．【答案】A故選：A.【答案】C故選：C.【答案】B故選：B.【答案】C故選：C．【答案】D故選：D.A． B． C． D．【答案】B故選：B．【答案】D故選：D.【答案】C【分析】利用兩角和差公式和誘導(dǎo)公式依次化簡(jiǎn)各個(gè)選項(xiàng)即可.故選：C.【答案】C故選：C.37．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開(kāi)中學(xué)校考期末）2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國(guó)傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊(yùn)含“吉祥團(tuán)圓”美好愿景的名畫(huà)——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫(huà)縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點(diǎn)離地面194cm.小南身高160cm（頭頂距眼睛的距離為10cm），為使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為（

）【答案】D設(shè)小南眼睛所在的位置點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做直線的垂線，垂足為，如圖，故選：D.A．①② B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷命題①，結(jié)合平方關(guān)系，正弦函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式求方程的解，判斷命題②，根據(jù)奇函數(shù)的定義及正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)判斷命題③，根據(jù)三角恒等變換及余弦型函數(shù)的周期公式判斷命題④，由此可得正確選項(xiàng).所以的最小正周期為，命題④正確；故選：D.二、多選題

【答案】ABD故選：ABD．40．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）D．已知扇形弧長(zhǎng)為2，圓心角為，則該扇形的面積為【答案】BCD【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可判定A，根據(jù)弧度與角度的轉(zhuǎn)化可判定B，根據(jù)三角函數(shù)的定義可判定C，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)與面積公式可判定D.故選：BCD．【答案】ABD故選：ABD【答案】AC故選:AC.三、填空題【答案】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得解.故答案為：.【答案】故答案為：.

【分析】根據(jù)題意求出振幅、周期，利用正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】根據(jù)筒車(chē)模型中各量的物理意義及題意可知，筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎?分鐘轉(zhuǎn)1圈，所以筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒到水面的距離（單位：米）【分析】由題意可得的最小正周期為，由奇函數(shù)的定義和周期性，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算可得所