2022-2023學(xué)年安徽省亳州市九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二次函數(shù)定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、y=3x-1是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；B、不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；C、y=3x2+x-1是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；D、y=2x3-1不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．2.已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可【詳解】解：A．因?yàn)椋裕蔄不符合題意；B．因?yàn)椋裕蔅不符合題意；C．因?yàn)椋裕蔆符合題意；D．因?yàn)椋裕蔇不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.在△中，∠，如果，，那么cos的值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的長度，從而可求.【詳解】∵∠，，∴∴故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及余弦的定義，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵.4.如果反比例函數(shù)（a是常數(shù)）的圖象在第一、三象限，那么a的取值范圍是（）A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2【答案】D【解析】【分析】反比例函數(shù)圖象在一、三象限，可得．【詳解】解：反比例函數(shù)（a是常數(shù)）的圖象在第一、三象限，，．故選D．【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵要知道k的決定性作用．5.下列說法中，真命題的個數(shù)是（）①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過三點(diǎn)確定一個圓；A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】①根據(jù)圓的確定，進(jìn)行判斷即可；②根據(jù)三角形的定義進(jìn)行判斷即可；③直角三角形的外心在斜邊上，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，進(jìn)行判斷；④根據(jù)三角形的外心是三條邊的中垂線的交點(diǎn)，進(jìn)行判斷即可；⑤不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓．【詳解】解：①任何三角形有且只有一個外接圓，是真命題；②任何圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形，原說法錯誤，是假命題；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)，是真命題；④三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，原說法錯誤，是假命題；⑤不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，原說法錯誤，是假命題；綜上，真命題的個數(shù)為2個；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓和圓的確定．熟練掌握不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．6.若拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，3），則2c﹣4b﹣9的值是（）A.5 B.﹣1 C.4 D.18【答案】A【解析】【詳解】∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，3），∴-4-2b+c=3，即c-2b=7，∴2c-4b-9=2(c-2b)-9=14-9=5.故選A.7.如圖，直線a∥b∥c，則下列結(jié)論不正確的為（） B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理定理列出比例式，判斷即可．【詳解】A、∵a∥b∥c，∴，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；B、∵a∥b∥c，∴，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；C、∵a∥b∥c，∴，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；D、連接AF，交BE于H，∵b∥c，∴△ABH∽△ACF，∴，本選項(xiàng)結(jié)論不正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，則cosB的值為()A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)sinA=得到∠A的度數(shù)，即可得到∠B的度數(shù)，再根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵sinA=∴∠A=60°∵∠C=90°∴∠B=30°∴cosB=故選B．【點(diǎn)睛】本題是特殊角的銳角三角函數(shù)值的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．9.如圖，正方形的邊長為，動點(diǎn)，同時從點(diǎn)出發(fā)，在正方形的邊上，分別按，的方向，都以的速度運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)運(yùn)動終止，連接，設(shè)運(yùn)動時間為，的面積為，則下列圖象中能大致表示與的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形，分情況討論：①時，根據(jù)，列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象；②時，根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象，再結(jié)合四個選項(xiàng)即可得解．【詳解】①當(dāng)時，∵正方形的邊長為，∴；②當(dāng)時，，所以，與之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有A選項(xiàng)圖象符合，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意，分別求出兩個時間段的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（2，0），點(diǎn)C在第一象限，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點(diǎn)C的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖①，，時，．如圖②，，，則，故；如圖③，，，則，故△；如圖④，，，則△．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.如圖，已知A為反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為B．若的面積為2，則k的值為__________________．【答案】【解析】【分析】再根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到|k|=2，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值．【詳解】解：∵AB⊥y軸，∴S△OAB=|k|，∴|k|=2，∵k＜0，∴k=-4．故答案為：-4．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．12.兩個相似三角形的面積比為1：9，則它們的周長比為_____．【答案】1：3【解析】【分析】相似三角形的周長比等于其對應(yīng)邊長比，而面積比等于對應(yīng)邊長比的平方．【詳解】已知兩個相似三角形的面積比為1：9，相似三角形的面積的比等于相似比的平方，周長的比等于相似比，由此可得這兩個三角形的周長比為1：3，故答案為1：3．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要從三角形其面積比等于周長比的平方來進(jìn)行考查的，難度不大．13.若扇形的圓心角為120°的弧長是12πcm,則這個扇形的面積是______________【答案】4π【解析】【詳解】設(shè)扇形的半徑為R則

∵∴R=18cm，∴S扇形＝=12π×18÷2=108πcm2故答案是：108π.14.如圖的兩條直角邊，，點(diǎn)D沿從A向B運(yùn)動，速度是，同時，點(diǎn)E沿從B向C運(yùn)動，速度為．動點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時運(yùn)動終止．連接．（1）當(dāng)動點(diǎn)運(yùn)動______秒時，與相似；（2）當(dāng)動點(diǎn)運(yùn)動______秒時，．【答案】①.或②.【解析】【分析】（1）分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）如圖所示，過點(diǎn)E作于F，證明，求出，，則，再證明，得到，即，解方程即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，在中，由勾股定理得，當(dāng)時，∴，即，解得；當(dāng)時，∴，即，解得；綜上所述，當(dāng)或時，與相似，故答案為：或；（2）如圖所示，過點(diǎn)E作于F，則，∴，∴，即，∴，，∴∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共2小題，共16分）15.計算：．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)、二次根式、絕對值分別化簡后進(jìn)行合并即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16.已知拋物線過點(diǎn)和，求該拋物線的解析式．【答案】【解析】【分析】把和代入，解方程組求出b、c的值即可得答案.【詳解】解：∵拋物線過點(diǎn)和，∴解方程組，得∴拋物線的解析式是．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式確定字母的值是解題關(guān)鍵.四、（本大題共2小題，共16分．）17.在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．（1）作出關(guān)于O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到；（2）作出以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1的．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)找到點(diǎn)，，，分別連接起來即可得到答案；（2）根據(jù)位似性質(zhì)找到，，，分別連接起來即可得到答案；【小問1詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)找到點(diǎn)，，，分別連接起來，如圖所示，；【小問2詳解】解：根據(jù)位似比為1可得找到，，，分別連接起來，如圖所示，．【點(diǎn)睛】本題考查畫旋轉(zhuǎn)圖及位似圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及位似性質(zhì)．18.用“”和“”分別代表甲種植物和乙種植物，為了美化環(huán)境，采用如圖所示的方案種植：（1）觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下表填寫完整：圖序①②③④14949（2）分別表示出第n個圖形中甲種植物和乙種植物的株數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2），．【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形規(guī)律可知甲種植物是第n個圖形就有n行n列，總數(shù)是n的平方，乙種植物第n個圖形就有行列，總數(shù)是，即可得到答案；（2）根據(jù)圖形規(guī)律即可得到答案；【小問1詳解】解：由圖形可得，甲種植物是第n個圖形就有n行n列，乙種植物第n個圖形就有行列，圖序①②③④14949【小問2詳解】解：：由圖形可得，甲種植物是第n個圖形就有n行n列，乙種植物第n個圖形就有行列，∴第n個圖形中甲種植物和乙種植物的株數(shù)分別為：，．【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形找到每個圖形的排布規(guī)律．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分．）19.已知：如圖，為直徑，C為上一點(diǎn)，和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D．（1）求證：平分．（2）過點(diǎn)O作線段的垂線，垂足為E．若，．求垂線段OE的長．【答案】（1）見詳解；（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)切線性質(zhì)即可得到，根據(jù)可得，即可得到，最后根據(jù)可得，即可得到證明；（2）根據(jù)垂徑定理即可得到，再根據(jù)可得，結(jié)合（1）中，即可得到，可得，即可得到答案．【小問1詳解】證明：∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；【小問2詳解】解：∵，∴，，∵，∴，，∵，，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，相似三角形判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線及垂直得到角度相等．20.小李要外出參加“建國70周年”慶祝活動，需網(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，②分別是她上網(wǎng)時看到某種型號拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿，箱長，拉桿的長度都相等，在上，在上，支桿，請根據(jù)以上信息，解決下列問題．求的長度（結(jié)果保留根號）；求拉桿端點(diǎn)到水平滑桿的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）cm；（2）cm.【解析】【分析】過作于,,根據(jù)求出再求出CD，根據(jù)求出DE,即可求出AC;過作交的延長線于，根據(jù)，求出即可.【詳解】解：過作于,過作交的延長線于，答：拉桿端點(diǎn)到水平滑桿的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.六、（本小題12分）21.如圖，反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)．點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，連接，交軸于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式．（2）求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）點(diǎn)A（，1），M（－3，）是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，可＝，解得或舍去，所以，得到，所以反比例函數(shù)解析式為．（2）由反比例函數(shù)的對稱性可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線的函數(shù)關(guān)系式為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別過、作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)，則，由可求得的面積．【小問1詳解】解：∵點(diǎn)A（，1），M（－3，）是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，＝，解得或舍去，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），∴反比例函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，且A（4，1），．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)，點(diǎn)分別代入得，解得，∴直線的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），如圖，分別過、作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)，則，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積等知識，利用反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．七、（本小題12分）22.如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）有一個點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動，另一個點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)M、N同時停止運(yùn)動，問點(diǎn)M、N運(yùn)動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分別根據(jù)這三種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③當(dāng)BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個單位處．八、（本小題14分）23.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，點(diǎn)D是線段AB上一動點(diǎn)，連接BE.填空:①的值為；②∠DBE的度數(shù)為.(2)類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，點(diǎn)D是線段AB上一動點(diǎn)，連接BE.請判斷的值及∠DBE的度數(shù)，并說明理由.(3)拓展延伸如面3，在(2)的條件下，將點(diǎn)D改為直線AB上一動點(diǎn)，其余條件不變，取線段DE的中點(diǎn)M，連接BM、CM，若AC=2，則當(dāng)△CBM是直角三角形時，線段BE的長是多少?請直接寫出答案.【答案】（1）1，90°；（2），90°，理由見解析；（3）3+或3-【解析】【分析】（1）易得△ABC和△CDE為等腰直角三角形，所以AC=BC，CD=CE，通過證明△ACD≌△BCE，可得AD=BE和∠CAD=∠CBE=45°，進(jìn)而得出答案；（2）通過證明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE=∠CAD=60°，即可求∠DBE的度數(shù)；（3）分點(diǎn)D在線段AB上和BA延長線上兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)可證CM=BM=，即可求DE=，由相似三角形的性質(zhì)可得∠ABE=90°，BE=