2023-2025北京高三（上）期末數學匯編

空間向量的應用

一、單選題

1.（2025北京海淀高三上期末）如圖，正方體/BCD-44GA的棱長為2,分別為棱4A，5c的中點,

產為正方形44CQ邊上的動點（不與“重合），則下列說法中第送的是（）

A.平面跖VP截正方體表面所得的交線形成的圖形可以是菱形

B.存在點尸，使得直線4片與平面跖VP垂直

C.平面跖VP把正方體分割成的兩個幾何體的體積相等

D.點片到平面M7VP的距離不超過百

2.（2023北京東城高三上期末）如圖，在正方體-44GA中，點。是棱上的動點，下列說法中

正確的是（）

①存在點。，使得￡Q〃4C；

②存在點。，使得c?，4c；

③對于任意點。，。到4c的距離為定值；

④對于任意點。，△4C0都不是銳角三角形.

A.①③B.②③C.②④D.③④

3.（2023北京西城高三上期末）如圖,正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直.R是正方形ABCD

及其內部的點構成的集合，5是正方形CDE尸及其內部的點構成的集合.設/8=1,給出下列三個結論：

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@3MeQ^aA^eQj,使EM，BN；

（§）3A/eQ1；3A^eQ2,使瓦Vf與BN所成的角為60。.

其中所有正確結論的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

4.（2024北京房山高三上期末）如圖，在棱長為。的正方體力BCD-44GA中，點?是線段用C上的動點.

給出下列結論：

@APlBDi；

②/尸//平面&CQ；

JT7T

③直線NP與直線4A所成角的范圍是py;

④點P到平面4QD的距離是.

3

其中所有正確結論的序號是.

5.（2023北京朝陽高三上期末）如圖，在棱長為0的正方體/BCD-44GA中，P,。分別為"G，44的

中點，點「在正方體的表面上運動，滿足PTL8。.

給出下列四個結論：

①點7可以是棱。。的中點；

②線段尸7長度的最小值為工a；

2

③點T的軌跡是矩形；

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④點T的軌跡圍成的多邊形的面積為好/.

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題

6.(2025北京昌平高三上期末)如圖，在多面體4BCDE產中，四邊形48。為正方形，DEHCF,G為

線段/尸的中點，AB=CF=WE=2.

(1)求證：助〃平面4EF；

⑵若，平面ABCD,求直線BG與平面AEF所成角的正弦值.

7.(2025北京石景山高三上期末)如圖，在四棱錐尸-N3C。中，平面4BCD,四邊形/BCD是邊長

為1的正方形，E是尸/的中點.

⑴求證：PC//BDE；

(2)求證：PCX.BD-,

(3)若直線BE與平面PCO所成角的正弦值為嚕，求尸/的長度.

8.(2025北京海淀高三上期末)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面/BCD為矩形，P4上AB,PA=AB=1,

AD=2,尸是P4的中點，￡在棱8C上，且￡尸〃平面尸8.

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(1)求證：E是8c的中點；

(2)再從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求平面跖0與平面P/B夾角的余弦值.

條件①：平面尸平面48CZ)；

條件②：PC=46.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

9.(2025北京通州高三上期末)如圖，在四棱錐P-/BCD中，底面/BCD為菱形，且尸8=48=2,PB1

平面/BCD,E是尸C的中點.

P

⑴求證：CD//平面43E；

(2)再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求直線OE與平面43E所成角的正弦值.

條件①：平面尸。C_L平面尸8C；條件②：PD=2也.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

10.(2025北京西城高三上期末)如圖，在三棱柱4BC-4BG中，平面4BC,M、N分別為BB1、

/C的中點，=4B=AC=1.

⑴求證：MN〃平面44C；

(2)若求二面角4-4C-G的大小.

11.(2025北京房山高三上期末)己知三棱柱/8C-4用6中，側面四耳3為菱形，側面為正方形,

441=2,N/3耳=60。，E為NC的中點.

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⑴求證：4c〃平面/麻；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.

(i)求證：C4,平面回旦?；

(ii)求44與平面所成角的正弦值.

條件①：EB=EAl；

條件②：B"B1c.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

12.(2025北京東城高三上期末)如圖，在四棱錐尸中，側面尸4D與底面48CD垂直，△尸4D為正

三角形，底面/BCD為菱形，440=60。，O,E分別為棱AD,尸8的中點.

(1)求證：057/平面尸DC；

(2)求直線AD與平面DEC所成角的正弦值.

13.(2025北京豐臺高三上期末)如圖，在三棱柱48C-481G中，/4,平面4SC,AB1AC,

AB=AC=AAy2,E,F分別為BC,的中點.

⑴求證：EFH平面ACCiAl；

(2)求平面CEF與平面NCG4夾角的余弦值.

14.(2025北京朝陽高三上期末)如圖，在五面體4BCDP0中，尸Z)_L平面4BCD,ADA.CD,ABI/CD,

PQHCD,AD=CD=DP=4,AB=3,E,G分別為30,/尸的中點，連接。G,￡G,CE.

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Po

⑴求證：/尸上平面DCE；

(2)求直線CP與平面DCE所成角的正弦值；

(3)線段BC上是否存在點使得C尸〃平面。GM?若存在，求瞿的值；若不存在，說明理由.

15.(2025北京一六六中高三上期末)如圖，四棱柱HBCO-44GA的底面/BCD是邊長為2的正方形,

。。=3,側面底面/BCD,E是棱8c上一點，03〃平面GED.

(1)求證：E是8c的中點；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知，使四棱柱/BCD-44GA唯一確定,

(i)求二面角。-的余弦值；

Ap

(ii)設直線4c與平面CQE的交點為P,求笠的值.

條件①：CQ=屈;條件②：D、B=后;條件③：AD1QD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

16.(2025北京順義高三上期末)如圖，在直三棱柱N8C-44cl中，E,尸分別為4。，3c的中點.

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(2)若/8=8C=1,AC=4i，4，=1,求平面/BE與平面/FC1夾角的余弦值.

17.(2024北京豐臺高三上期末)如圖，四棱錐尸-48。的底面為正方形，尸/_L底面NBC。，AD=PA,

點、E為P4中點.

(1)求證：ADII平面3CE；

(2)點。為棱8C上一點，直線尸。與平面8CE所成角的正弦值為撞，求與g的值.

15BC

18.(2024北京房山高三上期末)如圖，在四棱錐P-4BCD中，△尸/。為等腰三角形，PDLAD,PA=2也，

底面/8C。是正方形，M,N分別為棱尸。，3c的中點.

⑴求證：小//平面尸/2；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求與平面P8C所成角的正弦值.

條件①：CDLPA；

條件②：PB=143.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

19.(2024北京昌平高三上期末)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，尸D_L平面/BCD,底面/BCD是直角梯

形，ADLDC,AB//DC,AB=AD=2,DC=PD=4,點N是尸。的中點，直線PC交平面4BN于點W.

(1)求證：點W是尸C的中點；

(2)求二面角/-MV-尸的大小.

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20.（2024北京順義高三上期末）如圖，在三棱柱/8C-/4G中，E,F分別為BC,44的中點,

4呂=4G=44=2.

⑴求證：EF〃平面A4cC；

（2）若4/^44,平面44。。，平面44氏4,從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,

求好與平面43c所成角的正弦值.

條件①：41，4G；條件②）：AXALBXCX.條件③）：AB1AC.

注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答記分.

21.（2024北京通州高三上期末）如圖，在多面體43CDE中，V/3C為等邊三角形，AD//CE,

AC±CE,4C=CE=24）=2.點尸為BC的中點，再從下面給出的條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作

為已知.

B

⑴求證：4F_L平面3CE；

2

（2）設點G為BE上一點，且求直線ZC與平面/FG所成角的正弦值.

條件①：平面ZCED，平面N8C；

條件②：BE=2V2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

22.（2024北京石景山高三上期末）如圖，在三棱錐尸-N3C中，平面P/C_L平面48C,PA=PC=PB=2,

2兀

AB=BC,ZAPC=—.

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p

(1)求證：ACLPB-,

(2)求二面角/-PC-8的余弦值.

23.(2024北京朝陽高三上期末)如圖，在四棱錐尸中，ABHDC,ZABC=90°,AB=2DC,側面P5C_L

底面/BCD,E是尸4的中點.

⑴求證：QE〃平面尸8C；

(2)已知4B=3C=2,PB=PC,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使四

棱錐P-4BCD唯一確定，求二面角E-3O-C的余弦值.

條件①：AP=2垃;條件②：APYBC；條件③：直線/P與平面/BCD所成角的正切值為姮.

5

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

24.(2024北京西城高三上期末)如圖，在四棱錐P-/8CD中，底面N8C。是菱形，尸Z)_L平面4BCD,

平面R13_L平面尸4D,￡■為尸區中點，PD=AD=2.

P

⑴求證：481.平面尸4D；

(2)求直線DE與平面PBC所成角的大小；

(3)求四面體尸E3C的體積.

25.(2024北京東城高三上期末)如圖，在直三棱柱/8C-44cl中，NABC=90°,4B=BC=BB、=2,E,F

分別為/氏4G的中點.

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(1)求證：EF//平面NCG4；

(2)若點P是棱3月上一點，且直線ZP與平面班2所成角的正弦值為求線段2尸的長.

26.(2024北京海淀高三上期末)如圖，在四棱柱ABCD-4瑪CQ中，側面/如出是正方形，平面/如聞，

平面/BCD,AB//CD,AD=DC=^AB,M為線段的中點，ADLB.M.

⑴求證：GM//平面前＞24；

(2)求直線AC,與平面兒必￡所成角的正弦值.

27.(2024北京大興高三上期末)如圖.在三棱柱48c-481G中，^4,平面48C,CA=CB=45,

AAt=AB=2,D、E分別為4B、叫的中點.

(1)求證：平面CDEJ■平面；

(2)求直線CE與平面BCq4，所成角的正弦值.

28.(2024北京一六六中高三上期末)如圖在幾何體NBCDEE中，底面/2CQ為菱形，ZABC=60°,AE//DF,

AEVAD,AB=AE=2DF=2.

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E

F

/4工一/夕。

/\\/_

//、\/

------F

(1)判斷ND是否平行于平面CEF,并證明；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求：

(i)平面4BC。與平面CEF所成角的大小；

(ii)求點/到平面CEF的距離.

條件①：面￡/2_1面3。￡

條件②：BDLCE

條件③：EF=CF

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

29.(2023北京通州高三上期末)如圖，在四棱錐尸-/3CD中，底面/BCD為矩形，平面P/D_L平面/8C。,

AB=2,4D=AP=4,M,N分別是8C,PD的中點.

⑴求證:TW〃平面尸/人

(2)再從條件①，條件②兩個中選擇一個作為已知，求平面/"N與平面夾角的余弦值.

條件①：AD1MN；

條件②：AM=AN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

30.(2023北京朝陽高三上期末)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面NBCD為正方形，平面平面

ABCD,AB=4,PA=PD,E,尸分別為的中點.

P

(1)求證：瓦旺平面尸48；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角尸-的余弦值.

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條件①：PDLEF；

2

條件②：PD=-EF.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

31.(2023北京東城高三上期末)如圖，在四棱錐尸-/3CD中，底面/BCD是邊長為2的正方形，PA=2,

PALAB,￡為8c的中點，F為PD上一點、,所//平面尸48.

(1)求證：尸為PD的中點；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求直線ND與平面尸所成角的正弦值.

條件①：ADLPB-,

條件②：尸C=2百.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

32.(2023北京海淀高三上期末)如圖，在四棱錐P-/BCD中，尸D_L平面

ABCD,AD1DC,AB//DC,AB=-DC,PD=AD=1,M為棱PC的中點.

2

(1)證明：皿///平面尸40；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角尸-DM的余弦值.

條件①：PB=6;條件②：BD1BC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

33.(2023北京西城高三上期末)如圖，四邊形為梯形，AB//CD,四邊形/DE尸為平行四邊形.

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⑴求證：CE〃平面

(2)若/8_L平面/DEP,/F_L4D,/F=4D=CQ=1,/B=2,求：

(i)直線48與平面8c尸所成角的正弦值；

(ii)點。到平面8C尸的距離.

34.(2023北京豐臺高三上期末)如圖，已知正方體N8CD-44GA中，點E是棱BC的中點.

(2)若點尸是線段8。的中點，求直線。尸與平面。GE所成角的正弦值.

35.(2023北京昌平高三上期末)如圖，在多面體NBC-44cl中，側面48尾4為矩形，C4L平面4844,

CC]_L平面N3C血=4C=4,CCj=2,AB=3.

(2)求直線4。與平面ABC,所成角的正弦值；

(3)求直線4耳到平面ABC,的距離.

36.(2023北京房山高三上期末)如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面4BCD是邊長為1的正方形，尸工,平

面4BCD,。為棱尸。的中點.

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p

Q

/一%"、■D

BL*—

⑴求證：尸8〃平面/CQ；

(2)再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知,

求：直線尸C與平面/C。所成角的正弦值，以及點P到平面NC。的距離.

條件①：AQLPC.

條件②：平面尸CD；

條件③：CQ=^.

37.(2023北京石景山高三上期末)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，。￡>_1平面以。，△PAD為等邊三角形,

AD//BC,AD=CD=2BC=2,E,歹分別為棱PO,尸3的中點.

⑴求證4B_L平面尸CD；

(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；

PG

(3)在棱尸C上是否存在點G,使得。G〃平面4￡F？若存在，求”的值，若不存在，說明理由.

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參考答案

1.B

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷ABD；利用過正方體中心的截面分正方

體所成兩部分體積關系判斷C.

【詳解】在棱長為2的正方體/BCD-44GA中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則￡>(0,0,0),42,0,0),4(2,0,2),G(0,2,2),Bx(2,2,2),M(l,0,2),NQ,2,0),

對于A,AN=(-1,2,0),MQ=(-1,2,0),即京=冠，而/任直線九3，貝(JMV//M0,

又AN=M=MC\,因此四邊形為平行四邊形，又AM=曲=AN,

則四邊形/MGN為菱形，當點尸與G重合時，平面跖叱截正方體表面所得的交線形成的圖形是菱形，A

正確；

對于B,4瓦=(0,2,0),兩=(0,-2,2),4瓦?兩=-4*0,即44與"N不垂直，

而跖Vu平面因此直線44與平面MAP不垂直，B錯誤；

對于C,線段"N的中點(1,1,1)為正方體/BCD-48cA的中心，平面MAP過該正方體的中心，

由對稱性，平面MAP把正方體分割成的兩個幾何體的體積相等，C正確；

對于D,當點尸(0,1,2)時，W=(-1,1,0),西=(2,2,2),則赤.函=0,而7.函=0,

即。耳_LMN,MPcMN=M,MN,MPu平面MNP,于是。白，平面MAP,

此時點Bi到該正方體中心(1,1,1)的距離V3即為點B［到平面MAP的距離，

是點名到過MN的所有截面距離最大值，因此點名到平面跖\下的距離不超過百，D正確.

故選：B

2.C

【分析】建立以A為原點，分別以冠，而，石的方向為x軸，>軸，z軸正方向得空間直角坐標系/-乎,

設正方體邊長為1,運用空間向量法逐個判斷解決即可.

【詳解】由題知，在正方體/BCD-44GA中，點。是棱上的動點，

建立以A為原點，分別以方,15，石的方向為X軸，》軸，Z軸正方向得空間直角坐標系/-.，設正方

體邊長為1,

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所以4(O,O』),C(1,1,O)C(1,1,1),設0(0,1,。),其中OVaVl,

所以電=（-荏，

當G0=^4C時，力無解，故①錯誤;

當電?丞=-l+O+l-a=O時，解得a=0,故②正確;

因為而=（0,1,。一1）,其中OVaWl,

后諉］，不是定值，故③錯誤;

2'3

因為工=(1,0,-a),西=(0,-1,1”)，其中OVaVl,

文?西力—(X-jo<0

所以cos（0工方）=■G

+力?JI+(1-a1

所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，不可能為銳角三角形,故④正確；

故選：C

3.C

【分析】根據題意，建立空間直角坐標系，假設出W,N的坐標；

對于①，利用空間向量的模長公式與坐標的取值范圍即可判斷；

對于②③，利用賦值法與空間向量的數量積運算即可判斷.

【詳解】因為四邊形CD斯是正方形，所以EDLC。，

又平面48co/平面CDEF,平面4BCDCI平面CDEV=CD,即＜=平面0）￡尸,

所以即，平面/2CA,又/Ou平面N8C。，所以即_L/D,

因為四邊形/BCD是正方形，所以NOLC。，則即,/D,CD兩兩垂直，

所以以。為原點，建立空間直角坐標系，如圖，

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Az

則石(0,0,1),5(1,1,0),

對于①，因為〃￡QI，NEQ2，所以不妨設”(〃也0),N(0,加M,其中0Va,b,加,〃

則肱V=(_Q,冽_"〃)，故|通?|二J/+(加_?2+〃2,

因為04。,6,根,〃<1,所以一1(一6?0,貝!J—1W加一6?1,

所以/W1,(m-b)2<1,/4I,叫加卜加+(加一by+〃24拒,

所以兒ww6，故①錯誤；

對于②，結合①中結論，麗=(。也-1),麗=(T〃L1,"),

假設EM_LBN,則^^7_1_麗，Bp-a+b[m-1)-n=0,gpb(m-l)=a+n,

顯然令。=6="=0,切=1,b("-l)=a+"可以成立，所以假設成立，故②正確；

對于③，結合②中結論，假設四與師所成的角為60。，

EM-BN\-a+b(m-1)-n\]

則cos60°=,即/21/,、22=不，

EM^BNVa+1x^/1+(w-l)"+n22

令a=l,6=〃z=〃=0,貝！]卜。+6(打一1)一〃|=1,+廿+1=&,g(m-l)2+1=6,

所以上述等式成立，故假設成立，故③正確；

綜上：②③正確，①錯誤，所以正確結論的個數是2.

故選：C.

【點睛】關鍵點睛：本題利用圖形的規整性，選擇以以。為原點，建立合適的空間直角坐標系，設

M(a,b,0),N(0,m,n),寫出相關向量，利用空間向量的模長公式來判斷①，利用向量垂直，則其點乘為0,

找到②正確的情況，利用空間向量來解決異面直線夾角問題，即找到③正確的情況.

4.①②④

【分析】建立空間直角坐標系后逐個分析即可得.

【詳解】

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以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

則有￡)(0,0,0)、力(4,0,0)、(0,0,4)、4(4,4,4)、

C(0,a,0)、G(0,Q,Q),

貝！J=(—U,0,—Q)、BD、=(—CL,—4,4)、4G=(—4,4,0)、&Z)=(—4,0,—4)、

Z耳=(()MM)、4A=(-〃,0,0)、AAX=(0,0,a),

設B]P=2B[C,AG[0,1],則/尸=/與+鳥尸=(—加,q,a-九z),

萬?西=4/一/+/一％i=o,^AP1BD],故①正確；

設平面AXCXD的法向量為n=(x/,z),

C.-n=0[-ax+叩=0/、

」，即?八，取尤=1,貝相=1,1,7,

D-n=Q[-ax-az=0

有Nei=—/la+a—a+；l=0，故存_1_就又平面4G。，則/尸//平面4G。，故②正確;

當a=0時，有萬=(0,q,a),止匕時后.而=0+0+0=0,即/P_L4A，

即此時直線NP與直線42所成角為T，故③錯誤;

由元=（1,1,一1）,PAX-AAX-AP=（Az-a,,

則〃=4口=包二詈4="“，故④正確.

向V33

故答案為：①②④.

【點睛】關鍵點睛：對空間中線上動點問題，可設出未知數表示該動點分線段所得比例，從而用未知數的

變化來體現動點的變化.

5.②③④

【分析】以c點為坐標原點建立空間直角坐標系，令正方體/BCD-44GA棱長。=2可簡化計算，得到對

應點和向量的坐標，通過空間向量數量積的運算即可判斷對應的垂直關系，通過計算和幾何關系得點T的軌

跡為四邊形跖GH通過證明得到則點T的軌跡為矩形跖GH即可求解點T的軌跡圍成的多邊形的面積和

線段PT長度的最小值，從而得到答案.

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【詳解】由題知，以C點為坐標原點，以CD,CRCG所在直線分別為Xj,z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系，令正方體/BCD-44GA棱長a=2

則C(0,0,0),0(2,0,0),5(0,2,0),/(2,2,0),G(0,0,2),2(2,0,2),

片(0,2,2),4(2,2,2),尸(1,1,1),設T(x,y,z),

對于①，當點T為棱。2的中點時，7(2,0,1),

貝歷=(1,-1,0),苑=(1,0,2),PT-52=l+0+0=1^0

不滿足尸7,50,所以點T不是棱。2的中點，故①錯誤.

PT=(x-l,y-l,z-l),因為尸TL8Q

所以x—1+2(z—1)=0,

31

當％=0時，z=一,當％=2時，z=—

22

取￡[2,01],,2,2,',G(0,2,￡|,,°，°，|]，

連結所，FG,GH,HE,

則麗=麗=(0,2,0),￡H=FG=(-2,0,1),而.麗=0，即所，

所以四邊形MG"為矩形，

因為市?皿=0,EH-JQ=O,

所以所，BQ,EH1BQ,

又EF和為平面瓦7Gx中的兩條相交直線，

所以80，平面MG",

又麗=卜，心方=卜局，

所以尸為￡G的中點，則尸e平面所G”,

為使尸7,30,必有點Te平面EFGH,

又點T在正方體表面上運動，所以點T的軌跡為四邊形所G8,

又EF=GH=2,EH=FG=5

所以EFwEH,則點7的軌跡為矩形MG〃，故③正確

面積為2x遙=2右，即25a2,故④正確

2

又因為麗=0,0,2),PT^(x-l,y-l,z-l),PTLBQ,

則x—1+2(z—1)=0,即x+22—3=0,

所以x=3-2z,點T在正方體表面運動，

13

則043—2202,解得一WzW—,

22

第19頁/共69頁

所以|PT|=J(x-。，(尸葉+e一1)=瓦二1j+&Tj,

結合點T的軌跡為矩形所G”,

分類討論下列兩種可能取得最小值的情況

當z=l,歹=0或>=2時，\PT\=1,

當>=1,z=；或z=!■時，|尸丁|=或

222

因為1〈好，所以當z=l,y=o或，=2時，尸7取得最小值為1,即1。，故②正確.

22

綜上所述：正確結論的序號是②③④

故答案為：②③④.

【點睛】本題以正方體為載體，考查空間向量在立體幾何中的綜合運用和空間幾何關系的證明，屬于難題,

解題的關鍵是建立空間直角坐標系，設棱長為數值可簡化運算，通過空間向量即可證明和求解對應項.

6.(1)證明見解析

⑵*

【分析】(1)連接NC,設/Cn5D=O,推導出四邊形ZJOGE為平行四邊形，可得出BZ)〃EG,再利用線

面平行的判定定理可證得結論成立；

(2)以點。為坐標原點，DA、DC,DE所在直線分別為x、>、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向

量法可求得直線BG與平面AEF所成角的正弦值.

【詳解】(1)連接/C,設/Cn5D=O,因為四邊形/BCD為正方形，所以。為/C中點.

因為G為4尸的中點，所以OG〃CF,S.OG=]-CF.

2

由已知。E〃CF,S.DE=-CF,所以DEJJOG,DE=OG.

2

所以四邊形。。GE為平行四邊形.所以DO//EG,即8D〃￡G.

因為AD①平面4EF,￡6匚平面4￡尸，所以助〃平面4EF.

(2)因為。E_L平面N8CA,四邊形/BCD為正方形，

第20頁/共69頁

以點。為坐標原點，DA、DC、所在直線分別為x、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

因為/8=B=2DE=2,

所以。（0,0,0）、4（2,0,0）、C（0,2,0）,5（2,2,0）,￡（0,0,1）、尸（0,2,2）、G（l,l,l）,

所以=/￡=（-2,0,1）,/b=（一2,2,2）,

設平面4EF的法向量為〃=(x,%z),

ii?AE=—2x+z=0

則——取x=l,可得3=（1,-1,2）,

n-AF=—2x+2）+2z=0

設直線BG與平面AEF所成角為6,

則s’"=H苑訃

即直線BG與平面AEF所成角的正弦值為叵.

3

7.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)P/=1,或PN=2

【分析】(1)連接/C,BD交于點、O,由線面平行的判定定理可得答案;

(2)由線面垂直的判定定理、性質定理可得答案；

(3)設尸/=6僅＞0),以A為原點，4尸,48所在的直線分別為x，%z軸建立空間直角坐標系，求出平

面尸。的一個法向量，由線面角的向量求法可得答案.

【詳解】(1)如下圖，連接NG8。交于點O,可得點。是/C的中點，連接OE,

所以OE7/PC,又因為OEu平面尸C＜Z平面RDE,

所以PC〃平面5DE；

(2)因為四邊形48C。是邊長為1的正方形，所以NC18。，

又因為PN_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以刃_L3D,

由尸/n/C=N,尸4NCu平面PNC,

得2平面尸/C,又尸Cu平面尸/C,

所以尸C_LBZ)；

第21頁/共69頁

（3）因為E/_L平面4BCD,8/u平面/BCD,所以

由。/_L/3,DA^PA=A,DA,尸/u平面/JD尸，

得/2_L平面/DP,設尸/=60>0）,

以A為原點，尸所在的直線分別為x，%z軸建立空間直角坐標系,

則2（0,0,1），40弓,0］。（1,0,1）,。（1,0,0）,尸（0也0）,

礪=（0《,一11,定=（1,一6,1）,麗=（1,一6,0）,

設J=（x/,z）為平面尸CD的一個法向量，則

PCn=0x-yb+z=0

一，即'A,令了=1,得x=6,z=0,

PD-n=0x-by=0

所以亢=（瓦1,0）,

因為直線BE與平面尸8所成角的正弦值為巫,

10

解得/=1，或/=4,由6>0,得6=1,或6=2,

所以尸/=1,或尸N=2.

【分析】（1）取尸。的中點G,連接GRCG,線面平行的性質有M//CG,結合FG〃CE得到EFGC為平

行四邊形，即可證結論；

（2）根據所選條件，構建合適的空間直角坐標系，應用向量法求面面角的余弦值.

【詳解】（1）取PD的中點G,連接GRCG,又尸是24的中點，則G尸〃/。且=

2

由￡在棱8c上，底面/2C。為矩形，則CE//4D,故Gb//CE,

第22頁/共69頁

由跖//平面PCD,且面￡廠GCc面PCD=CG,則EF//CG,

所以EFGC為平行四邊形，^CE^GF^-AD^-BC,

22

所以E是8c的中點，得證；

(2)選①：^PAB^ABCD,面尸A8c面48CD=48,PA1AB,R4u面尸

所以面/BCD,又底面/BCD為矩形，可構建如下圖示的空間直角坐標系，

則/(0,0,0),5(l,0,0),C(l,2,0),Z)(0,2,0),尸(0,0,1),￡(1,1,0),F(0,0,1),

—?—?1一

所以。￡=(1,-1,0),。/二(0,-2，m，設面互辦的一個法向量為冽=(%//),

m?DE=x-y=0

則,——?1，令x=l,則加=(1,1,4),

m-DF=-2y+-z=0

顯然面PAB的一個法向量為n=(0,1,0),故|cos而，同=網同=—1=~6~'

所以平面EFD與平面PAB夾角的余弦值—；

6

選②：連接NC,底面/5C。為矩形，則4。=仆，而PC=布,尸4=1,

所以尸不=尸。2,即/。，為，又尸/_L4B,=Z都在面ZBCQ內,

所以尸面45C。，又底面/8CQ為矩形，可構建如下圖示的空間直角坐標系,

則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0),尸(0,0,1),￡(1,1,0),F(0,0,1),

…—?—?1一

所以，設面團7。的一個法向量為加=(%//),

m?DE=x-y=0

則7——1,令x=l,則說=(1,1,4),

ffi-DF=-2y+-z=0

顯然面PAB的一個法向量為n=(0,1,0),故|cos范同=!^.,2'-/=—~~~7~，

|研川3<2xl6

后

所以平面EFD與平面PAB夾角的余弦值—;

6

第23頁/共69頁

【分析】（1）由菱形/BCD得CD〃/8,結合線面平行的判定定理，即可證得C。〃平面/3E；

（2）選擇條件①：由E是尸C的中點，PB=AB,得BELPC,結合平面尸DC_L平面P8C,得到2￡，平

面尸。C,得到3E_LCD,進而再結合PB_L平面/BCD,得PB工4B,進而得NB_L平面PBC,

證得尸5,5c,兩兩垂直.以3為原點，建立空間直角坐標系，分別求得詼和平面43E的法向量［的坐標，

結合向量的夾角公式，即可求解；

若選擇條件②，必，平面/BCD得尸3,8。，利用勾股定理及其逆定理可得2亞，BC1CD,進而

ABLBC,再結合尸3_L平面/BCO,得兩兩垂直.以8為原點，建立空間直角坐標系，分別求得

市和平面/BE的法向量）的坐標，結合向量的夾角公式，即可求解；

【詳解】（1）；4BCD為菱形,所以CD〃/反

又因為A8u平面P/B,CDU平面尸NB,

所以CD//平面P/反

（2）若條件①：平面尸DC，平面尸8c.

?.,底面48C。是邊長為2的菱形，PB=AB=2,：.PB=BC=2,

是PC的中點，/.BE±PC

:平面尸DC_L平面P8C,平面POCA平面尸3C=尸C,AE■u平面尸BC,

二8E_L平面尸DC.

「CDu平面PDC,所以BE_LCD.

CDHAB,：.BELAB,

：尸3_L平面A8CZ）,AB,ADu平面/BCD,APB1AB,PB1BC

又PBCBE=B,PB,BEu平面PBC,_L平面PBC.

,?BCu平面PBC,：.AB1BC

：.PB,BC,AB兩兩垂直，

以B為坐標原點，分別以BC,BA,BP為x,%z軸建立空間直角坐標系，

第24頁/共69頁

則3(0,0,0),4(0,2,0),磯1,0,1),2(2,2,0),

所以歷=(一1,一,21),而=(1,0,1),焉=(0,2,q,

設平面ABE的法向量為萬=(Xz),

ii-BE=x+z=0/、

則一,令x=l,得k=1,0,-1,

元?AB=2y=。

設直線。E與平面所成角為6?,

DE-n2

則sin0=cosDE,n\=——=-)=—產

11國同V6xV23

故直線DE與平面ABE所成角的正弦值為也.

3

PB1平面ABCD,BDu平面ABCD,PB1BD

:菱形棱長為2,PB=AB=2

：.BD=y/PD2-PB2=J(2百『一22=242

,:BC=CD=2,所以如=8C2+m,

所以BC_LCD,即BC_L4D.

所以底面/BCD是邊長為2的正方形，所以反

:,尸8J_平面/BCD,AB,BCu平面/BCD,

PB1AB,PB_LBC

所以兩兩垂直.

第25頁/共69頁

以B為坐標原點，分別以BC,BA,為％J,z軸建立空間直角坐標系,

>

y

則*0,0,0),4(020)1(1,0,1)0(220),

所以瓦2,1),屁=(1,0,1),您=(02%

設平面45石的法向量為五=(XJ,Z),

n-BE=x+z=0/、

則__,令x=l,得萬=1,0,-1,

元?4B=2y=0

設直線。E與平面NBE所成角為e,

_.[DE-n\2J3

則sin0=cosDE,n\=一廠=一.

1\DE\\n\V6xV23

故直線DE與平面4BE所成角的正弦值為B.

3

10.(1)證明見解析

(2)i

【分析】(1)取4c的中點。，連接用。、NQ,證明出四邊形"為平行四邊形，可得出MN//4Q,

再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；

(2)推導出以點A為坐標原點，4B、AC.工4所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐

標系，利用空間向量法可求得二面角4-耳C-C的大小.

【詳解】(1)如圖，取4c的中點。，連接耳。、NQ,

因為N、。分別為/C、4c的中點，則N0/44]且NQ=；/4，

因為BBXHAAX且=四，W為的中點，則BXMHAAX且用M,

所以，B\MHNQ且B、M=N0,則四邊形〃4QN為平行四邊形，