福州期中考高三數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，若$f(x)$的圖像在$x=1$處的切線斜率為$3$，則$f(1)$的值為：

A.1B.2C.3D.4

2.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_5=14$，則$a_9$的值為：

A.26B.27C.28D.29

3.設集合$A=\{x|-2\leqx\leq1\}$，$B=\{x|2\leqx\leq5\}$，則$A$與$B$的并集為：

A.$\{x|-2\leqx\leq1\}$B.$\{x|2\leqx\leq5\}$C.$\{x|-2\leqx\leq5\}$D.$\{x|-2\leqx<1\}$

4.若向量$\vec{a}=(1,2)$，向量$\vec{b}=(2,3)$，則$\vec{a}$與$\vec{b}$的點積為：

A.7B.5C.3D.1

5.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，若$a_1=2$，$a_3=16$，則公比$q$的值為：

A.2B.4C.8D.16

6.已知函數$f(x)=x^2+2x+3$，若$f(x)$在區間$[-2,1]$上的最大值為$6$，則$f(0)$的值為：

A.3B.4C.5D.6

7.設函數$f(x)=\frac{1}{x}$，若$f(x)$在區間$(0,+\infty)$上單調遞減，則$f(2)$與$f(4)$的大小關系為：

A.$f(2)>f(4)$B.$f(2)<f(4)$C.$f(2)=f(4)$D.無法確定

8.已知函數$f(x)=\ln(x+1)$，若$f(x)$在區間$(0,+\infty)$上單調遞增，則$f(1)$與$f(2)$的大小關系為：

A.$f(1)>f(2)$B.$f(1)<f(2)$C.$f(1)=f(2)$D.無法確定

9.設集合$A=\{x|2\leqx\leq5\}$，$B=\{x|3\leqx\leq7\}$，則$A$與$B$的交集為：

A.$\{x|2\leqx\leq3\}$B.$\{x|3\leqx\leq5\}$C.$\{x|3\leqx\leq7\}$D.$\{x|2\leqx\leq7\}$

10.已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，若$f(x)$在區間$(-\infty,+\infty)$上連續，則$f(x)$在$x=0$處的極限為：

A.1B.0C.無極限D.無法確定

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，哪些是奇函數？

A.$f(x)=x^3$B.$f(x)=x^2$C.$f(x)=\sinx$D.$f(x)=\cosx$

2.下列數列中，哪些是等差數列？

A.$\{a_n\}=3n-2$B.$\{a_n\}=2^n$C.$\{a_n\}=n^2-1$D.$\{a_n\}=n+1$

3.下列集合中，哪些是實數集$\mathbb{R}$的真子集？

A.$\{x|x<0\}$B.$\{x|x\geq0\}$C.$\{x|x\in\mathbb{N}\}$D.$\{x|x\in\mathbb{Z}\}$

4.下列方程中，哪些方程的解是$x=2$？

A.$x^2-4x+4=0$B.$x^2-4x+5=0$C.$x^2+4x+4=0$D.$x^2+4x+5=0$

5.下列命題中，哪些是正確的？

A.對于任意實數$a$，$a^2\geq0$B.對于任意實數$a$，$a^3\neqa$C.對于任意實數$a$，$a^4\geqa^2$D.對于任意實數$a$，$a^5\neqa$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，則$f(-3)$的值為______。

2.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關于直線$y=x$的對稱點坐標為______。

3.等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+6n$，則該數列的首項$a_1$為______。

4.向量$\vec{a}=(2,3)$和向量$\vec{b}=(1,2)$的夾角余弦值為______。

5.函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$的極值點為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$在區間$[-1,3]$上的最大值和最小值。

2.設等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+6n$，求該數列的前10項和$S_{10}$。

3.已知集合$A=\{x|-2\leqx\leq1\}$，$B=\{x|2\leqx\leq5\}$，求集合$A$與$B$的并集和交集。

4.計算向量$\vec{a}=(2,3)$和向量$\vec{b}=(1,2)$的點積，并判斷這兩個向量的夾角是銳角、直角還是鈍角。

5.求函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處的二階導數$f''(0)$。

6.解下列方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

3x-2y=1

\end{cases}

\]

7.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，若$a_1=2$，$a_3=16$，求該數列的公比$q$。

8.求函數$f(x)=x^2+2x+3$在區間$[-2,1]$上的導數$f'(x)$，并求出$f(x)$在該區間上的極值點。

9.已知函數$f(x)=\ln(x+1)$，求$f(x)$在區間$(0,+\infty)$上的導數$f'(x)$，并討論$f(x)$的單調性。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案：

1.A

2.C

3.C

4.A

5.A

6.D

7.B

8.B

9.B

10.B

二、多項選擇題答案：

1.AC

2.AC

3.AC

4.AD

5.AC

三、填空題答案：

1.2

2.(3,2)

3.1

4.$\frac{3}{5}$

5.$x=1,3$

四、計算題答案及解題過程：

1.解：首先求出$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。在區間$[-1,3]$上，$f(x)$在$x=1$處取得局部最大值$f(1)=2$，在$x=\frac{2}{3}$處取得局部最小值$f\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{11}{27}$。因為$f(-1)=-4$，$f(3)=12$，所以$f(x)$在區間$[-1,3]$上的最大值為$12$，最小值為$-\frac{11}{27}$。

2.解：由等差數列前$n$項和的公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得$a_1=S_1=3\cdot1^2+6\cdot1=9$，$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$為公差。由$S_{10}=3\cdot10^2+6\cdot10=360$，得$a_{10}=a_1+9d=360$。解得$d=10$，因此$S_{10}=\frac{10}{2}(9+360)=1820$。

3.解：集合$A$與$B$的并集為$\{x|-2\leqx\leq5\}$，交集為$\{x|2\leqx\leq3\}$。

4.解：向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot1+3\cdot2=8$，$\|\vec{a}\|=5$，$\|\vec{b}\|=5$，所以$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}=\frac{8}{25}$，$\theta$為銳角。

5.解：$f'(x)=\fracxucofkc{dx}\left(\frac{1}{x^2+1}\right)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，所以$f''(x)=\fracf0yh2od{dx}\left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right)=-\frac{2(x^2+1)^2-2x\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}=-\frac{4x^3+4x}{(x^2+1)^3}$，因此$f''(0)=-\frac{4\cdot0}{(0^2+1)^3}=0$。

6.解：將方程組寫成增廣矩陣形式：

\[

\begin{pmatrix}

2&3&|&8\\

3&-2&|&1

\end{pmatrix}

\]

進行行變換：

\[

\begin{pmatrix}

1&\frac{3}{2}&|&4\\

0&-\frac{13}{2}&|&-11

\end{pmatrix}

\]

得到方程組的解為$x=2$，$y=-\frac{22}{13}$。

7.解：由等比數列的性質$a_3=a_1q^2$，得$q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{16}{2}=8$，所以$q=2\sqrt{2}$或$q=-2\sqrt{2}$。

8.解：$f'(x)=2x+2$，令$f'(x)=0$得$x=-1$，因為$f(-2)=3$，$f(-1)=0$，所以$f(x)$在$x=-1$處取得極小值。

9.解：$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，當$x>0$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調遞增；當$x<0$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調遞減。因此$f(x)$在$x=0$處取得極小值。

知識點總結：

1.函數的性質：奇偶性、單調性、極值等。

2.數列的性質：等差數列、等比數列、前$n$項和等。

3.集合的性質：并集、交集等。

4.向量的性質：點積、夾角等。

5.導數的性質：求導、求二階導數等。

6.方程組的解法：高斯消元法等。

7.數列求和公式：等差數列、等比數列等。

8.集合運算：并集、交集等。

9.向量運算：點積、夾角等。

10.導數運算：求導、求二階導數等。

題型知識點詳解