強(qiáng)化專題1三角函數(shù)中的最值問(wèn)題【方法技巧】求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函數(shù)取最值時(shí)相應(yīng)自變量x的集合時(shí)，要注意考慮三角函數(shù)的周期性．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時(shí)，通過(guò)換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過(guò)程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．【題型目錄】一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值問(wèn)題二、可化為y＝f(sinx)型的二次式的值域問(wèn)題三、含sinx±cosx，sinxcosx的最值問(wèn)題五、函數(shù)圖象平移問(wèn)題的最值六、ω的最值問(wèn)題【例題詳解】一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值問(wèn)題A． B．2 C．1 D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正余弦展開式、二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算可得答案.故選：C.【詳解】此題考查三角函數(shù)最值問(wèn)題的求法、誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式、二倍角余弦公式和正弦公式的逆向應(yīng)用、兩角和的正弦公式的逆向應(yīng)用、三角函數(shù)的有界性的應(yīng)用;求三角函數(shù)的值域的類型有：（1）形如此題還可以考查求此函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間以及給定區(qū)間上的值域或最值問(wèn)題，函數(shù)的圖像平移變換問(wèn)題；【答案】故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是積化和差的公式以及余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.【詳解】由圖像可得，最大值為2，最小值為2，所以A=2.【答案】1考點(diǎn)：本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的最值的求解，熟練公式是解答好本類題目的關(guān)鍵.二、可化為y＝f(sinx)型的二次式的值域問(wèn)題1．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))時(shí)，函數(shù)y＝3－sinx－2cos2x的值域?yàn)開_______．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，2))【詳解】因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))2＋eq\f(7,8)，所以當(dāng)sinx＝eq\f(1,4)時(shí)，ymin＝eq\f(7,8)，當(dāng)sinx＝eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))或sinx＝1時(shí)，ymax＝2.即函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，2)).【分析】首先利用余弦的二倍角公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系式對(duì)化簡(jiǎn)并配方，然后利用換元法，并結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由余弦二倍角公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式可得，【答案】【分析】根據(jù)x的取值范圍求得tanx的范圍，將tanx視為一個(gè)整體，利用二次函數(shù)的最值，求得tan的值，再利用兩角和的正切公式，求解即可.故填:3.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，考查了兩角和的正切公式；本題中把tanx看成是一個(gè)整體，將含三角函數(shù)的式子看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，解題過(guò)程中要注意三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．【分析】利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得三、含sinx±cosx，sinxcosx的最值問(wèn)題A．B．3C．D．4【答案】C所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值.故選：C.2．函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開_______．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2\r(2),2)，1))【詳解】設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；當(dāng)t＝－eq\r(2)時(shí)，ymin＝－eq\f(1＋2\r(2),2).∴函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2\r(2),2)，1)).【答案】1本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查換元法求解三角函數(shù)的最值問(wèn)題，涉及到利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)、二次函數(shù)最值的求解等知識(shí)；易錯(cuò)點(diǎn)是在進(jìn)行換元時(shí)，忽略新的自變量的取值范圍，造成求解錯(cuò)誤.結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象，如下：【答案】D【分析】先分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，再換元求出最值，即可得到答案.故選D.【答案】B故選：B.【答案】考點(diǎn)：三角函數(shù)的值域點(diǎn)評(píng)：主要是考查了分式函數(shù)的值域的求解，屬于基礎(chǔ)題．【分析】（1）可用常數(shù)分離法，也可用正弦函數(shù)的有界性求解.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）對(duì)于常規(guī)的求三角函數(shù)的值域或最值問(wèn)題，一般情況下，只要注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的“有界性”即可解決.五、函數(shù)圖象平移問(wèn)題的最值A(chǔ)． B． C． D．【答案】B故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)平移變換，函數(shù)的對(duì)稱性，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵理解平移變換和伸縮變換都是針對(duì)本身而言，即本身加減多少值，而不是依賴于加減多少值，在解題的過(guò)程中需要注意，避免出錯(cuò).A． B． C． D．【答案】A故選：A.【點(diǎn)睛】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問(wèn)題及解題方法（1）求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（2）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于的方程(組)，從而得到的解析式；（4）畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】A【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移即可求解.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)三角函數(shù)平移的過(guò)程利用數(shù)形結(jié)合找到相交的臨界位置.【答案】C故選：CA． B． C． D．【答案】D故選：D.A． B． C． D．【答案】A故選：AA． B． C． D．【答案】A故選：AA． B． C． D．【答案】D則的最小值為.故選：D.【答案】D故選：D.六、ω的最值A(chǔ)． B．3 C．6 D．9【答案】C【詳解】由題可知：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移知識(shí)，以及余弦函數(shù)的周期，關(guān)鍵在于重合的條件，相當(dāng)于加上的是周期，屬基礎(chǔ)題.【答案】D故選：D.【答案】D故選：D.A． B． C． D．【答案】B【