10/10《解直角三角形》教案一、教學目標【知識與技能】1.了解解直角三角形的意義和條件；2.理解直角三角形中的五個元素之間的聯系；3.能根據直角三角形中除直角以外的兩個元素（至少有一個是邊），解直角三角形.【過程與方法】通過探索討論發現解直角三角形所需的最簡條件，了解體會用化歸的思想方法將未知問題轉化為已知問題去解決，在解決問題的過程中滲透“數學建模”和“轉化”思想.【情感態度與價值觀】通過學習解直角三角形的應用，認識到數與形相結合的意義和作用，體驗到學好知識能應用于社會實踐。并讓學生體驗到學習是需要付出努力和勞動的.二、課型新授課三、課時1課時四、教學重難點【教學重點】 正確運用直角三角形中的邊角關系解直角三角形.【教學難點】 選擇適當的關系式解直角三角形.五、課前準備 教師：課件、直尺、三角板等.學生：直尺、三角板.六、教學過程（一）導入新課（出示課件2）要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足50°≤α≤75°.現有一個長6m的梯子，問：（1）使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻（精確到0.1m）？（2）當梯子底端距離墻面2.4m時，梯子與地面所成的角α等于多少（精確到1°）？這時人能夠安全使用這個梯子嗎？（二）探索新知知識點1解直角三角形的概念（出示課件4）如圖，設塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A，過B點向垂直中心線引垂線，垂足為點C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.根據以上條件可以求出塔身中心線與垂直中心線的夾角．學生嘗試解決：，利用計算器可得.教師強調：將上述問題推廣到一般情形，就是：已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角的度數.教師問：在直角三角形中知道幾個條件可以求解呢？學生思考后，師生共同探究：（出示課件5）在Rt△ABC中,教師問：根據∠A=60°，你能求出這個三角形的其他元素嗎?學生答：不能.教師問：根據∠A=60°,∠B=30°,你能求出這個三角形的其他元素嗎?學生答：不能.教師問：根據∠A=60°,斜邊AB=4,你能求出這個三角形的其他元素嗎?學生答：∠B；AC；BC.教師問：根據，AC=2，你能求出這個三角形的其他元素嗎？學生答：∠A；∠B；AB.教師問：你發現了什么？（出示課件6）學生答：我發現了，在Rt△ABC中,已知一角或兩角，不能求其它元素；已知一角一邊或兩邊，能求其他元素.教師強調：在直角三角形的六個元素中,除直角外,如果知道兩個元素,(其中至少有一個是邊),就可以求出其余三個元素.師生共同總結：（出示課件7）由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫作解直角三角形.解直角三角形的依據：(1)三邊之間的關系:a2＋b2＝c2.(2)銳角之間的關系:∠A＋∠B＝90°.(3)邊角之間的關系:sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).教師強調：解直角三角形的原則：（出示課件8）(1)有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜（斜邊）用切（正切）；(2)寧乘勿除：選取便于計算的關系式，若能用乘法計算就不用除法計算；(3)取原避中：若能用原始數據計算，應避免使用中間數據求解.知識點2知道兩邊解直角三角形如圖，在Rt△ABC中，根據AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？（出示課件9）師生共同解答：考點已知兩邊解直角三角形（出示課件10）例如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，，解這個直角三角形.該題屬于已知兩邊求第三邊和兩個銳角的情況，有多種解題方法，學生嘗試獨立解題，之后進行比較，選出最簡便的方法，并小結“已知兩邊如何解直角三角形”.解：出示課件11，學生獨立解決一生板演，教師訂正.知識點3已知一邊和一銳角解直角三角形如圖，在Rt△ABC中，根據∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？（出示課件12）師生共同解答：考點已知一邊和一銳角解直角三角形（出示課件13）例如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解這個直角三角形(結果保留小數點后一位).該題屬于已知一條邊和一個銳角，求另外兩條邊和另一個銳角的情況，學生可以獨立完成，之后比較各種方法中哪些較好，選一種板演．并引導學生小結“已知一邊一角，如何解直角三角形”出示課件14～15，學生獨立完成，找兩生板演，教師訂正.知識點4已知一邊和三角函數值解直角三角形如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=5，試求AB的長.（出示課件16）學生獨立思考后，師生共同解決：解：∵∴設∵∴∴∴AB的長為出示課件17，學生獨立完成并口答，教師訂正.（三）課堂練習（出示課件18-24）引導學生練習相關題目，鞏固本科所學知識點，約用時20分鐘。（四）課堂小結（出示課件25）本節課你有哪些收獲？你還有什么困惑嗎？（引導學生思考答復）師生一起提煉本節課的重要知識和必須掌握的技能：1.直角三角形的五個元素關系：(1)三邊之間的關系:(勾股定理)(2)兩銳角之間的關系:∠A+∠B=90°(3)邊角之間的關系:2.已知兩邊,解直角三角形已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°-∠A3.已知一邊和一銳角,解直角三角形已知類型已知條件解法步驟一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③（五）課前預習預習下節課（28.2.2（第1課時））的相關內容.會解簡單的直角三角形應用題.課后作業1、教材第74頁練習.2、課堂第104～105頁第1,2,3,4,5,9題.板書設計28.2.1解直角三角形1.解直角三角形：在直角三角形中除直角外，由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形．2.兩種情況：（1）已知兩條邊（2）已知一邊和一銳角九、教學反思在創設情境中，由一個實際問題引入，自然過渡到直角三角形．在探究新知中，采用啟發法、討論法等教學方法，學生通過討論、實踐形成理論體系，對知識掌握較為牢固.解直角三角形是重點，而選擇恰當的邊角關系則是難點，為了突破此難點，本節課通過例題讓學生探究、討論、總結出選擇邊角關系的策略：有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜（斜邊）用切（正切），寧乘勿除，取原避中”.因為有這些例題的引導，所以學生對于解直角三角形的兩個類型的掌握，應該沒有問題.知能演練提升能力提升1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E為AB上一點,且AE∶EB=4∶1,EF⊥AC于點F,連接FB,則tan∠CFB的值等于()A.33 B.233 C.5332.已知Rt△ABC的兩條直角邊長分別為6,8,現將△ABC按如圖所示的方式折疊,使點A與點B重合,折痕為DE,則tan∠CBE的值是()A.247 B.7C.724 D.3.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,∠BAC的平分線交BC于點D,AD=1033cm,則BC=cm4.小敏想知道校園內一棵大樹的高度,如圖,她測得CB=10m,∠C=50°,請你幫她算出樹高AB約為m.

(注:①樹垂直于地面;②供選用數據:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)5.如圖,某建筑物BC垂直于水平地面,AC為9m,要建造階梯AB,使每階高不超過20cm,則此階梯最少要建階.(最后一階的高度不足20cm時,按一階算,3取1.732)

6.(2024·新疆中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若點D在直線AB上(不與點A,B重合),且∠BCD=30°,則線段AD的長為.

7.如圖,在兩面墻之間有一個底端在點A的梯子,當它靠在一側墻上時,梯子的頂端在點B;當它靠在另一側墻上時,梯子的頂端在點D.已知∠BAC=65°,∠DAE=45°,點D到地面的垂直距離DE為32m,求點B到地面的垂直距離BC.(參考數據:sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)8.如圖,在△ABC中,AD是邊BC上的高,tan∠ABD=cos∠DAC.(1)求證:AC=BD;(2)若sinC=1213,BC=12,求AD的長創新應用★9.如圖,已知☉O的半徑為2,弦BC的長為23,點A為弦BC所對優弧上任意一點(B,C兩點除外).求:(1)∠BAC的度數;(2)△ABC面積的最大值.

知能演練·提升能力提升1.C設EB=1,則AE=4,BC=52,AC=5∴CF=32.∴tan∠CFB=52.C由題意知DE是AB的垂直平分線,故設BE=AE=x,則CE=8-x.在Rt△BCE中,BE2=BC2+CE2,即x2=62+(8-x)2,解得x=254,則CE=7因此tan∠CBE=CEBC3.53由題意,得cos∠CAD=ACAD∴∠CAD=30°.∴∠BAC=60°.∴tan∠BAC=BCAC=BC5=tan∴BC=53cm.4.12AB=BC·tanC=10×tan50°≈12(m).5.266.6或12在Rt△ABC中,∵AB=8,∠A=30°,sinA=BCAB,∴BC=ABsinA=8×12∴AC=AB2-B當點D在線段AB的延長線上時,如圖①所示.①∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.又∠BCD=30°,∴∠BDC=60°-30°=30°,∴BD=BC=4,∴AD=AB+BD=8+4=12.當點D在線段AB上時,如圖②所示.②∵∠ABC=60°,∠BCD=30°,∴∠CDA=90°.在Rt△ACD中,cosA=ADAC∴AD=ACcosA=43×32綜上所述,AD的長為6或12.7.解在Rt△ADE中,DE=32m,∠DAE=45°,∴sin∠DAE=DEAD∴AD=6m.又AD=AB,在Rt△ABC中,sin∠BAC=BCAB∴BC=AB·sin∠BAC=6×sin65°≈5.4(m).∴點B到地面的垂直距離BC約為5.4m.8.(1)證明∵tan∠ABD=ADBD,cos∠DAC=ADAC,且tan∠ABD=cos∠∴ADBD=ADAC(2)解由sinC=ADAC=1213,可設AD=12k,AC=13k,k>0,∴DC=A由(1)知BD=AC=13k,∴BC=13k+5k=18k.∵BC=12,∴k=23,∴AD=12×23=創新應用9.解(1)(方法一)連接OB,OC,過點O作OE⊥BC于點E.∵OE⊥BC,BC=23,∴BE=EC=3.在Rt△OBE中,OB=2,∴sin∠BOE=BEOB∴∠BOE=60°,∠BOC=120°.∴∠BAC=12∠BOC=60°(方法二)連接BO并延長,交☉O于點D,連接CD.∵BD是直徑,∴BD=4,∠DC