高三聯合考試數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若函數在區間$[1,2]$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）

A.$a\leq1$

B.$1<a<2$

C.$a\geq2$

D.$a$無取值限制

2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_6=36$，$S_9=72$，則數列的公差為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在直角坐標系中，點$A(1,1)$關于直線$y=x$的對稱點為$B$，則直線$AB$的斜率為（）

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

4.已知復數$z=3+i$，則$|z|$的值為（）

A.2

B.$\sqrt{10}$

C.1

D.$\sqrt{2}$

5.若等比數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公比為$q$，且$a_1+a_2+a_3=9$，$a_1+a_2+a_3+a_4=27$，則$a_1$的值為（）

A.1

B.3

C.9

D.27

6.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_4=8$，則數列的公差為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

7.已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，若函數在區間$[-2,2]$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）

A.$a\leq-2$

B.$-2<a<2$

C.$a\geq2$

D.$a$無取值限制

8.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$，若函數在區間$[1,3]$上單調遞減，則實數$a$的取值范圍是（）

A.$a\leq1$

B.$1<a<3$

C.$a\geq3$

D.$a$無取值限制

9.在直角坐標系中，點$A(1,1)$關于直線$y=-x$的對稱點為$B$，則直線$AB$的斜率為（）

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

10.已知復數$z=2-i$，則$|z|$的值為（）

A.2

B.$\sqrt{5}$

C.1

D.$\sqrt{2}$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列選項中，屬于三角函數的有（）

A.正弦函數

B.余弦函數

C.正切函數

D.雙曲正弦函數

E.雙曲余弦函數

2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=20$，$S_8=60$，則下列說法正確的是（）

A.$a_6=10$

B.$a_7=15$

C.$a_8=20$

D.$a_9=25$

E.$a_5=5$

3.在直角坐標系中，若點$A(2,3)$在直線$y=mx+b$上，則下列說法正確的是（）

A.當$m=0$時，$b=3$

B.當$m=1$時，$b=1$

C.當$m=-1$時，$b=5$

D.當$m=2$時，$b=7$

E.當$m=-2$時，$b=9$

4.已知復數$z=3+4i$，則下列說法正確的是（）

A.$|z|=5$

B.$z^2=25+24i$

C.$z^3=125+144i$

D.$z^4=625+576i$

E.$z^5=3125+2560i$

5.在等比數列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$a_3=8$，則下列說法正確的是（）

A.$q=2$

B.$q=-2$

C.$a_5=32$

D.$a_6=64$

E.$a_7=128$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域為__________。

2.等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$d=2$，則$a_5=$__________。

3.在直角坐標系中，點$A(2,3)$到直線$y=2x-1$的距離為__________。

4.復數$z=2-i$的模長為__________。

5.等比數列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$q=3$，則$a_4=$__________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列極限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)-\sin(x)}{x^2}

\]

2.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函數的導數$f'(x)$，并求出函數的極值點。

3.設等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=20$，$S_8=60$，求該數列的通項公式$a_n$。

4.在直角坐標系中，已知直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于點$A$和$B$，求線段$AB$的長度。

5.已知復數$z=3+4i$，求$z$的共軛復數$\overline{z}$，并求出$z$的模長$|z|$。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題

1.C.$a\geq2$

2.B.3

3.A.1

4.B.$\sqrt{10}$

5.B.3

6.A.2

7.A.$a\leq-2$

8.B.$1<a<3$

9.B.-1

10.B.$\sqrt{5}$

二、多項選擇題

1.ABCD

2.ABC

3.ABC

4.ABCDE

5.ABCDE

三、填空題

1.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$

2.11

3.$\frac{3}{\sqrt{5}}$

4.$\sqrt{5}$

5.27

四、計算題

1.解：利用三角函數的等價無窮小替換，$\sin(3x)-\sin(x)\approx3x-x=2x$，所以

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)-\sin(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2}{x}=\infty

\]

答案：$\infty$

2.解：$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=3$。檢查這兩個點的左右導數，確定$x=1$為極大值點，$x=3$為極小值點。

3.解：由$S_5=20$得$5a_1+10d=20$，由$S_8=60$得$8a_1+28d=60$。解這個方程組得$a_1=2$，$d=2$。所以通項公式為$a_n=2+2(n-1)=2n$。

4.解：直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相交，代入直線方程得$5x^2+4x-3=0$，解得$x_1=-\frac{3}{5}$，$x_2=\frac{1}{5}$。對應的$y$值為$y_1=-\frac{1}{5}$，$y_2=3$。所以$A(-\frac{3}{5},-\frac{1}{5})$，$B(\frac{1}{5},3)$。線段$AB$的長度為

\[

\sqrt{(-\frac{3}{5}-\frac{1}{5})^2+(-\frac{1}{5}-3)^2}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2+(-\frac{16}{5})^2}=\frac{4\sqrt{13}}{5}

\]

答案：$\frac{4\sqrt{13}}{5}$

5.解：$z$的共軛復數$\overline{z}=3-4i$，$|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。

知識點總結：

-極限：極限的定義、性質、運算法則，以及等價無窮小的應用。

-導數：導數的定義、性質、運算法則，以及求導數的技巧。

-數列：等差數列和等比數列的定義、性質、求和公式，以及通項公式的求解。

-直線與圓的位置關系：直線與圓的相交、相切、相離，以及線段長度的計算。

-復數：復數的定義、性質、運算法則，以及復數的模長和共軛復數的概念。

題型知識點詳解及示例：

-選擇題：