高考合肥二模數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在下列各數中，有理數是：

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$

2.已知函數$f(x)=2x-1$，則函數$f(x)$在定義域內的增減性是：

A.增函數

B.減函數

C.先增后減

D.先減后增

3.若等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公差$d=3$，則$a_{10}$的值為：

A.29

B.30

C.31

D.32

4.已知等比數列$\{b_n\}$中，$b_1=3$，公比$q=2$，則$b_5$的值為：

A.24

B.48

C.96

D.192

5.若函數$f(x)=x^2-4x+4$的圖像與x軸相交于點A、B，則AB的長度為：

A.2

B.4

C.6

D.8

6.已知三角形ABC的三個內角分別為A、B、C，且A+B+C=180°，若$\sinA=\frac{1}{2}$，$\cosB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\tanC$的值為：

A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$

B.$\sqrt{3}$

C.2

D.3

7.若等差數列$\{c_n\}$中，$c_1=1$，公差$d=2$，則$c_5+c_7$的值為：

A.16

B.18

C.20

D.22

8.已知函數$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則函數$f(x)$的定義域是：

A.$x\neq1$

B.$x\neq0$

C.$x\neq2$

D.$x\neq-1$

9.若等比數列$\{d_n\}$中，$d_1=4$，公比$q=\frac{1}{2}$，則$d_6$的值為：

A.1

B.2

C.4

D.8

10.已知函數$f(x)=\sqrt{x^2-1}$，則函數$f(x)$的值域是：

A.$[0,+\infty)$

B.$(-\infty,0]$

C.$(-\infty,1]$

D.$[1,+\infty)$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，既是奇函數又是偶函數的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=\sinx$

C.$f(x)=\cosx$

D.$f(x)=\tanx$

2.已知等差數列$\{e_n\}$中，$e_1=5$，公差$d=-2$，則下列說法正確的是：

A.$\{e_n\}$是遞增數列

B.$\{e_n\}$是遞減數列

C.$e_5=e_1+4d$

D.$e_7=e_1+6d$

3.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點坐標為$(h,k)$，則下列說法正確的是：

A.$a>0$

B.$b^2-4ac>0$

C.$k$是函數的最小值

D.$h$是函數的對稱軸

4.已知三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，則下列說法正確的是：

A.$\sinC=\cosA$

B.$\cosC=\sinA$

C.$\tanB=\frac{3}{4}$

D.$\tanC=\frac{4}{3}$

5.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，則下列說法正確的是：

A.函數的定義域為$x\neq2$且$x\neq-2$

B.函數的值域為$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

C.函數在$x=2$處有極小值

D.函數在$x=-2$處有極大值

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知等差數列$\{f_n\}$中，$f_1=3$，公差$d=2$，則$f_7=$__________。

2.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像與x軸的交點個數是__________。

3.在直角坐標系中，點A(2,3)關于直線$x+y=1$的對稱點是__________。

4.若等比數列$\{g_n\}$中，$g_1=8$，公比$q=\frac{1}{2}$，則$g_5=$__________。

5.函數$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$的定義域是__________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$，求函數$f(x)$的導數$f'(x)$。

2.解下列方程組：

$$

\begin{cases}

x+y=5\\

2x-y=3

\end{cases}

$$

3.某班級有男生20人，女生15人，隨機抽取3人參加比賽，求抽到的3人都是女生的概率。

4.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像經過點A(1,4)和B(2,9)，且頂點坐標為$(h,k)$，求函數$f(x)$的表達式。

5.解不等式$\frac{x-2}{x+1}<\frac{3}{x-1}$，并指出解集。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.C。有理數是可以表示為兩個整數之比的數，而$\frac{1}{3}$可以表示為$\frac{1}{3}$，是有理數。

2.A。函數$f(x)=2x-1$的導數$f'(x)=2$，恒大于0，因此是增函數。

3.A。等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$和$d=3$，得$a_{10}=2+9\times3=29$。

4.A。等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=3$和$q=2$，得$a_5=3\times2^4=24$。

5.B。函數$f(x)=x^2-4x+4$可以寫成$(x-2)^2$，與x軸相交于點(2,0)，因此AB的長度為4。

6.B。由$\sinA=\frac{1}{2}$，得$A=30°$，由$\cosB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$B=30°$，因此$C=180°-A-B=120°$，$\tanC=\tan120°=-\sqrt{3}$。

7.A。等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=1$和$d=2$，得$c_5+c_7=1+4d+1+6d=16$。

8.A。函數$f(x)=\frac{x}{x-1}$的定義域為所有實數除以1，即$x\neq1$。

9.A。等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=4$和$q=\frac{1}{2}$，得$d_6=4\times(\frac{1}{2})^5=1$。

10.C。函數$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定義域為$x^2-1\geq0$，即$x\leq-1$或$x\geq1$，因此值域為$[1,+\infty)$。

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.C。奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，偶函數滿足$f(-x)=f(x)$，只有$\cosx$同時滿足這兩個條件。

2.BCD。等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=5$和$d=3$，得$c_5=5+4d=23$，$c_7=5+6d=29$，因此$c_5+c_7=52$。

3.AD。函數圖像開口向上，說明$a>0$；頂點坐標為$(h,k)$，說明頂點橫坐標$h$是函數的對稱軸。

4.AB。由$\sinA=\frac{3}{5}$，得$A=30°$，由$\cosB=\frac{4}{5}$，得$B=30°$，因此$C=180°-A-B=120°$，$\sinC=\sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cosC=\cos120°=-\frac{1}{2}$。

5.AB。函數的定義域為所有實數除以$x^2-4$不等于0，即$x\neq2$且$x\neq-2$；函數的值域為所有實數除以$x^2-4$大于0，即$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。

三、填空題答案及知識點詳解：

1.29。等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$和$d=2$，得$f_7=3+6\times2=15$。

2.3。函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$，因此與x軸的交點個數為3。

3.(-1,-2)。點A(2,3)關于直線$x+y=1$的對稱點B的坐標可以通過解方程組得到，即：

$$

\begin{cases}

2x+3y=5\\

x+y=1

\end{cases}

$$

解得$x=-1$，$y=-2$。

4.8。等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=8$和$q=\frac{1}{2}$，得$g_5=8\times(\frac{1}{2})^4=1$。

5.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。函數$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$的定義域為$x^2-4x+3\geq0$，即$(x-1)(x-3)\geq0$，解得$x\leq1$或$x\geq3$。

四、計算題答案及知識點詳解：

1.解：函數$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$的導數$f'(x)$可以通過商的導數法則求得：

$$

f'(x)=\frac{(2x+1)'(x-1)-(2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2}=\frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}

$$

2.解：將方程組寫成增廣矩陣形式：

$$

\begin{bmatrix}

1&1&|&5\\

2&-1&|&3

\end{bmatrix}

$$

$$

\begin{bmatrix}

1&1&|&5\\

0&-3&|&-7

\end{bmatrix}

$$

然后將第二行乘以$-\frac{1}{3}$：

$$

\begin{bmatrix}

1&1&|&5\\

0&1&|&\frac{7}{3}

\end{bmatrix}

$$

最后將第一行減去第一行的$\frac{7}{3}$倍：

$$

\begin{bmatrix}

1&0&|&\frac{8}{3}\\

0&1&|&\frac{7}{3}

\end{bmatrix}

$$

因此，方程組的解為$x=\frac{8}{3}$，$y=\frac{7}{3}$。

3.解：抽到3人都是女生的概率為從15個女生中抽取3個女生的組合數除以從35個學生中抽取3個學生的組合數，即：

$$

P=\frac{C_{15}^3}{C_{35}^3}=\frac{\frac{15!}{3!(15-3)!}}{\frac{35!}{3!(35-3)!}}=\frac{15\times14\times13}{35\times34\times33}\approx0.018

$$

4.解：由于函數圖像經過點A(1,4)和B(2,9)，可以將這兩個點的坐標代入函數表達式得到兩個方程：

$$

\begin{cases}

a(1)^2+b(1)+c=4\\

a(2)^2+b(2)+c=9

\end{cases}

$$

化簡得：

$$

\begin{cases}

a+b+c=4\\

4a+2b+c=9

\end{cases}

$$

$$

\begin{bmatrix}

1&1&1&|&4\\

0&2&0&|&1

\end{bmatrix}

$$

然后將第二行除以2：

$$

\begin{bmatrix}

1&1&1&|&4\\

0&1&0&|&\frac{1}{2}

\end{bmatrix}

$$

最后將第一行減去第一行的$\frac{1}{2}$倍：

$$

\begin{bmatrix}

1&0&\frac{1}{2}&|&\frac{7}{2}\\

0&1&0&|&\frac{1}{2}

\end{bmatrix}

$$

因此，函數$f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$。

5.解：不等式$\frac{x-2}{x+1}<\frac{3}{x-1}$可以通過交叉相乘化簡：

$$

(x-2)(x-1)<3(x+1)

$$

展開得：

$$

x^2-3x+2<3x+3

$$

移項得：

$$

x^2-6x-1<0

$$

這是一個二次不等式，可以通過求根公式找到不等式的解集：

$$

x=\frac{6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times(-1)}}{2\times1}=\frac{6\pm\sqrt{40}}{2}=3\pm\sqrt{10}

$$

因此，解集為$x\in(3-\sqrt{10},3+\sqrt{10})$。

知識點總結：

本試卷涵蓋了高中數學的主要知識點，包括：

-有理數和無理數

-函數及其性質，包括奇偶性、單調性、周期性等