...wd......wd......wd...高中數學必修4習題和復習參考題及對應答案A組1、在0°～360°范圍內，找出與以下各角終邊一樣的角，并指出它們是哪個象限的角：〔1〕－265°；〔2〕－1000°；〔3〕－843°10′；〔4〕3900°．答案：〔1〕95°，第二象限；〔2〕80°，第一象限；〔3〕236°50′，第三象限；〔4〕300°，第四象限．說明：能在給定范圍內找出與指定的角終邊一樣的角，并判定是第幾象限角．2、寫出終邊在x軸上的角的集合．答案：S={α|α=k·180°，k∈Z}．說明：將終邊一樣的角用集合表示．3、寫出與以下各角終邊一樣的角的集合，并把集合中適合不等式－360°≤β＜360°的元素β寫出來：〔1〕60°；〔2〕－75°；〔3〕－824°30′；〔4〕475°；〔5〕90°；〔6〕270°；〔7〕180°；〔8〕0°．答案：〔1〕{β|β=60°＋k·360°，k∈Z}，－300°，60°；〔2〕{β|β=－75°＋k·360°，k∈Z}，－75°，285°；〔3〕{β|β=－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′；〔4〕{β|β=475°＋k·360°，k∈Z}，－245°，115°；〔5〕{β|β=90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；〔6〕{β|β=270°＋k·360°，k∈Z}，－90°，270°；〔7〕{β|β=180°＋k·360°，k∈Z}，－180°，180°；〔8〕{β|β=k·360°，k∈Z}，－360°，0°．說明：用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊一樣的角的集合，并在給定范圍內找出與指定的角終邊一樣的角．4、分別用角度和弧度寫出第一、二、三、四象限角的集合．答案：象限角度制弧度制一{β|k·360°＜β＜90°＋k·360°，k∈Z}二{β|90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k∈Z}三{β|180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k∈Z}四{β|270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k∈Z}說明：用角度制和弧度制寫出各象限角的集合．5、選擇題：〔1〕α是銳角，那么2α是〔〕A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角〔2〕α是第一象限角，那么是〔〕、A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角答案：〔1〕C說明：因為0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．〔2〕D說明：因為k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，所以，k∈Z．當k為奇數時，是第三象限角；當k為偶數時，是第一象限角．6、一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角等于1弧度嗎為什么答案：不等于1弧度．這是因為等于半徑長的弧所對的圓心角為1弧度，而等于半徑長的弦所對的弧比半徑長．說明：了解弧度的概念．7、把以下各角度化成弧度：〔1〕36°；〔2〕－150°；〔3〕1095°；〔4〕1440°．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕8π．說明：能進展度與弧度的換算．8、把以下各弧度化成度：〔1〕；〔2〕；〔3〕1.4；〔4〕．答案：〔1〕－210°；〔2〕－600°；〔3〕80.21°；〔4〕38.2°．說明：能進展弧度與度的換算．9、要在半徑OA=100cm的圓形金屬板上截取一塊扇形板，使其弧AB的長為112cm，求圓心角∠AOB是多少度〔可用計算器，準確到1°〕．答案：64°說明：可以先運用弧度制下的弧長公式求出圓心角的弧度數，再將弧度換算為度，也可以直接運用角度制下的弧長公式．10、弧長50cm的弧所對圓心角為200°，求這條弧所在的圓的半徑〔可用計算器，準確到1cm〕．答案：14cm．說明：可以先將度換算為弧度，再運用弧度制下的弧長公式，也可以直接運用角度制下的弧長公式．B組1、每人準備一把扇子，然后與本小組其他同學的比照，從中選出一把展開后看上去形狀較為美觀的扇子，并用計算器算出它的面積S1．〔1〕假設這把扇子是從一個圓面中剪下的，而剩余局部的面積為S2，求S1與S2的比值；〔2〕要使S1與S2的比值為0.618，則扇子的圓心角應為幾度〔準確到10°〕答案：〔1〕〔略〕〔2〕設扇子的圓心角為θ，由，可得θ=0.618〔2π－θ〕，則θ=0.764π≈140°．說明：此題是一個數學實踐活動．題目對“美觀的扇子〞并沒有給出標準，目的是讓學生先去體驗，然后再運用所學知識發現，大多數扇子之所以“美觀〞是因為基本都滿足：〔黃金分割比〕的道理．2、〔1〕時間經過4h〔時〕，時針、分針各轉了多少度各等于多少弧度〔2〕有人說，鐘的時針和分針一天內會重合24次、你認為這種說法是否正確請說明理由．〔提示：從午夜零時算起，假設分針走了tmin會與時針重合，一天內分針和時針會重合n次，建設t關于n的函數關系式，并畫出其圖象，然后求出每次重合的時間．〕答案：〔1〕時針轉了－120°，等于弧度；分針轉了－1440°，等于－8π弧度〔2〕設經過tmin分針就與時針重合，n為兩針重合的次數．因為分針旋轉的角速度為，時針旋轉的角速度為，所以，即．用計算機或計算器作出函數的圖象〔如下頁圖〕或表格，從中可清楚地看到時針與分針每次重合所需的時間．nu115．981.8216．1047.317．1112.718．1178.219．1243.620．1309.121．1374.522．1440.因為時針旋轉一天所需的時間為24×60=1440〔min〕，所以，于是n≤22．故時針與分針一天內只會重合22次．說明：通過時針與分針的旋轉問題進一步地認識弧度的概念，并將問題引向深入，用函數思想進展分析．在研究時針與分針一天的重合次數時，可利用計算器或計算機，從模擬的圖形、表格中的數據、函數的解析式或圖象等角度，不難得到正確的結論．3、相互嚙合的兩個齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當大輪轉動一周時，小輪轉動的角是__________度，即__________rad．如果大輪的轉速為180r/min〔轉/分〕，小輪的半徑為10.5cm，那么小輪周上一點每1s轉過的弧長是__________．答案：864°，，151.2πcm．說明：通過齒輪的轉動問題進一步地認識弧度的概念和弧長公式．當大齒輪轉動一周時，小齒輪轉動的角是由于大齒輪的轉速為3r/s，所以小齒輪周上一點每1s轉過的弧長是．P20習題1.2A組1、用定義法、公式一以及計算器求以下角的三個三角函數值：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕1500°．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．說明：先利用公式一變形，再根據定義求值，非特殊角的三角函數值用計算器求．2、角α的終邊上有一點的坐標是P〔3a，4a〕，其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函數值．答案：當a＞0時，；當a＜0時，．說明：根據定義求三角函數值．3、計算：〔1〕6sin〔－90°〕＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；〔2〕10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；〔3〕；〔4〕．答案：〔1〕－10；〔2〕15；〔3〕；〔4〕．說明：求特殊角的三角函數值．4、化簡：〔1〕asin0°＋bcos90°＋ctan180°；〔2〕－p2cos180°＋q2sin90°－2pqcos0°；〔3〕；〔4〕．答案：〔1〕0；〔2〕〔p－q〕2；〔3〕〔a－b〕2；〔4〕0．說明：利用特殊角的三角函數值化簡．5、根據以下條件求函數的值．〔1〕； 〔2〕．答案：〔1〕－2；〔2〕2．說明：轉化為特殊角的三角函數的求值問題．6、確定以下三角函數值的符號：〔1〕sin186°； 〔2〕tan505°； 〔3〕sin7.6π；〔4〕； 〔5〕cos940°； 〔6〕．答案：〔1〕負；〔2〕負；〔3〕負；〔4〕正；〔5〕負；〔6〕負．說明：認識不同位置的角對應的三角函數值的符號．7、確定以下式子的符號：〔1〕tan125°·sin273°；〔2〕；〔3〕；〔4〕．答案：〔1〕正；〔2〕負；〔3〕負；〔4〕正．說明：認識不同位置的角對應的三角函數值的符號．8、求以下三角函數值〔可用計算器〕：〔1〕；〔2〕；〔3〕cos398°13′；〔4〕tan766°15′．答案：〔1〕0.9659；〔2〕1；〔3〕0.7857；〔4〕1.045．說明：可先運用公式一轉化成銳角三角函數，然后再求出三角函數值．9、求證：〔1〕角θ為第二或第三象限角當且僅當sinθ·tanθ＜0；〔2〕角θ為第三或第四象限角當且僅當cosθ·tanθ＜0；〔3〕角θ為第一或第四象限角當且僅當；〔4〕角θ為第一或第三象限角當且僅當sinθ·cosθ＞0．答案：〔1〕先證如果角θ為第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．當角θ為第二象限角時，sinθ＞0，tanθ＜0，則sinθ·tanθ＜0；當角θ為第三象限角時，sinθ＜0，tanθ＞0，則sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ為第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再證如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ為第二或第三象限角．因為sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，當sinθ＞0且tanθ＜0時，角θ為第二象限角；當sinθ＜0且tanθ＞0時，角θ為第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ為第二或第三象限角．綜上所述，原命題成立．〔其他小題略〕說明：以證明命題的形式，認識位于不同象限的角對應的三角函數值的符號．10、〔1〕，且α為第四象限角，求cosα，tanα的值；〔2〕，且α為第二象限角，求sinα，tanα的值；〔3〕，求sinα，cosα的值；〔4〕cosα=0.68，求sinα，tanα的值〔計算結果保存兩個有效數字〕．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕當α為第二象限角時，，當α為第四象限角時，；〔4〕當α為第一象限角時，sinα=0.73，tanα=1.1，當α為第四象限角時，sinα=－0.73，tanα=－1.1．說明：要注意角α是第幾象限角．11、，求cosx，tanx的值．答案：當x為第三象限角時，；當x為第四象限角時，.說明：要分別對x是第三象限角和第四象限角進展討論．12、，求cosα－sinα的值．答案：說明：角α是特殊角．13、求證：〔1〕；〔2〕tan2α－sin2α=tan2α·sin2α；〔3〕〔cosβ－1〕2＋sin2β=2－2cosβ；〔4〕sin4x＋cos4x=1－2sin2xcos2x．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕左邊=1－2cosβ＋cos2β＋sin2β=2－2cosβ；〔4〕左邊=〔sin2x＋cos2x〕2－2sin2x·cos2x=1－2sin2x·cos2x．說明：還可以從右邊變為左邊，或對左右同時變形．可提倡一題多解，然后逐漸學會選擇較為簡單的方法．B組1、化簡〔1＋tan2α〕cos2α．答案：1說明：根據同角三角函數的基本關系，將原三角函數式轉化為正余弦函數式．2、化簡，其中α為第二象限角．答案：－2tanα說明：先變形，再根據同角三角函數的基本關系進展化簡．3、tanα=2，求的值．答案：3說明：先轉化為正切函數式．4、從本節的例7可以看出，就是sin2x＋cos2x=1的一個變形．你能利用同角三角函數的基本關系推導出更多的關系式嗎答案：又如sin4x＋cos4x=1－2sin2x·cos2x也是sin2x＋cos2x=1的一個變形；是sin2x＋cos2x=1和的變形；等等．說明：此題要求學生至少能寫出每個同角關系式的一個變形．P29習題1.3A組1、將以下三角函數轉化為銳角三角函數，并填在題中橫線上：〔1〕cos210°=__________；〔2〕sin263°42′=__________；〔3〕__________；〔4〕=__________；〔5〕__________；〔6〕cos〔－104°26′〕=__________；〔7〕tan632°24′=__________；〔8〕__________．答案：〔1〕－cos30°；〔2〕－sin83°42′〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕－cos75°34′；〔7〕－tan87°36′；〔8〕．說明：利用誘導公式轉化為銳角三角函數．2、用誘導公式求以下三角函數值：〔1〕；〔2〕sin〔－1574°〕；〔3〕sin〔－2160°52′〕；〔4〕cos〔－1751°36′〕；〔5〕cos1615°8′；〔6〕．答案：〔1〕；〔2〕－0.7193；〔3〕－0.0151；〔4〕0.6639；〔5〕－0.9964；〔6〕說明：先利用誘導公式轉化為銳角三角函數，再求值．3、化簡：〔1〕sin〔－1071°〕·sin99°＋sin〔－171°〕·sin〔－261°〕；〔2〕1＋sin〔α－2π〕·sin〔π＋α〕－2cos2〔－α〕．答案：〔1〕0；〔2〕－cos2α說明：先利用誘導公式轉化為角α的三角函數，再進一步化簡．4、求證：〔1〕sin〔360°－α〕=－sinα；〔2〕cos〔360°－α〕=cosα；〔3〕tan〔360°－α〕=－tanα．答案：〔1〕sin〔360°－α〕=sin〔－α〕=－sinα；〔2〕略；〔3〕略．說明：有的書也將這組恒等式列入誘導公式，但根據公式一可知，它和公式三等價，所以本教科書未將其列入誘導公式．B組1、計算：〔1〕sin420°·cos750°＋sin〔－330°〕·cos〔－660°〕；〔2〕tan675°＋tan765°－tan〔－330°〕＋tan〔－690°〕；〔3〕．答案：〔1〕1；〔2〕0；〔3〕0．說明：先利用誘導公式轉化為銳角三角函數，再求值．2、，計算：〔1〕sin〔5π－α〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．答案：〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕說明：先用誘導公式將式和待求式都轉化為角α的三角函數，然后再根據同角三角函數的基本關系得解．P46習題1.4A組1、畫出以下函數的簡圖：〔1〕y=1－sinx，x∈[0，2π]；〔2〕y=3cosx＋1，x∈[0，2π]．答案：〔1〕〔2〕說明：可以直接用“五點法〞作出兩個函數的圖象；也可以先用“五點法〞作出正弦、余弦函數的圖象，再通過變換得到這兩個函數的圖象．2、求使以下函數取得最大值、最小值的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值是什么．〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．答案：〔1〕使y取得最大值的集合是{x|x=6k＋3，k∈Z}，最大值是；使y取得最小值的集合是{x|x=6k，k∈Z}，最大值是；〔2〕使y取得最大值的集合是，最大值是3；使y取得最小值的集合是，最小值是－3；〔3〕使y取得最大值的集合是，最大值是；使y取得最小值的集合是，最小值是；〔4〕使y取得最大值的集合是，最大值是；使y取得最小值的集合是，最小值是．說明：利用正弦、余弦函數的最大值、最小值性質，研究所給函數的最大值、最小值性質．3、求以下函數的周期：〔1〕，x∈R；〔2〕，x∈R．答案：〔1〕3π；〔2〕說明：可直接由函數y=Asin〔ωx＋φ〕和函數y=Acos〔ωx＋φ〕的周期得解．4、利用函數的單調性比較以下各組中兩個三角函數值的大小：〔1〕sin103°15′與sin164°30′；〔2〕；〔3〕sin508°與sin144°；〔4〕cos760°與cos〔－770°〕．答案：〔1〕sin103°15′＞sin164°130′；〔2〕；〔3〕sin508°＜sin144°；〔4〕cos760°＞cos〔－770°〕．說明：解決這類問題的關鍵是利用誘導公式將它們轉化到同一單調區間上研究．5、求以下函數的單調區間：〔1〕y=1＋sinx，x∈R；〔2〕y=－cosx，x∈R．答案：〔1〕當，k∈Z時，y=1＋sinx是增函數；當，k∈Z時，y=1＋sinx是減函數．〔2〕當x∈[〔2k－1〕π，2kπ]，k∈Z時，y=－cosx是減函數；當x∈[2kπ，〔2k＋1〕π]，k∈Z時，y=－cosx是增函數．說明：利用正弦、余弦函數的單調性研究所給函數的單調性．6、求函數的定義域．答案：．說明：可用換元法．7、求函數的周期．答案：．說明：可直接由函數y=Atan〔ωx＋φ〕的周期得解．8、利用正切函數的單調性比較以下各組中兩個函數值的大小：〔1〕；〔2〕tan1519°與tan1493°；〔3〕；〔4〕．答案：〔1〕；〔2〕tan1519°＞tan1493°；〔3〕；〔4〕．說明：解決這類問題的關鍵是利用誘導公式將它們轉化到同一單調區間上研究．9、根據正切函數的圖象，寫出使以下不等式成立的x的集合：〔1〕1＋tanx≥0；〔2〕．答案：〔1〕；〔2〕．說明：只需根據正切曲線寫出結果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、設函數f〔x〕〔x∈R〕是以

2為最小正周期的周期函數，且x∈[0，2]時f〔x〕=〔x－1〕2．求f〔3〕，的值．答案：由于f〔x〕以2為最小正周期，所以對任意x∈R，有f〔x＋2〕=f〔x〕．于是：f〔3〕=f〔1＋2〕=f〔1〕=〔1－1〕2=0；．說明：利用周期函數的性質，將其他區間上的求值問題轉化到區間[0，2]上的求值問題．11、容易知道，正弦函數y=sinx是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心．除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎如果有，對稱中心的坐標是什么另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎如果是，對稱軸的方程是什么你能用已經學過的正弦函數性質解釋上述現象嗎對余弦函數和正切函數，討論上述同樣的問題．答案：由正弦函數的周期性可知，除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心，其對稱中心坐標為〔kπ，0〕，k∈Z．正弦曲線是軸對稱圖形，其對稱軸的方程是．由余弦函數和正切的周期性可知，余弦曲線的對稱中心坐標為，k∈Z，對稱軸的方程是x=kπ，k∈Z；正切曲線的對稱中心坐標為，k∈Z，正切曲線不是軸對稱圖形．說明：利用三角函數的圖象和周期性研究其對稱性．B組1、根據正弦函數、余弦函數的圖象，寫出使以下不等式成立的x的取值集合：〔1〕；〔2〕．答案：〔1〕；〔2〕．說明：變形后直接根據正弦函數、余弦函數的圖象寫出結果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函數的單調區間．答案：單調遞減區間．說明：利用正切函數的單調區間求所給函數的單調區間．3、函數y=f〔x〕的圖象如以以下列圖，試答復以下問題：〔1〕求函數的周期；〔2〕畫出函數y=f〔x＋1〕的圖象；〔3〕你能寫出函數y=f〔x〕的解析式嗎答案：〔1〕2；〔2〕y=f〔x＋1〕的圖象如下；〔3〕y=|x－2k|，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z．說明：可直接由函數y=f〔x〕的圖象得到其周期．將函數y=f〔x〕的圖象向左平行移動1個單位長度，就得到函數y=f〔x＋1〕的圖象．求函數y=f〔x〕的解析式難度較高，需要較強的抽象思維能力．可先求出定義域為一個周期的函數y=f〔x〕，x∈[－1，1]的解析式為y=|x|，x∈[－1，1]，再根據函數y=f〔x〕的圖象和周期性，得到函數y=f〔x〕的解析式為y=|x－2k|，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z．P57習題1.5A組1、選擇題：〔1〕為了得到函數，x∈R的圖象，只需把余弦曲線上所有的點〔〕A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度D．向右平行移動個單位長度〔2〕為了得到函數，x∈R的圖象，只需把余弦曲線上所有的點的〔〕、A．橫坐標伸長到原來的5倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長到原來的5倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變〔3〕為了得到函數，x∈R的圖象，只需把余弦曲線上所有的點的〔〕．A．橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長到原來的4倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變答案：〔1〕C；〔2〕A；〔3〕D．2、畫出以下函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖〔有條件的可用計算器或計算機作圖檢驗〕：〔1〕，x∈R；〔2〕，x∈R；〔3〕，x∈R；〔4〕，x∈R．答案：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕說明：研究了參數A、ω、φ對函數圖象的影響．3、不畫圖，直接寫出以下函數的振幅、周期與初相，并說明這些函數的圖象可由正弦曲線經過若何的變化得到〔注意定義域〕：〔1〕，x∈[0,＋∞〕；〔2〕，x∈[0,＋∞〕．答案：〔1〕振幅是8，周期是8π，初相是．先把正弦曲線向右平行移動個單位長度，得到函數，x∈R的圖象；再把函數y1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍〔縱坐標不變〕，得到函數，x∈R的圖象；再把函數y2的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的8倍〔橫坐標不變〕，得到函數，x∈R的圖象；最后把函數y3的圖象在y軸左側的局部抹去，就得到函數，x∈[0，＋∞〕的圖象．〔2〕振幅是，周期是，初相是．先把正弦曲線向左平行移動個單位長度，得到函數，x∈R的圖象；再把函數y1的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍〔縱坐標不變〕，得到函數，x∈R的圖象；再把函數y2的圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的倍〔橫坐標不變〕，得到函數，x∈R的圖象；最后把函數y3的圖象在y軸左側的局部抹去，就得到函數，x∈[0，＋∞〕的圖象．說明：了解簡諧振動的物理量與函數解析式的關系，并認識函數y=Asin〔ωx＋φ〕的圖象與正弦曲線的關系．4、圖1.5－1的電流i〔單位：A〕隨時間t〔單位：s〕變化的函數關系是．〔1〕求電流i變化的周期、頻率、振幅及其初相；〔2〕當t=0，時，求電流i．答案：〔1〕周期為，頻率為50，振幅為5，初相為．〔2〕t=0時，；時，i=5；時，i=0；時，i=－5；時，i=0．說明：了解簡諧振動的物理量與函數解析式的關系，并求函數值．5、一根長為lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球．小球擺動時，離開平衡位置的位移s〔單位：cm〕與時間t〔單位：s〕的函數關系是．〔1〕求小球擺動的周期；〔2〕g≈980cm/s2，要使小球擺動的周期是1s，線的長度l應當是多少〔準確到0.1cm〕答案：〔1〕；〔2〕約24.8cm．說明：了解簡諧振的周期．B組1、彈簧振子的振動是簡諧運動．下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的時間t與位移s之間的對應數據，根據這些數據求出這個振子的振動函數解析式．t0t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0s－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1－10.1－17.8－20.0答案：根據數據作出散點圖〔如圖〕．由散點圖可知，振子的振動函數解析式為，x∈[0，＋∞〕．說明：作出數據的散點圖，然后選擇一個函數模型來描述，并根據數據求出該函數模型．2、彈簧掛著的小球作上下運動，它在t秒時相對于平衡位置的高度h厘米由以下關系式確定：．以t為橫坐標，h為縱坐標，作出這個函數在一個劇期的閉區間上的圖象，并答復以下問題：〔1〕小球在開場振動時〔即t=0〕的位置在哪里〔2〕小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少〔3〕經過多少時問小球往復運動一次〔4〕每秒鐘小球能往復振動多少次答案：函數在[0，2π]上的圖象為〔1〕小球在開場振動時的位置在；〔2〕最高點和最低點與平衡位置的距離都是2；〔3〕經過2π秒小球往復運動一次；〔4〕每秒鐘小球能往復振動次．說明：結合具體問題，了解解析式中各常數的實際意義．3、如圖，點P是半徑為rcm的砂輪邊緣上的一個質點，它從初始位置P0開場，按逆時針方向以角速度ωrad/s做圓周運動．求點P的縱坐標y關于時間t的函數關系，并求點P的運動周期和頻率．答案：點P的縱坐標關于時間t的函數關系式為y=rsin〔ωt＋φ〕，t∈[0，＋∞〕；點P的運動周期和頻率分別為和．說明：應用函數模型y=rsin〔ωt＋φ〕解決實際問題．P65習題1.61、根據以下條件，求△ABC的內角A：〔1〕； 〔2〕；〔3〕tanA=1； 〔4〕．答案：〔1〕30°或150°；〔2〕135°；〔3〕45°；〔4〕150°．說明：由角A是△ABC的內角，可知A∈〔0°，180°〕．2、根據以下條件，求〔0，2π〕內的角x：〔1〕； 〔2〕sinx=－1；〔3〕cosx=0； 〔4〕tanx=1．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．說明：可讓學生再變換角x的取值范圍求解．3、天上有些恒星的亮度是會變化的．其中一種稱為造父〔型〕變星，本身體積會膨脹收縮造成亮度周期性的變化、以以以下列圖為一造父變星的亮度隨時間的周期變化圖、此變星的亮度變化的周期為多少天最亮時是幾等星最暗時是幾等星答案：5.5天；約3.7等星；約4.4等星．說明：每個周期的圖象不一定完全一樣，表示視星等的坐標是由大到小．4、夏天是用電的頂峰時期，特別是在晚上．為保證居民空調制冷用電，電力部門不得不對企事業拉閘限電，而到了0時以后，又出現電力過剩的情況．因此每天的用電也出現周期性的變化．為保證居民用電，電力部門提出了“消峰平谷〞的想法，即提高晚上頂峰時期的電價，同時降低后半夜低峰時期的電價，鼓勵各單位在低峰時用電．請你調查你們地區每天的用電情況，制定一項“消峰平谷〞的電價方案．答案：先收集每天的用電數據，然后作出用電量隨時間變化的圖象，根據圖象制定“消峰平谷〞的電價方案．說明：建設周期變化的模型解決實際問題．B組1、北京天安門廣場的國旗每天是在日出時隨太陽升起，在日落時降旗、請根據年鑒或其他的參考資料，統計過去一年不同時期的日出和日落時間．〔1〕在同一坐標系中，以日期為橫軸，畫出散點圖，并用曲線去擬合這些數據，同時找到函數模型；〔2〕某同學準備在五一長假時去看升旗，他應當幾點到達天安門廣場答案：略．說明：建設周期變化的函數模型，根據模型解決實際問題．2、一個城市所在的經度和緯度是若何影響日出和日落的時間的收集其他有關的數據并提供理論證據支持你的結論．答案：略．說明：收集數據，建設周期變化的函數模型，根據模型提出個人意見．然后采取上網、查閱資料或走訪專業人士的形式，獲取這方面的信息，以此來說明自己的結論．P69復習參考題A組1、寫出與以下各角終邊一樣的角的集合S，并且把S中適合不等式－2π≤β≤4π的元素β寫出來：〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕0．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕{β|β=2kπ，k∈Z}，－2π，0，2π．說明：用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊一樣的角的集合，并在給定范圍內找出與指定的角終邊一樣的角．2、在半徑為15cm的圓中，一扇形的弧含有54°，求這個扇形的周長與面積〔π取3.14，計算結果保存兩個有效數字〕．答案：周長約44cm，面積約1.1×102cm2．說明：可先將角度轉化為弧度，再利用弧度制下的弧長和面積公式求解．3、確定以下三角函數值的符號：〔1〕sin4； 〔2〕cos5； 〔3〕tan8； 〔4〕tan〔－3〕．答案：〔1〕負；〔2〕正；〔3〕負；〔4〕正．說明：將角的弧度數轉化為含π的形式或度，再進展判斷．4、，求sinφ，tanφ．答案：當φ為第一象限角時，；當φ為第四象限角時，．說明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．5、sinx=2cosx，求角x的三個三角函數值．答案：當x為第一象限角時，tanx=2，；當x為第三象限角時，tanx=2，．說明：先求tanx的值，再求另外兩個函數的值．6、用cosα表示sin4α－sin2α＋cos2α．答案：cos4α．說明：先將原式變形為sin2α〔sin2α－1〕＋cos2α，再用同角三角函數的基本關系變形．7、求證：〔1〕2〔1－sinα〕〔1＋cosα〕=〔1－sinα＋cosα〕2；〔2〕sin2α＋sin2β－sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β=1．答案：〔1〕左邊=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=右邊．〔2〕左邊=sin2α〔1－sin2β〕＋sin2β＋cos2αcos2β=cos2β〔sin2α＋cos2α〕＋sin2β=1=右邊．說明：第〔1〕題可先將左右兩邊展開，再用同角三角函數的基本關系變形．8、tanα=3，計算：〔1〕；〔2〕sinαcosα；〔3〕〔sinα＋cosα〕2．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕．說明：第〔2〕題可由，得，所以．或．9、先估計結果的符號，再進展計算．〔1〕；〔2〕sin2＋cos3＋tan4〔可用計算器〕．答案：〔1〕0；〔2〕1.0771．說明：先根據各個角的位置比較它們的三角函數值的大小，再估計結果的符號．10、，計算：〔1〕cos〔2π－α〕； 〔2〕tan〔α－7π〕．答案：〔1〕當α為第一象限角時，，當α為第二象限角時，；〔2〕當α為第一象限角時，，當α為第二象限角時，．說明：先用誘導公式轉化為α的三角函數，再用同角三角函數的基本關系計算．11、先比較大小，再用計算器求值：〔1〕sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；〔2〕sin〔－879°〕，；〔3〕sin3，cos〔sin2〕．答案：〔1〕tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；〔2〕sin〔－879°〕=－0.358，；〔3〕sin3=0.141，cos〔sin2〕=0.614．說明：此題的要求是先估計各三角函數值的大小，再求值驗證．12、設π＜x＜2π，填表：xsinx－1cosxtanx答案：xsinx－1cosx0tanx1不存在－1說明：熟悉各特殊角的三角函數值．13、以下各式能否成立，說明理由：〔1〕cos2x=1.5； 〔2〕．答案：〔1〕因為，或，而，所以原式不能成立；〔2〕因為，而，所以原式有可能成立．說明：利用正弦和余弦函數的最大值和最小值性質進展判斷．14、求以下函數的最大值、最小值，并且求使函數取得最大、最小值的x的集合：〔1〕，x∈R；〔2〕y=3－2cosx，x∈R．答案：〔1〕最大值為，此時x的集合為；最小值為，此時x的集合為；〔2〕最大值為5，此時x的集合為{x|x=〔2k＋1〕π，k∈Z}；最小值為1，此時x的集合為{x|x=2kπ，k∈Z}．說明：利用正弦、余弦函數的最大值和最小值性質，研究所給函數的最大值和最小值性質．15、0≤x≤2π，求適合以下條件的角x的集合：〔1〕y=sinx和y=cosx都是增函數；〔2〕y=sinx和y=cosx都是減函數；〔3〕y=sinx是增函數，而y=cosx是減函數；〔4〕y=sinx是減函數，而y=cosx是增函數．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．說明：利用函數圖象分析．16、畫出以下函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕答案：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕說明：可要求學生在作出圖象后，用計算機或計算器驗證．17、〔1〕用描點法畫出函數y=sinx，的圖象．〔2〕若何根據第〔1〕小題并運用正弦函數的性質，得出函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象〔3〕若何根據第〔2〕小題并通過平行移動坐標軸，得出函數y=sin〔x＋φ〕＋k，x∈[0，2π]的圖象〔其中φ，k都是常數〕答案：〔1〕x0sinx00.170.340.500.640.770.870.940.981〔2〕由sin〔π－x〕=sinx，可知函數y=sinx，x∈[0，π]的圖象關于直線對稱，據此可得函數y=sinx，的圖象；又由sin〔2π－x〕=－sinx，可知函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象關于點〔π，0〕對稱，據此可得出函數y=sinx，x∈[π，2π]的圖象．〔3〕先把y軸向右〔當φ＞0時〕或向左〔當φ＜0時〕平行移動|φ|個單位長度，再把x軸向下〔當k＞0時〕或向上〔當k＜0時〕平行移動|k|個單位長度，最后將圖象向左或向右平行移動2π個單位長度，并擦去[0，2π]之外的局部，便得出函數y=sin〔x＋φ〕＋k，x∈[0，2π]的圖象．說明：學會用不同的方法作函數圖象．18、不通過畫圖，寫出以下函數的振幅、周期、初相，并說明若何由正弦曲線得出它們的圖象：〔1〕〔2〕答案：〔1〕振幅是1，周期是，初相是．把正弦曲線向左平行移動個單位長度，可以得函數，x∈R的圖象；再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍〔縱坐標不變〕，就可得出函數，x∈R的圖象．〔2〕振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲線上所有點的橫坐標伸長到原來的6倍〔縱坐標不變〕，得到函數，x∈R的圖象；再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍〔橫坐標不變〕，就可得到函數，x∈R的圖象．說明：會根據解析式求各物理量，并理解若何由正弦曲線通過變換得到正弦函數的圖象．B組1、α為第四象限角，確定以下各角的終邊所在的位置：〔1〕； 〔2〕； 〔3〕2α．答案：〔1〕，所以的終邊在第二或第四象限；〔2〕，所以的終邊在第二、第三或第四象限；〔3〕〔4k＋3〕π＜2α＜〔4k＋4〕π，所以2α的終邊在第三或第四象限，也可在y軸的負半軸上．說明：不要求探索α分別為各象限角時，和nα的終邊所在位置的規律．2、一個扇形的弧長與面積的數值都是5，求這個扇形中心角的度數．答案：約143°說明：先用弧度制下的扇形面積公式求出半徑，再求出中心角的弧度數，然后將弧度數化為角度數．3、α為第二象限角，化簡．提示：說明：根據同角三角函數的基本關系將被開方式變形，并根據α的終邊位置確定符號是關鍵．4、，計算：〔1〕； 〔2〕．答案：〔1〕；〔2〕．說明：根據同角三角函數的基本關系將原式變形為只含tanα的關系式．5、求證：．說明：把左邊分子中的1變成sin2α＋cos2α是關鍵．6、xcosθ=a，，求證．答案：將條件代入左邊，得說明：將條件代入左邊消去θ是關鍵．7、tanθ＋sinθ=a，tanθ－sinθ=b，求證〔a2－b2〕2=16ab．答案：將條件代入左邊，得左邊=[〔tanθ＋sinθ〕2－(tanθ－sinθ)2]2=16tan2θ·sin2θ，再將條件代入右邊，得所以，左邊=右邊．說明：還可以利用及〔tanθ＋sinθ〕〔tanθ－sinθ〕=tan2θ·sin2θ．8、〔1〕函數，x∈R在什么區間上是減函數〔2〕函數，x∈R在什么區間上是增函數答案：〔1〕；〔2〕．說明：利用正弦、余弦函數的單調區間求所給函數的單調區間．9、〔1〕我們知道，以原點為圓心，r為半徑的圓的方程是x2＋y2=r2．那么表示什么曲線〔其中r是正常數，θ在[0，2π〕內變化〕〔2〕在直角坐標系中，表示什么曲線〔其中a、b、r是常數，且r為正數，θ在[0，2π〕內變化〕答案：〔1〕表示以原點為圓心，r為半徑的圓．〔2〕表示以〔a，b〕為圓心，r為半徑的圓．說明：此題只作同角三角函數關系式的應用訓練，不必補充參數方程的有關知識．另外，如果沒有學習《數學2》，也可不做此題．P77習題2.1A組1、在如以以下列圖的坐標紙中，用直尺和圓規畫出以下向量：〔1〕，點A在點O正南方向；〔2〕，點B在點O北偏西45°方向；〔3〕，點C在點O南偏西30°方向．答案：說明：選定點O后，點A，B，C的位置就唯一確定．點A在點B的什么方位是向量中經常會涉及的問題，也是引入向量的直觀例子．教師應讓學生熟悉這種表示方法．2、一人從點A出發，向東走500米到達點B，接著向北偏東60°走300米到達點C，然后再向北偏東45°走100米到達點D．試選擇適當的比例尺，用向量表示這個人的位移．答案：說明：位移是物理學中的基本量．在數學中可以用有向線段表示位移，要表示出點A、D之間的位移，就需要表示出點A、B，點B、C，點C、D之間的位移．讓學生通過實例，感受向量與生活嚴密相關．3、如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點，寫出圖中與、、相等的向量．答案：與相等的向量有：；與相等的向量有：；與相等的向量有：．說明：主要考察三角形及其中位線的性質與向量之間的聯系．向量是形與數之間的橋梁，學習向量時，一定要注意密切聯系圖形的幾何性質，特別是相等和平行方面的性質．4、如圖，在方格紙上的□ABCD和折線MPQRST中，點O是□ABCD的對角線的交點，且分別寫出圖中與a、b、c相等的向量．答案：與a相等的向量有：；與b相等的向量有：；與c相等的向量有：．說明：平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分．有條件的也可以運用幾何作圖軟件作圖，通過平移，加深學生對相等向量的認識．5、邊長為3的等邊三角形ABC，求BC邊上的中線向量的模．答案：說明：等邊三角形具有許多性質，如三邊相等，三邊的高線、中線、角平分線三線合一等．向量是聯系代數與幾何的有力工具，在解題時應引導學生根據題意作圖反映幾何特性．6、判斷以下結論是否正確〔正確的在括號內打“√〞，錯誤的打“×〞〕，并說明理由．〔1〕假設a、b都是單位向量，則a=b．〔〕〔2〕物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量．〔〕〔3〕方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量．〔〕〔4〕直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量．〔〕答案：〔1〕×說明：單位向量的長度都是1，但方向可能不同．〔2〕√說明：作用力和反作用力作用在不同的物體上，其大小一樣，方向相反，是一對共線向量．〔3〕√說明：方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量方向相反，它們是共線向量．〔4〕×說明：x軸，y軸只有方向，沒有大小，因而不是向量．B組1、有人說，由于海平面以上的高度〔海拔〕用正數表示，海平面以下的高度用負數表示，所以海拔也是向量、你同意他的看法嗎溫度、角度是向量嗎為什么答案：海拔和高度都不是向量．說明：海拔不是向量，它只有大小，沒有方向．講海拔時，通常不從向量的角度去講，海平面以上的高度用正數表示，海平面以下的高度用負數表示．同樣，溫度、角度也不是向量．2、在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分別為AB和CD的中點，在以A、B、C、D、M、N為起點和終點的所有向量中，相等的非零向量共有多少對答案：相等的向量共有24對．模為1的向量有18對．其中與同向的共有6對，與反向的也有6對；與同向的共有3對，與反向的也有3對；模為的向量共有4對；模為2的向量有2對．說明：相等向量是大小相等、方向一樣的向量．學生應熟悉矩形的性質：有一個角是直角、對邊平行．在解題中，要確定一個分類的原則，計算各類中相等向量的對數．這里是以向量模的大小分類，然后考慮各類中有幾種不同的方向，最后研究各個方向上各有幾對相等的向量．P91習題2.21、設a表示“向東走10km〞，b表示“向西走5km〞，c表示“向北走10km〞，d表示“向南走5km〞．試說明以下向量的意義．〔1〕a＋a；〔2〕a＋b；〔3〕a＋c；〔4〕b＋d；〔5〕b＋c＋b；〔6〕d＋a＋d．答案：〔1〕向東走20km；〔2〕向東走5km；〔3〕向東北走；〔4〕向西南走；〔5〕向西北走；〔6〕向東南走．2、一架飛機向北飛行300km，然后改變方向向西飛行400km，求飛機飛行的路程及兩次位移的合成．答案：飛機飛行的路程為700km；兩次位移的合成是向北偏西約53°方向飛行500km．3、一艘船以8km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/h．求船實際航行的速度的大小與方向〔準確到1°〕．答案：實際航行的速度是，船航行的方向與河岸的夾角約為76°．4、化簡：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕．答案：〔1〕0；〔2〕；〔3〕；〔4〕0；〔5〕0；〔6〕；〔7〕0．5、作圖驗證：〔1〕；〔2〕．答案：略．6、向量a、b，求作向量c，使a＋b＋c=0．表示a、b、c的有向線段能構成三角形嗎答案：不一定構成三角形．說明：結合向量加法的三角形法則，讓學生理解，假設三個非零向量的和為零向量，且這三個向量不共線時，則表示這三個向量的有向線段一定能構成三角形．7、作圖驗證：b－a=－〔a－b〕．答案：略．8、a、b為兩個非零向量，〔1〕求作向量a＋b及a－b；〔2〕向量a、b成什么位置關系時，|a＋b|=|a－b|〔不要求證明〕．答案：〔1〕略；〔2〕當a⊥b時，|a＋b|=|a－b|．說明：〔2〕的結論可以啟發學生結合向量加法的平行四邊形法則解釋，其實質是對角線相等的平行四邊形是矩形．9、化簡：〔1〕5〔3a－2b〕＋4〔2b－3a〕；〔2〕6〔a－3b＋c〕－4〔－a＋b－c〕；〔3〕；〔4〕〔x－y〕〔a＋b〕－〔x－y〕〔a－b〕．答案：〔1〕3a－2b；〔2〕10a－22b＋10c；〔3〕；〔4〕2〔x－y〕b10、a=e1＋2e2，b=3e1－2e2，求a＋b，a－b與3a－2b．答案：a＋b=4e1，a－b=－e1＋4e2，3a－2b=－3e1＋10e2．11、□ABCD的對角線AC和BD相交于O，且，，用向量a、b分別表示向量．答案：如以以下列圖，12、△ABC中，，DE//BC，且與邊AC相交于點E，△ABC的中線AM與DE相交于點N．設，，用a、b分別表示向量．答案：，．說明：此題用到平行線分線段成比例的有關性質及平行四邊形的性質．13、四邊形ABCD，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，求證：．證明：在△ABC中，E，F分別是AB，BC的中點，所以EF∥AC且，即；同理，．所以．說明：此題主要目的是讓學生應用三角形中位線定理，體會向量與幾何的聯系．B組1、飛機從甲地以北偏西15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地以南偏東75°的方向飛行1400km到達丙地．試畫出飛機飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向丙地距甲地多遠答案：丙地在甲地的北偏東45°方向，距甲地1400km．2、a、b是非零向量，|a＋b|與|a|＋|b|一定相等嗎為什么答案：不一定相等，可以驗證在a，b不共線時它們不相等．3、如圖，．求證：．證明：因為4、根據以下各個小題中的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明：〔1〕；〔2〕；〔3〕，且．答案：〔1〕四邊形ABCD為平行四邊形，證略；〔2〕四邊形ABCD為梯形．證明：因為，所以AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD為梯形．〔3〕四邊形ABCD為菱形．證明：因為，所以AB∥DC，AB=DC．所以四邊形ABCD為平行四邊形．又，所以四邊形ABCD為菱形．說明：此題是用向量的性質判斷圖形的幾何性質．5、O為四邊形ABCD所在平面內的一點，且向量滿足等式．〔1〕作圖并觀察四邊形ABCD的形狀；〔2〕四邊形ABCD有什么特性試證明你的猜想．答案：〔1〕通過作圖可以發現四邊形ABCD為平行四邊形．證明：因為，，因此四邊形ABCD為平行四邊形．說明：此題需要先根據題意分析作圖方法．實際上，這個圖中三個頂點的位置是任意的，而第四個頂點的位置是由給出的條件確定的．所以在作圖時，可先作向量〔如圖〕，然后作，最后只需將平移至，連接A、B、C、D四點得出四邊形ABCD．此題如能利用計算機軟件作圖，效果會更好，學生可以動態地觀察圖形，幫助思考．P101習題2.3A組1、表示向量a的有向線段始點A的坐標，求它的終點B的坐標：〔1〕a=〔－2，1〕，A〔0，0〕；〔2〕a=〔1，3〕，A〔－1，5〕；〔3〕a=〔－2，－5〕，A〔3，7〕．答案：〔1〕〔－2，1〕；〔2〕〔0，8〕；〔3〕〔1，2〕．說明：解題時可設B〔x，y〕，利用向量坐標的定義解題．2、作用在坐標原點的三個力分別為F1=〔3，4〕，F2=〔2，－5〕，F3=〔3，1〕，求作用在原點的合力F1＋F2＋F3的坐標．答案：F1＋F2＋F3=〔8，0〕．3、□ABCD的頂點A〔－1，－2〕，B〔3，－1〕，C〔5，6〕，求頂點D的坐標．答案：解法一：而．所以點D的坐標為〔1，5〕．解法二：設D〔x，y〕，則解得點D的坐標為〔1，5〕．說明：此題也可利用平行四邊形的對角線互相平分，用A、C和B、D的中點重合來解題．教師可啟發學生通過多種途徑解題．4、點A〔1，1〕，B〔－1，5〕及，求點C、D、E的坐標．解：，所以，點C的坐標為〔0，3〕；，所以，點D的坐標為〔－3，9〕；，所以，點E的坐標為〔2，－1〕．說明：要使學生理解向量的坐標的意義，能利用向量的坐標確定一個點的坐標．5、x為何值時，a=〔2，3〕與b=〔x，－6〕共線答案：由向量a，b共線得〔2，3〕=λ〔x，－6〕，所以，解得x=－4．說明：要讓學生通過此類習題的練習，體會兩個共線向量的坐標之間的關系，理解為什么可以通過比例來求解，這也是培養學生歸納能力的一個途徑．6、A〔－2，－3〕，B〔2，1〕，C〔1，4〕，D〔－7，－4〕，試問：是否共線答案：．7、點O〔0，0〕，A〔1，2〕，B〔－1，3〕，且，求點A′、B′及向量的坐標．答案：，所以點A′的坐標為〔2，4〕；，所以點B′的坐標為〔－3，9〕；向量．B組1、點O〔0，0〕，A〔1，2〕，B〔4，5〕，．當t=1，，－2，2時，分別求點P的坐標．答案：．當t=1時，，所以P〔4，5〕；當時，當t=－2時，，所以P〔－5，－4〕；當t=2時，，所以P〔7，8〕．2、判斷以下各點的位置關系，并給出證明：〔1〕A〔1，2〕，B〔－3，－4〕，C〔2，3、5〕；〔2〕P〔－1，2〕，Q〔0.5，0〕，R〔5，－6〕；〔3〕E〔9，1〕，F〔1，－3〕，G〔8，0.5〕．答案：〔1〕因為，所以A、B、C三點共線；〔2〕因為，所以P、Q、R三點共線；〔3〕因為，所以E、F、G三點共線．3、設e1、e2是平面內一組基底，證明：當λ1e1＋λ2e2=0時，恒有λ1=λ2=0．證明：假設λ1≠0，則由λ1e1＋λ2e2=0，得．所以e1、e2是共線向量，與e1、e2是平面內的一組基底矛盾．因此假設錯誤，λ1=0．同理λ2=0．綜上，λ1=λ2=0．4、如圖，設Ox、Oy是平面內相交成60°角的兩條數軸，e1、e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，假設向量，則把有序數對〔x，y〕叫做向量在坐標系xOy中的坐標．假設，〔1〕計算的大小；〔2〕由平面向量基本定理，此題中向量坐標的規定是否合理答案：〔1〕．〔2〕對于任意向量，x，y都是唯一確定的，所以向量的坐標表示的規定合理．P108習題2.4A組1、|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角θ=150°，求a·b，〔a＋b〕2，|a＋b|．答案：．2、△ABC中，a=5，b=8，C=60°，求．答案：與的夾角為120°，．3、|a|=2，|b|=5，a·b=－3，求|a＋b|，|a－b|．答案：4、求證：〔λa〕·b=λ〔a·b〕=a·〔λb〕．答案：證法一：設a與b的夾角為θ．〔1〕當λ=0時，等式顯然成立；〔2〕當λ＞0時，λa與b，a與λb的夾角都為θ，所以〔λa〕·b=|λa||b|cosθ=λ|a||b|cosθ，λ〔a·b〕=λ|a||b|cosθ，a·〔λb〕=|a||λb|cosθ=λ|a||b|cosθ．所以，〔λa〕·b=λ〔a·b〕=a·〔λb〕；〔3〕當λ＜0時，λa與b，a與λb的夾角都為180°－θ，則〔λa〕·b=|λa||b|cos〔180°－θ〕=－|λ||a||b|cosθ，λ〔a·b〕=λ|a||b|cosθ=－|λ||a||b|cosθ，a·〔λb〕=|a||λb|cos〔180°－θ〕=－|λ||a||b|cosθ．所以，〔λa〕·b=λ〔a·b〕=a·〔λb〕．綜上所述，等式成立．證法二：設a=〔x1，y1〕，b=〔x2，y2〕，那么〔λa〕·b=〔λx1，λy1〕·〔x2，y2〕=λx1x2＋λy1y2，λ〔a·b〕=λ〔x1，y1〕·〔x2，y2〕=λ〔x1x2＋y1y2〕=λx1x2＋λy1y2，a·〔λb〕=〔x1，y1〕·〔λx2，λy2〕=λx1x2＋λy1y2．所以〔λa〕·b=λ〔a·b〕=a·〔λb〕．5、先作圖，觀察以A、B、C為頂點的三角形的形狀，然后給出證明：〔1〕A〔－1，－4〕，B〔5，2〕，C〔3，4〕；〔2〕A〔－2，－3〕，B〔19，4〕，C〔－1，－6〕；〔3〕A〔2，5〕，B〔5，2〕，C〔10，7〕．答案：〔1〕直角三角形，∠B為直角．證明：，由，得BC⊥BA，∠B為直角，△ABC為直角三角形；〔2〕直角三角形，∠A為直角．證明：，同〔1〕可得結論；〔3〕直角三角形，∠B為直角．證明：，同〔1〕可得結論．6、設|a|=12，|b|=9，，求a與b的夾角θ．答案：θ=135°7、|a|=4，|b|=3，〔2a－3b〕·〔2a＋b〕=61，求a與b的夾角θ．答案：θ=120°〔2a－3b〕·〔2a＋b〕=4a2－4a·b－3b2=61，于是可得a·b=－6，，所以θ=120°．8、|a|=8，|b|=10，|a＋b|=16，求a與b的夾角θ〔準確到1°〕．〔可用計算器〕答案：，θ=55°．9、求證：A〔1，0〕，B〔5，－2〕，C〔8，4〕，D〔4，6〕為頂點的四邊形是一個矩形．證明：因為，所以．所以A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形．10、|a|=3，b=〔1，2〕，且a∥b，求a的坐標．解：設a=〔x，y〕，則說明：在解方程的過程中，要注意x與y同號．11、a=〔4，2〕，求與a垂直的單位向量的坐標．解：設與a垂直的單位向量e=〔x，y〕，則說明：方程4x＋2y=0中隱含了條件：x與y異號．B組1、a是非零向量，且b≠c，求證：a·b=a·ca⊥〔b－c〕．答案：證法一：a·b=a·ca·b－a·c=0a·〔b－c〕=0a⊥〔b－c〕．證法二：設a=〔x1，y1〕，b=〔x2，y2〕，c=〔x3，y3〕．先證a·b=a·ca⊥〔b－c〕．a·b=x1x2＋y1y2，a·c=x1x3＋y1y3．由a·b=a·c得x1x2＋y1y2=x1x3＋y1y3，即x1〔x2－x3〕＋y1〔y2－y3〕=0．而b－c=〔x2－x3，y2－y3〕，所以a·〔b－c〕=0．再證a⊥〔b－c〕a·b=a·c．由a·〔b－c〕=0得x1〔x2－x3〕＋y1〔y2－y3〕=0，即x1x2＋y1y2=x1x3＋y1y3，因此a·b=a·c．說明：這里給出了兩種不同的證明方法，證法一是利用向量數量積的運算律進展證明，而證法二是利用向量的坐標運算進展證明．實際上，學生學習了向量的坐標運算后，會遇到是否需要選用坐標進展證明的問題，教師在教學中需要對不同的問題加以分析引導，讓學生體會兩種不同方法的特點和方法．2、如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A〔cosα，sinα〕，B〔cosβ，sinβ〕，試用A、B兩點的坐標表示∠AOB的余弦值．答案：．說明：此題是為后面章節中兩角差的余弦公式的學習作準備，同時也讓學生體會向量在三角中的運用．3、證明：對于任意的a、b、c、d∈R，恒有不等式〔ac＋bd〕2≤〔a2＋b2〕〔c2＋d2〕．證明：構造向量u=〔a，b〕，v=〔c，d〕．u·v=|u||v|cosθ〔其中θ為向量u，v的夾角〕．所以，〔ac＋bd〕2=〔a2＋b2〕〔c2＋d2〕cos2θ≤〔a2＋b2〕〔c2＋d2〕．說明：不等式中等號成立的條件是u，v同向．4、如圖，在圓C中，是不是只需知道圓C的半徑或弦AB的長度，就可以求的值答案：的值只與弦AB的長有關，與圓的半徑無關．證明：取AB的中點M，連接CM，則CM⊥AB，．5、平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念，利用它可以容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、菱形的對角線相互垂直、長方形對角線相等、正方形的對角線垂直平分等、請你給出具體證明．你能利用向量運算推導關于三角形、四邊形、圓等平面圖形的一些其他性質嗎答案：〔1〕勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，則．證明：因為，所以．由∠C=90°，有CA⊥CB，于是．所以．〔2〕菱形ABCD中，求證：AC⊥BD．證明：因為所以．因為ABCD是菱形，所以AB=AD，所以．因為，所以AC⊥BD．〔3〕長方形ABCD中，求證：AC=BD．證明：因為ABCD是長方形，所以AB⊥AD，所以．所以．所以．所以．所以AC=BD．〔4〕正方形的對角線垂直平分．綜合以上〔2〕〔3〕的證明即可．P113習題2.51、點A〔1，0〕，直線l：y=2x－6，點R是直線l上的一點，假設，求點P的軌跡方程．解：設P〔x，y〕，R〔x1，y1〕，代入直線l的方程得y=2x．所以，點P的軌跡方程為y=2x．說明：此題實際上是利用向量進展圖形變換，目的是加強學生的應用向量意識．2、△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，BF與CD交于點O，設，〔1〕證明A、O、E三點在同一直線上，且；〔2〕用a、b表示向量．解：〔1〕易知，△OFD∽△OBC，，所以，．〔2〕因為，所以．因此A、O、E三點在同一直線上，而且．同理可知．所以．說明：此題的目的是要證明三角形的三條中線相交于一點．為了降低證明的難度，將問題分成了兩個小題．教學中，可以通過此題讓學生思考證明三線共點的證明方法：可以是先得出其中兩條線的交點，然后證明第三條線經過這一點．此題也可以利用向量的坐標來求解．3、兩個粒子A、B從同一源發射出來，在某一時刻，它們的位移分別為sA=〔4，3〕，sB=〔2，10〕．〔1〕寫出此時粒子B相對粒子A的位移s；〔2〕計算s在sA方向上的投影．解：〔1〕v=vB－vA=〔－2，7〕；〔2〕v在vA方向上的投影為．4、平面上三個力F1、F2、F3作用于一點且處于平衡狀態，|F1|=1N，，F1與F2的夾角為45°，求：〔1〕F3的大小；〔2〕F3與F1夾角的大小．解：設F1，F2的合力為F，F與F1的夾角為θ，則，θ=30°；，F3與F1的夾角為150°．說明：由于沒有學習正弦定理、余弦定理，可用如以以下列圖的方法添高求解．B組1、以初速度v0，拋射角θ投擲鉛球，求鉛球上升的最大高度和最大投擲距離解：設v0在水平方向的速度大小為vx，豎直方向的速度的大小為vy，則vx=|v0|cosθ，vy=|v0|sinθ．設在時刻t的上升高度為h，拋擲距離為s，則所以，最大高度為，最大投擲距離為．2、一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A處出發到河對岸．船的靜水速度|v1|=10km/h，水流速度|v2|=2km/h．要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的比值必須最小．此時我們分三種情況討論：〔1〕當船逆流行駛，與水流成鈍角時；〔2〕當船順流行駛，與水流成銳角時；〔3〕當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時．請同學們計算上面三種情況，是否當船垂直于對岸行駛時，與水流成直角時，所用時間最短．解：設v1與v2的夾角為θ，合速度為v，與v的夾角為α了，行駛距離為d，則．所以當θ=90°，即船垂直于對岸行駛時所用時間最短．說明：由于學生還沒有學習正弦定理和余弦定理，所以要通過作高來求解．3、對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉θ角得到點P．〔1〕平面內點A〔1，2〕，點．把點B繞點A沿順時針方向旋轉后得到點P，求點P的坐標；〔2〕設平面內曲線C上的每一點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到的點的軌跡是曲線x2－y2=3，求原來曲線C的方程．答案：〔1〕〔0，－1〕．解：設P〔x，y〕，則．將繞點A沿順時針方向旋轉到，相當于沿逆時針方向旋轉到，于是解得x=0，y=－1．〔2〕．解：設曲線C上任一點P的坐標為〔x，y〕，繞O逆時針旋轉后，點P的坐標為〔x′，y′〕，則又因為x′2－y′2=3，所以．化簡得．說明：此題希望學生能運用題目中給出的法則進展運算，同時也表達向量的作用．P118復習參考題1、判斷以下命題是否正確：〔1〕； 〔〕〔2〕； 〔〕〔3〕； 〔〕〔4〕． 〔〕答案：〔1〕〔√〕與是相反向量，它們的和為零向量．〔2〕〔√〕當第一個向量的終點是第二個向量的起點時，這兩個向量的和等于第一個向量的起點指向第二向量的終點的向量．〔3〕〔×〕當兩個向量有共同的起點時，那么這兩個向量的差等于減向量的終點指向被減向量的終點的向量．〔4〕〔×〕實數0與任意向量的數乘結果是零向量，而不是實數0．2、選擇題：〔1〕如果a，b是兩個單位向量，那么以下四個結論中正確的選項是〔〕A．a=b B．a·b=1 C．a2≠b2 D．|a|2=|b|2〔2〕對于任意向量a、b，以下命題中正確的選項是〔〕A．假設a、b滿足|a|＞|b|，且a與b同向，則a＞bB．|a＋b|≤|a|＋|b|C．|a·b|≥|a||b|D．|a－b|≤|a|－|b|〔3〕在四邊形ABCD中，假設，則〔〕．A．ABCD是矩形 B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形 D．ABCD是平行四邊形〔4〕設a是非零向量，λ是非零實數，以下結論中正確的選項是〔〕A．a與－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|C．a與λ2a的方向一樣 D．|－λa|=|λ|·a〔5〕設M是□ABCD的對角線的交點，O為任意一點，則等于〔〕A． B． C． D．〔6〕以下各組向量中，可以作為基底的是〔〕A．e1=〔0，0〕，e2=〔1，－2〕 B．e1=〔－1，2〕，e2=〔5，7〕C．e1=〔3，5〕，e2=〔6，10〕 D．e1=〔2，－3〕，答案：〔1〕D說明：兩個單位向量的長度是相等的，因而長度的平方也是相等的．A選項不正確是因為兩個向量相等，必須長度相等，而且方向一樣．兩個單位向量盡管長度相等，但方向不一定一樣．B選項不正確．兩個單位向量的數量積只有當它們同向〔或夾角為0〕時，它們的數量積才為1．C選項不正確．因為a2、b2表示向量a和向量b的長度的平方，而|a|=|b|，所以它們應該相等．〔2〕B說明：可利用三角形兩邊之和與第三邊的關系來解題．〔3〕D說明：這是向量加法的平行四邊形法則，它只能保證四邊形ABCD是平行四邊形，不能保證它是矩形、菱形、正方形．〔4〕C說明：當λ＞0時，a與－λa的方向相反；當λ＜0時，a與－λa的方向一樣．〔5〕D說明：．〔6〕B說明：兩個不共線的非零向量構成一組基底．3、，且，，分別用a，b表示．答案：．4、六邊形ABCDEF為正六邊形，且，，分別用a，b表示．略解：5、平面直角坐標系啵，點O為原點，A〔－3，－4〕，B〔5，－12〕．〔1〕求的坐標及；〔2〕假設，求的坐標；〔3〕求．答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕．6、點A〔0，1〕，B〔1，0〕，C〔1，2〕，D〔2，1〕，試判斷向量的位置關系，并給出證明．答案：．證明：因為，所以．所以AB與CD共線．7、點A〔1，1〕，B〔－1，0〕，C〔0，1〕，求點D〔x，y〕，使．答案：D〔－2，0〕．8、n為何值時，向量a=〔n，1〕與b=〔4，n〕共線且方向一樣答案：n=2．9、a=〔1，0〕，b=〔1，1〕，c=〔－1，0〕，求λ和μ，使c=λa＋μb．答案：λ=－1，μ=0．10、△ABC的頂點坐標分別為A〔1，1〕，B〔4，1〕，C〔4，5〕，求cosA，cosB，cosC的值．答案：，cosB=0，．11、單位向量m和n的夾角為60°，求證：〔2n－m〕⊥m，并解釋其幾何意義．證明：〔2n－m〕·m=2n·m－m2=2cos60°－1=0，所以和，〔2n－m〕⊥m．幾何意義如以以下列圖．12、a=〔1，0〕，b=〔1，1〕，λ為何值時，a＋λb與a垂直答案：λ=－1．13、，|b|=2，a與b的夾角為30°，求|a＋b|，|a－b|．答案：．14、如以以下列圖，支座A受F1、F2兩個力的作用，|F1|=40N，與水平線成θ角；|F2|=70N，沿水平方向；兩個力的合力|F|=100N，求角θ以及合力F與水平線的夾角β．答案：．B組1、選擇題：〔1〕，則〔〕．A．A、B、D三點共線 B．A、B、C三點共線C．B、C、D三點共線 D．A、C、D三點共線〔2〕正方形ABCD的邊長為1，，，，則|a＋b＋c|等于〔〕A．0 B．3 C． D．〔3〕，且四邊形ABCD為平行四邊形，則〔〕A．a＋b＋c＋d=0 B．a－b＋c－d=0C．a＋b－c－d=0 D．a－b－c＋d=0〔4〕D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，且，則①；②；③；④中正確的等式的個數為〔〕A．1 B．2 C．3 D．4〔5〕假設e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，則a=2e1＋e2；b=－3e1＋2e2的夾角為〔〕A．30° B．60° C．120° D．150°〔6〕假設向量a、b、c兩兩所成的角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，則|a＋b＋c|等于〔〕A．2 B．5 C．2或5 D．〔7〕等邊三角形ABC的邊長為1，，那么a·b＋b·c＋c·a等于〔〕A．3 B．－3 C． D．答案：〔1〕A；〔2〕D；〔3〕B；〔4〕C；〔5〕C；〔6〕C；〔7〕D．說明：〔6〕中向量的夾角可以是0或，〔7〕中假設，則結論為．教師可以給出各種情況讓學生思考，認清向量的夾角，防止機械地記憶答案．2、向量a，b為非零向量，求證：，并解釋其幾何意義．證明：先證a⊥b|a＋b|=|a－b|．因為a⊥b，所以a·b=0，于是．再證|a＋b|=|a－b|a⊥b．由于，所以，由|a＋b|=|a－b|可得a·b=0，于是a⊥b．所以|a＋b|=|a－b|a⊥b．幾何意義是矩形的兩條對角線相等．3、a＋b=c，a－b=d，求證：|a|=|b|c⊥d，并解釋其幾何意義．證明：先證|a|=|b|c⊥d．c·d=〔a＋b〕·〔a－b〕=|a|2－|b|2，又|a|=|b|，所以c·d=0．所以c⊥d．再證c⊥d|a|=|b|．由c⊥d得c·d=0，即〔a＋b〕·〔a－b〕=|a|2－|b|2=0，所以|a|=|b|．幾何意義為菱形的對角線互相垂直，如以以下列圖．4、如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，E、F分別是腰AD、BC的中點，M、N是線段EF上的兩個點，且EM=MN=NF，下底是上底的2倍，假設，求．答案：，5、向量滿足條件，，求證△P1P2P3是正三角形．證明：如以以下列圖，設，由于所以∠OP1P2=30°．同理可得∠OP1P3=30°．所以∠P3P1P2=60°．同理可得∠P1P2P3=60°，∠P2P3P1=60°．所以，△P2P1P3為正三角形．6、如圖，，任意點M關于點A的對稱點為S，點S關于點B的對稱點為N，用a、b表示向量．答案：連接AB．由對稱性可知，AB是△SMN的中位線，說明：此題可以運用信息技術觀察與點M的選取無關，進而引導學生發現向量與的關系．7、某人在靜水中游泳，速度為千米/時．他在水流速度為4千米/時的河中游泳．〔1〕如果他垂直游向河對岸，那么他實際沿什么方向前進實際前進的速度為多少〔2〕他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進實際前進的速度為多少答案：〔1〕實際前進速度大小為，沿與水流方向成60°的方向前進；〔2〕實際前進速度大小為，沿與水流方向成的方向前進．8、在△ABC中，假設，那么點O在△ABC的什么位置解：因為，所以，所以．同理，，所以點O為△ABC的垂心．9、平面直角坐標系內的向量都可以用一有序實數對唯一表示，這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具．如圖，設直線l的傾斜角為α〔α≠90°〕．在l上任取兩個不同的點P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，不妨設向量的方向是向上的，那么向量的坐標是〔x2－x1，y2－y1〕．過原點作向量，則點P的坐標是〔x2－x1，y2－y1〕，而且直線OP的傾斜角也是α．根據正切函數的定義得，這就是《數學2》中已經得到的斜率公式．上述推導過程比《數學2》中的推導簡捷．你能用向量作為工具討論一下直線的有關問題嗎例如：〔1〕過點P0〔x0，y0〕，平行于向量a=〔a1，a2〕的直線方程；〔2〕向量〔A，B〕與直線Ax＋By＋C=0的關系；〔3〕設直線l1和l2的方程分別是l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，那么，l1∥l2，l1⊥l2的條件各是什么如果它們相交，若何得到它們的夾角公式〔4〕點P0〔x0，y0〕到直線Ax＋By＋C=0的距離公式若何推導答案：〔1〕a2x－a1y＋a1y0－a2x0=0；〔2〕垂直；〔3〕當A1B2－A2B1=0時，l1∥l2；當A1A2＋B1B2=0時，l1⊥l2，夾角θ的余弦；〔4〕．P137習題3.1A組1、利用公式C〔α－β〕、S〔α－β〕證明：〔1〕；〔2〕；〔3〕cos〔π－α〕=－cosα；〔4〕sin