...wd......wd......wd...平面向量易錯題解析趙玉苗整理1、你熟悉平面向量的運算〔和、差、實數與向量的積、數量積〕、運算性質和運算的幾何意義嗎2、你通常是若何處理有關向量的模〔長度〕的問題〔利用；〕3、你知道解決向量問題有哪兩種途徑〔①向量運算；②向量的坐標運算〕4、你弄清“〞與“〞了嗎[問題]：兩個向量的數量積與兩個實數的乘積有什么區別在實數中：假設，且ab=0,則b=0,但在向量的數量積中，假設，且，不能推出.實數，且，則a=c,但在向量的數量積中沒有.在實數中有，但是在向量的數量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.5、向量的平移公式、函數圖象的平移公式你掌握了嗎6、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎三角形內的求值、化簡和證明恒等式有什么特點1、向量有關概念：〔1〕向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么〔向量可以平移〕。如A〔1,2〕，B〔4,2〕，則把向量按向量＝〔－1,3〕平移后得到的向量是_____〔答：〔3,0〕〕〔2〕零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；〔3〕單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；〔4〕相等向量：長度相等且方向一樣的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；〔5〕平行向量〔也叫共線向量〕：方向一樣或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！〔因為有)；④三點共線共線；〔6〕相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如以下命題：〔1〕假設，則。〔2〕兩個向量相等的充要條件是它們的起點一樣，終點一樣。〔3〕假設，則是平行四邊形。〔4〕假設是平行四邊形，則。〔5〕假設，則。〔6〕假設，則。其中正確的選項是_______〔答：〔4〕〔5〕〕2、向量的表示方法：〔1〕幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；〔2〕符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；〔3〕坐標表示法：在平面內建設直角坐標系，以與軸、軸方向一樣的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標一樣。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數、，使a=e1＋e2。如〔1〕假設，則______〔答：〕；〔2〕以下向量組中，能作為平面內所有向量基底的是A.B.C.D.〔答：B〕；〔3〕分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____〔答：〕；〔4〕中，點在邊上，且，，則的值是___〔答：0〕4、實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當>0時，的方向與的方向一樣，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。5、平面向量的數量積：〔1〕兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。〔2〕平面向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積〔或內積或點積〕，記作：，即＝。規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是一個實數，不再是一個向量。如〔1〕△ABC中，，，，則_________〔答：－9〕；〔2〕，與的夾角為，則等于____〔答：1〕；〔3〕，則等于____〔答：〕；〔4〕是兩個非零向量，且，則的夾角為____〔答：〕〔3〕在上的投影為，它是一個實數，但不一定大于0。如，，且，則向量在向量上的投影為______〔答：〕〔4〕的幾何意義：數量積等于的模與在上的投影的積。〔5〕向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：①；②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計算公式：；④。如〔1〕，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______〔答：或且〕；〔2〕的面積為，且，假設，則夾角的取值范圍是_________〔答：〕；〔3〕與之間有關系式，①用表示；②求的最小值，并求此時與的夾角的大小〔答：①；②最小值為，〕6、向量的運算：〔1〕幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法則〞進展，但“平行四邊形法則〞只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則〞：設，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則〞：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點一樣。如〔1〕化簡：①___；②____；③_____〔答：①；②；③〕；〔2〕假設正方形的邊長為1，，則＝_____〔答：〕；〔3〕假設O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____〔答：直角三角形〕；〔4〕假設為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___〔答：2〕；〔5〕假設點是的外心，且，則的內角為____〔答：〕；〔2〕坐標運算：設，則：①向量的加減法運算：，。如〔1〕點，，假設，則當＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上〔答：〕；〔2〕，，則〔答：或〕；〔3〕作用在點的三個力，則合力的終點坐標是〔答：〔9,1〕〕②實數與向量的積：。③假設，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如設，且，，則C、D的坐標分別是__________〔答：〕；④平面向量數量積：。如向量＝〔sinx，cosx〕,＝〔sinx，sinx〕,＝〔－1，0〕。〔1〕假設x＝，求向量、的夾角；〔2〕假設x∈，函數的最大值為，求的值〔答：或〕；⑤向量的模：。如均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____〔答：〕；⑥兩點間的距離：假設，則。如如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：假設，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標為。〔1〕假設點P的斜坐標為〔2，－2〕，求P到O的距離｜PO｜；〔2〕求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系中的方程。〔答：〔1〕2；〔2〕〕；7、向量的運算律：〔1〕交換律：，，；(2)結合律：，；〔3〕分配律：，。如以下命題中：①；②；③；④假設，則或；⑤假設則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的選項是______〔答：①⑥⑨〕提醒：〔1〕向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；〔2〕向量的“乘法〞不滿足結合律，即，為什么8、向量平行(共線)的充要條件：＝0。如(1)假設向量，當＝_____時與共線且方向一樣〔答：2〕；〔2〕，，，且，則x＝______〔答：4〕；〔3〕設，則k＝_____時，A,B,C共線〔答：－2或11〕9、向量垂直的充要條件：.特別地。如(1)，假設，則〔答：〕；〔2〕以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，，則點B的坐標是________〔答：(1,3)或〔3，－1〕〕；〔3〕向量，且，則的坐標是________〔答：〕10.線段的定比分點：〔1〕定比分點的概念：設點P是直線PP上異于P、P的任意一點，假設存在一個實數，使，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；〔2〕的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段PP上時>0；當P點在線段PP的延長線上時<－1；當P點在線段PP的延長線上時；假設點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段所成的比為。如假設點分所成的比為，則分所成的比為_______〔答：〕〔3〕線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當＝1時，就得到線段PP的中點公式。在使用定比分點的坐標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據這些點確定對應的定比。如〔1〕假設M〔-3，-2〕，N〔6，-1〕，且，則點P的坐標為_______〔答：〕；〔2〕，直線與線段交于，且，則等于_______〔答：２或－４〕11.平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：〔1〕函數按向量平移與平常“左加右減〞有何聯系〔2〕向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊！如〔1〕按向量把平移到，則按向量把點平移到點______〔答：〔－８，３〕〕；〔2〕函數的圖象按向量平移后，所得函數的解析式是，則＝________〔答：〕12、向量中一些常用的結論：〔1〕一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；〔2〕，特別地，當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數比較類似).〔3〕在中，①假設，則其重心的坐標為。如假設⊿ABC的三邊的中點分別為〔2，1〕、〔-3，4〕、〔-1，-1〕，則⊿ABC的重心的坐標為_______〔答：〕；②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；⑤的內心；〔3〕假設P分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，特別地為的中點；〔4〕向量中三終點共線存在實數使得且.如平面直角坐標系中，為坐標原點，兩點,,假設點滿足,其中且,則點的軌跡是_______〔答：直線AB〕例題1向量,且求(1)及;(2)假設的最小值是,求實數的值.錯誤分析:(1)求出=后,而不知進一步化為,人為增加難度;(2)化為關于的二次函數在的最值問題,不知對對稱軸方程討論.答案:(1)易求,=;(2)===從而:當時,與題意矛盾,不合題意;當時,;當時,解得,不滿足;綜合可得:實數的值為.例題2在中,,且的一個內角為直角,求實數的值.錯誤分析:是自以為是,憑直覺認為某個角度是直角,而無視對諸情況的討論.答案:(1)假設即故,從而解得;(2)假設即,也就是,而故,解得;(3)假設即,也就是而,故,解得綜合上面討論可知,或或例題4向量m=(1,1)，向量與向量夾角為，且·=-1，(1)求向量；(2)假設向量與向量=(1,0)的夾角為，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C為ABC的內角，且A、B、C依次成等差數列，試求+的取值范圍。解：(1)設=(x,y) 則由<,>=得：cos<,>==① 由·=-1得x+y=-1②聯立①②兩式得或∴=(0,-1)或(-1,0)(2)∵<,>=得·=0假設=(1,0)則·=-10故(-1,0)∴=(0,-1)∵2B=A+C，A+B+C=B=∴C=+=(cosA,2cos2)=(cosA,cosC)∴+===== ==∵0<A<∴0<2A<∴-1<cos(2A+)<∴+()例題5函數f(x)=mx-1(mR且m0)設向量)，，，，當(0，)時，比較f()與f()的大小。解：=2+cos2，=2sin2+1=2-cos2f()=m1+cos2=2mcos2， f()=m1-cos2=2msin2于是有f()-f()=2m(cos2-sin2)=2mcos2∵(0,)∴2(0,)∴cos2>0∴當m>0時，2mcos2>0，即f()>f() 當m<0時，2mcos2<0，即f()<f()例題6A、B、C為ABC的內角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)當f(A、B)取最小值時，求C(2)當A+B=時，將函數f(A、B)按向量平移后得到函數f(A)=2cos2A求解：(1)f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1當sin2A=,sin2B=時取得最小值，∴A=30或60，2B=60或120C=180-B-A=120(2)f(A、B)=sin22A+cos22()-===例題7向量〔m為常數〕，且,不共線，假設向量,的夾角落<,>為銳角，求實數x的取值范圍.解：要滿足<>為銳角只須>0且〔〕=== 即 x(mx-1)>01°當m>0時x<0或2°m<0時，x(-mx+1)<0，3°m=0時 只要x<0 綜上所述：x>0時，x=0時，x<0時，例題8a=〔cosα，sinα〕,b=〔cosβ,sinβ〕，a與b之間有關系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，〔1〕用k表示a·b;〔2〕求a·b的最小值，并求此時a·b的夾角的大小。解〔1〕要求用k表示a·b,而|ka+b|=|a－kb|，故采用兩邊平方，得|ka+b|2=(|a－kb|)2k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)ba·b=∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1,b2=1,∴a·b==〔2〕∵k2+1≥2k，即≥=，∴a·b的最小值為，又∵a·b=|a|·|b|·cos，|a|=|b|=1∴=1×1×cos。∴=60°,此時a與b的夾角為60°。錯誤原因：向量運算不夠熟練。實際上與代數運算一樣，有時可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·例題9向量，，．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假設，，且，求的值．解〔Ⅰ〕,.,,即..〔Ⅱ〕，，.例題10O為坐標原點，點E、F的坐標分別為〔-1，0〕、〔1，0〕，動點A、M、N滿足〔〕，，，．〔Ⅰ〕求點M的軌跡W的方程；〔Ⅱ〕點在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點Q，且，假設，求實數的范圍．解：〔Ⅰ〕∵，，∴MN垂直平分AF．又，∴點M在AE上，∴，，∴，∴點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓，且半長軸，半焦距，∴．∴點M的軌跡W的方程為〔〕．〔Ⅱ〕設∵，，∴∴由點P、Q均在橢圓W上，∴消去并整理，得，由及，解得．根基練習題1、設平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，假設與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是〔〕A、B、C、D、答案：A點評：易誤選C，錯因：無視與反向的情況。2、O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足,則P的軌跡一定通過△ABC的()(A)外心(B)內心(C)重心(D)垂心正確答案：B。錯誤原因：對理解不夠。不清楚與∠BAC的角平分線有關。3、假設向量=(cos,sin)，=，與不共線，則與一定滿足〔〕 A．與的夾角等于- B．∥C．(+)(-) D．⊥正確答案：C錯因：學生不能把、的終點看成是上單位圓上的點，用四邊形法則來處理問題。4、O、A、B三點的坐標分別為O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P線段AB上且=t(0≤t≤1)則·的最大值為〔 〕A．3 B．6 C．9 D．12正確答案：C錯因：學生不能借助數形結合直觀得到當OPcos最大時，·即為最大。5、在中,,則的值為()A20BCD錯誤分析:錯誤認為,從而出錯.答案:B略解:由題意可知,故=.6、向量=(2cos，2sin)，()，=〔0,-1)，則與的夾角為() A．- B．+ C．- D．正確答案：A錯因：學生忽略考慮與夾角的取值范圍在[0，]。7、如果，那么〔〕 A．B．C．D．在方向上的投影相等正確答案：D。錯誤原因：對向量數量積的性質理解不夠。8、向量則向量的夾角范圍是〔〕A、[π/12，5π/12]B、[0，π/4]C、[π/4，5π/12]D、[5π/12，π/2]正確答案：A錯因：不注意數形結合在解題中的應用。9、設=(x1，y1)，=(x2，y2)，則以下與共線的充要條件的有〔〕A、1個B、2個C、3個D、4個答案：C點評：①②④正確，易錯選D。10、以原點O及點A〔5，2〕為頂點作等腰直角三角形OAB，使，則的坐標為〔〕。A、〔2，-5〕B、〔-2，5〕或〔2，-5〕C、〔-2，5〕D、〔7，-3〕或〔3，7〕正解：B設，則由①而又由得②由①②聯立得。誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯立方程組解。11、設向量，則是的〔〕條件。A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要正解：C假設則，假設，有可能或為0，應選C。誤解：，此式是否成立，未考慮，選A。12、在OAB中，，假設，則=〔〕A、B、C、D、正解：D。∵∴〔LV為與的夾角〕∴∴∴誤解：C。將面積公式記錯，誤記為13、設平面向量，假設與的夾角為鈍角，則的取值范圍是〔A〕A、B、〔2，+C、〔—D、〔-錯解：C錯因：無視使用時，其中包含了兩向量反向的情況正解：A14、設是任意的非零平面向量且互不共線，以下四個命題：①②③④假設不平行其中正確命題的個數是〔〕A、1個B、2個C、3個D、4個正確答案：(B)錯誤原因：此題所述問題不能全部搞清。15、假設向量=，=，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍是______________.錯誤分析：只由的夾角為鈍角得到而無視了不是夾角為鈍角的充要條件,因為的夾角為時也有從而擴大的范圍,導致錯誤.正確解法:，的夾角為鈍角,解得或(1)