第3節等比數列及其前n項和課標要求1.理解等比數列的概念.2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數列與指數函數的關系.【知識梳理】1.等比數列的概念(1)定義:如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母q表示(顯然q≠0).數學語言表達式:anan-1=q(n≥2(2)等比中項:如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項,則G2=ab.2.等比數列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數列{an}的首項為a1,公比是q,則其通項公式為an=a1qn1;通項公式的推廣:an=amqnm.(2)等比數列的前n項和公式:當q=1時,Sn=na1;當q≠1時,Sn=a1(1-q3.等比數列的性質已知{an}是等比數列,Sn是數列{an}的前n項和.(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則有ak·al=am·an.(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數列,公比為qm.(3)當q≠1,或q=1且n為奇數時,Sn,S2nSn,S3nS2n,…仍成等比數列,其公比為qn.(4)當q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時,{an}是遞增數列;當q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時,{an}是遞減數列.[常用結論與微點提醒]1.若數列{an},{bn}(項數相同)是等比數列,則數列{c·an}(c≠0),{|an|},{an2},1an,{an·bn}2.數列{an}是等比數列,Sn是其前n項和.(1)若a1·a2·…·an=Tn,則Tn,T2nTn,(2)若數列{an}的項數為2n,則S偶S奇=q;若項數為2n+1,則S奇-a1S3.由an+1=qan,q≠0,并不能立即斷言{an}為等比數列,還要驗證a1≠0.4.等比數列{an}的前n項和Sn,可以寫成Sn=AqnA(A≠0,q≠1,0).5.三個數成等比數列,通常設為xq,x,xq;四個符號相同的數成等比數列,通常設為xq3,xq,xq【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)等比數列的公比q是一個常數,它可以是任意實數.()(2)三個數a,b,c成等比數列的充要條件是b2=ac.()(3)數列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和為Sn=a(1-an(4)數列{an}為等比數列,則S4,S8S4,S12S8成等比數列.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)在等比數列中,q≠0.(2)若a=0,b=0,c=0滿足b2=ac,但a,b,c不成等比數列.(3)當a=1時,Sn=na.(4)若a1=1,q=1,則S4=0,S8S4=0,S12S8=0,不成等比數列.2.(北師大選修二P29例5(2)改編)等比數列1,12,14,18…,前10項的和為答案1023解析S10=1×1-123.(人教A選修二P37T3改編)在等比數列{an}中,已知a2=6,6a1+a3=30,則an=.

答案3·2n1或2·3n1解析設數列{an}的公比為q,由題意得a解得q=2,a故an=3·2n1或an=2·3n1.4.(人教B選修三P37T5拓展)已知等比數列{an}滿足a4+a6=10,a2·a8=2,則1a4+1a6答案5解析1a4+1a6=a4考點一等比數列基本量的求解例1(1)(多選)(2025·河南部分名校聯考)設等比數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n+1+a(a為常數),則()A.a=1B.數列{an}的公比為2C.an=2nD.S9=1023答案BC解析因為Sn=2n+1+a,所以a1=4+a,a2=S2S1=4,a3=S3S2=8.因為{an}是等比數列,所以a22=a1a即42=8(4+a),解得a=2,則A錯誤;數列{an}的公比q=a3a2=2,則因為a1=2,公比q=2,所以an=a1qn1=2n,則C正確;因為a=2,所以Sn=2n+12,所以S9=2102=1022,則D錯誤.(2)(多選)(2025·長沙模擬)在《增刪算法統宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關,初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關.”則下列說法正確的是()A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程占全程的1C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了四十二里路答案ACD解析設此人第n天走an里路,則數列{an}是首項為a1,公比為12的等比數列因為S6=378,所以S6=a11-解得a1=192.對于A,由于a2=192×12=96,所以此人第二天走了九十六里路,所以A正確對于B,由于a3=192×14=48,48378>所以B不正確;對于C,由于378192=186,192186=6,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,所以C正確;對于D,a4+a5+a6=3781929648=42,所以此人后三天共走了四十二里路,所以D正確.(3)(2025·淄博模擬)已知等比數列{an}共有2n+1項,a1=1,所有奇數項的和為85,所有偶數項的和為42,則公比q=.

答案2解析依題意,知a1+a3+a5+…+a2n+1=85,即a2q+a4q+…+a2nq=84,而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2.思維建模1.等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.2.等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當q≠1時,{an}的前n項和Sn=a1(1-q訓練1(2024·全國甲卷)已知等比數列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=3an+13.(1)求{an}的通項公式;(2)求數列{Sn}的前n項和.解(1)因為2Sn=3an+13,所以2Sn+1=3an+23,兩式相減可得2an+1=3an+23an+1,即an+2=53an+1所以等比數列{an}的公比為53因為2S1=3a23=5a13,所以a1=1,故an=53(2)因為2Sn=3an+13,所以Sn=32(an+11)=3設數列{Sn}的前n項和為Tn,則Tn=32×53=154×53n3考點二等比數列的判定與證明例2(2025·1月八省聯考節選)已知數列{an}中,a1=3,an+1=3a(1)證明:數列1-1a(2)求{an}的通項公式.(1)證明因為an+1=3a所以1an+1=an+2所以1an+1=23·所以11an+1即11an+1=23·1a所以1-1an又因為11a1=113所以數列1-1an是以23為首項(2)解由(1)知,11an=23·2所以1an=123所以an=3n思維建模等比數列的三種常用判定方法(1)定義法:若an+1an=q(q為非零常數,n∈N*)或anan-1=q(q為非零常數且n≥2,n∈N*)(2)等比中項法:若數列{an}中,an≠0且an+12=an·an+2(n∈N*),則{an(3)前n項和公式法:若數列{an}的前n項和Sn=k·qnk(k為常數且k≠0,q≠0,1),則{an}是等比數列.訓練2(2025·鄭州模擬)已知數列{an}的各項均為正數,記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③三個條件中選取兩個作為已知條件,證明另外一個成立.①數列{an}是等比數列;②數列{Sn+a1}是等比數列;③a2=2a1.注:若選擇不同的組合分別解答,按第一個解答計分.證明選①②作條件證明③.因為數列{an},{Sn+a1}是等比數列,所以(S2+a1)2=(S1+a1)(S3+a1),即(2a1+a2)2=2a1(2a1+a2+a3),故4a12+4a1a2+a22=4a12+2a1所以a22=2a1a又因為a2≠0,所以a2=2a1.選①③作條件證明②.因為a2=2a1,{an}是等比數列,所以數列{an}的公比q=2,所以Sn=a1(1-2n)1-2=即Sn+a1=a12n,因為Sn+1+a1Sn+a1所以{Sn+a1}是等比數列.選②③作條件證明①.因為數列{Sn+a1}是等比數列,且a2=2a1,所以S2+a1S1則數列{Sn+a1}是以2a1為首項,2為公比的等比數列,所以Sn+a1=2a1·2n1=a1·2n,Sn=a1·2na1,所以an=SnSn1=a1·2na1(a1·2n1a1)=a1·2n1(n≥2),當n=1時,a1=a1,也符合上式,所以數列{an}是以a1為首項,2為公比的等比數列.考點三等比數列的性質及應用角度1項的性質例3(2025·重慶七校診斷)已知{an}是等差數列,{bn}是等比數列,若a2+a4+a6=4π,b2b4b6=33,則tana1+aA.3B.B.33C.33 D.答案A解析因為{an}是等差數列,所以a2+a4+a6=3a4=4π,故a4=4π3則a1+a7=2a4=8π3因為{bn}是等比數列,所以b2b4b6=b43=3故b4=3,則b2b6=b42所以tana1+a71+角度2和的性質例4(2025·大連調研)已知等比數列{an}的前n項和為Sn,若S4S8=14,則A.8 B.9 C.16 D.17答案A解析設S4=x(x≠0),則S8=4x.因為{an}為等比數列,所以S4,S8S4,S12S8,S16S12仍成等比數列.易知S8-S4所以S則S12=13x,S角度3等比數列的最值例5(多選)設等比數列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,并滿足條件a1>1,a2025a2026>1,a2025-1a2026-1<0A.S2025<S2026B.a2025a20271<0C.T2026是數列{Tn}中的最大值D.數列{Tn}無最大值答案AB解析當q<0時,a2025a2026=a20252q<0,當q≥1時,∵a1>1,∴a2025>1,a2026>1,則a2025-1a故0<q<1,且a2025>1,0<a2026<1,故S2026>S2025,A正確;a2025a20271=a202621<0,故BT2025是數列{Tn}中的最大值,C,D錯誤.思維建模1.等比數列的性質可以分為三類:一是通項公式的變形,二是等比中項的變形,三是前n項和公式的變形.根據題目條件,認真分析,發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.2.涉及等比數列的單調性與最值的問題,一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.訓練3(1)(2025·蚌埠質檢)已知各項均為正數的等比數列{an}中,若a5=9,則log3a4+log3a6=()A.2 B.3C.4 D.9答案C解析因為{an}是等比數列,所以a52=a4a6,所以a4a6所以log3a4+log3a6=log381=log334=4.(2)(多選)(2025·南京、鹽城調研)已知{an}是等比數列,Sn是其前n項和,滿足a3=2a1+a2,則下列說法中正確的有()A.若{an}是正項數列,則{an}是遞增數列B.Sn,S2nSn,S3nS2n一定是等比數列C.若存在M>0,使|an|≤M對n∈N*都成立,則{|an|}是等差數列D.若存在M>0,使|an|≤M對n∈N*都成立,則{Sn}是等差數列答案AC解析A中,設數列{an}的公比為q,則有a1q2=2a1+a1q,故q2=q+2,解得q=1或q=2,若{an}是正項數列,則a1>0,q>0,故q=2,故{an}是遞增數列,A正確;B中,當q=1且n為偶數時,Sn,S2nSn,S3nS2n均為0,不符合題意,B錯誤;C中,若q=2,則{|an|}為遞增數列,此時不存在M>0,使|an|≤M對n∈N*都成立,若q=1,此時|an|=|a1|,故存在M=|a1|,使得|an|≤M對n∈N*都成立,此時{|an|}為常數列,也為公差為0的等差數列,C正確;D中,由C選項可知,q=1,故當n為偶數時,Sn=0,當n為奇數時,Sn=a1≠0,顯然{Sn}不是等差數列,D錯誤.(3)已知數列{an}是等比數列,若a2=1,a5=18,則a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的最小值為.答案2解析由已知得數列{an}的公比滿足q3=a5a2=18,解得∴a1=2,a2=1,a3=12故數列{anan+1}是首項為2,公比為a2a3a∴a1a2+a2a3+…+anan+1=2=831-1故最小值為2.一、單選題1.(2025·青島檢測)等比數列{an}中,a2=1,a5=8,則a7=()A.32 B.24 C.20 D.16答案A解析設公比為q,由題意得a1q=1,a1q4=8,所以a7=12×262.(2025·惠州模擬)設正項等比數列{an}的公比為q,若a2,3a1,a3成等差數列,則q=()A.12 B.2C.13答案B解析因為a2,3a1,a3成等差數列,所以6a1=a2+a3,所以6a1=a1q+a1q2,則q2+q6=0,解得q=2或q=3(舍去),所以q=2.3.(2025·西安模擬)已知{an}是等比數列,a3a5=8a4,且a2,a6是方程x234x+m=0的兩根,則m=()A.8 B.8 C.64 D.64答案C解析因為{an}是等比數列,所以a3a5=a42,a2a6=又a3a5=8a4,所以a4=8,又a2,a6是方程x234x+m=0的兩根,所以m=a2a6=a44.(2025·湖南九校聯考)已知{an}是等比數列,Sn是其前n項和.若a3a1=3,S4=5S2,則a2的值為()A.2 B.4 C.±2 D.±4答案C解析設公比為q,由a3a1=3,得q≠1.∵S4=5S2,∴a1(1-q4整理得1+q2=5,∴q=±2,又∵a3a1=a1q2a1=3,∴a1=1,∴a2=a1q=±2.5.(2025·北京海淀區模擬)已知數列{an}是等比數列,{bn}是等差數列,a1=1,若b1,2a2,3a3,2b3為常數列,則a4b2=()A.0 B.8 C.827 D.答案C解析設{an}的公比為q,則a2=q,a3=q2,則2q=3q2,解得q=23或q=0(舍)則an=23又b1=2b3=43則{bn}的公差為13所以bn=4313(n1)=53所以a4b2=8276.(2025·成都診斷)已知等比數列{an}的前n項和為Sn,且數列{ka3k1}(k=1,2,3)是等差數列,則S6S3A.1或43 B.2或C.2或43 D.13答案C解析設等比數列{an}的公比為q,由a2,2a5,3a8成等差數列可得4a5=a2+3a8,即4a1q4=a1q+3a1q7,化簡得3q64q3+1=0,解得q3=13或q3=1當q3=1時,S6S3=1-q61-當q3=13時,S6S3=1-q61-7.(2025·天津模擬)已知等比數列{an}的前n項和為Sn,且an+1=Sn+1,則數列{an2}的前n項和為(A.4n-1C.4n1 D.2n1答案A解析因為an+1=Sn+1,所以當n≥2時,an=Sn1+1,兩式相減,得an+1=2an.因為數列{an}是等比數列,所以a2=2a1.由a2=S1+1=a1+1,解得a1=1,所以數列{an}是首項為1,公比為2的等比數列,所以an=2n1,即an2=(2n1)2=4n所以數列{an2}是首項為1,公比為4所以數列{an2}的前n項和為1-48.(2025·石家莊質測)等比數列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,數列{Sn+2Sn}(n∈N*)不是等比數列,則S2026=()A.0 B.2 C.2026 D.4052答案A解析設等比數列{an}的公比為q,則Sn+2Sn=an+1+an+2=an+1(1+q),若q=1,則Sn+2Sn=an+1(1+q)=0,此時,數列{Sn+2Sn}(n∈N*)不是等比數列,符合題意;若q≠1,則對任意的n∈N*,有an≠0,Sn+3-Sn此時,數列{Sn+2Sn}(n∈N*)是等比數列,不符合題意.綜上所述,q=1,所以S2026=a1(1-q二、多選題9.已知{an}是各項均為正數的等比數列,其前n項和為Sn,且{Sn}是等差數列,則下列結論正確的是()A.{an+Sn}是等差數列 B.{an·Sn}是等比數列C.{an2}是等差數列 D.答案ACD解析由{Sn}是等差數列,可得2(a1+a2)=a1+a1+a2+a3,∴a2=a3,∵{an}是各項均為正數的等比數列,∴a2=a2q,可得q=1.∴an=a1>0,∴an+Sn=(n+1)a1,∴數列{an+Sn}是等差數列,因此A正確;∵an2=a12,∴{an2}是常數列,∵Snn=a1>0,∴Snn是等比數列,∵anSn=na12,∴{an·Sn}不是等比數列,因此B10.(2025·北京昌平區模擬)已知等比數列{an}的各項均為正數,a1=20,2a6+a5a4=0,數列{an}的前n項積為Tn,則()A.數列{an}單調遞增 B.數列{an}單調遞減C.Tn的最大值為T5 D.Tn的最小值為T5答案BC解析設等比數列{an}的公比為q,因為2a6+a5a4=0,所以2a4q2+a4qa4=0.因為a4>0,所以2q2+q1=0,解得q=12或q=1(舍去所以數列{an}單調遞減,A錯誤,B正確.因為數列{an}單調遞減,且各項均為正數,所以數列{an}的前n項積Tn有最大值,無最小值,D錯誤.若Tn取最大值,則an≥又n∈N*,所以n=5,即Tn的最大值為T5,C正確.11.(2025·合肥質檢)已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,S8=3S4.若?n∈N*,an+1an=q(q是非零常數),A.數列SnB.數列{Sn+1Sn}是等比數列C.a2025=2506D.S2026S2025=2506答案BC解析由題意知{an}是公比為q的等比數列,若q=1,則S8=8a1≠3S4=12a1,所以q≠1,又a1=1,所以Sn=1-q所以Sn+1Sn=1-qn+11-q1-q故Sn+1Sn不是等比數列,因為Sn+1Sn=1-qn+11-q1-q所以Sn+2-Sn+1S故{Sn+1Sn}是等比數列,故B正確;因為S8S4=1-q81-所以q4=2,所以a2025=a1·q2024=(q4)506=2506,故C正確;S2026S2025=(S2S1)·q2024=a2·q2024=q2025≠2506,故D錯誤.三、填空題12.(2025·武漢調研)寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數列{an}的通項公式an=.

①anan+1<0;②|an|<|an+1|.答案(2)n(答案不唯一)解析設等比數列{an}的公比為q,由anan+1<0,可知q<0,又|an|<|an+1|,所以|q|>1,所以q<1,所以q可取2,設a1=2,則an=2·(2)n1=(2)n(答案不唯一).13.(2025·河南部分學校聯考)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且a7=1,2S4=7a2.若將a2,a3,a4,a5去掉一項后,剩下三項依次為等比數列{bn}的前三項,則b4=.

答案1解析設等差數列{an}的公差為d,因為a7=1,2S4=7a2,可得a1+6所以an=n+6