高中數(shù)學中導數(shù)的應用分析案例導數(shù)的定義導數(shù)定義由華東師范大學數(shù)學系《數(shù)學分析》[6]中給出,如下：設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱函數(shù)在點處可導,并稱該極限為函數(shù)在點處的導數(shù),記作.令,,則可記為所以,導數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.這個增量比被叫做函數(shù)關于自變量的平均變化率,導數(shù)則為在處關于的變化率.導數(shù)的概念通過繼續(xù)沿用瞬時變化率來被引出,可在北京師范大學出版的A版教材中《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2》[7]中看出,導數(shù)的物理意義用運動的瞬時速率來表述,導數(shù)的幾何意義用曲線切線的斜率來表述.導數(shù)的四則運算證明：(1)(2)同理(3)的證明方法與上述(1)(2)方法異曲同工,此處不再詳談證明過程.導數(shù)的四則運算與導數(shù)的定義緊密相關,如果記不住導數(shù)的定義,很難證明運算法則,除此之外,基本初等函數(shù)的求導公式可在《選修2-2》中查找,迫于緊張的學習進度,學生常常死記硬背,忽略淡忘了導數(shù)的定義,這種急于求成只顧片面的思想不利于后面的導數(shù)的應用的學習.導數(shù)在高等數(shù)學中的數(shù)學方法導數(shù)在不等式證明中的放縮法放縮法是在保持某種條件不變的情況下,向特定方向進行不等變形（可放大可縮小）的數(shù)學方法.在不等式的證明中,放縮法儼然是一個不可多得的簡化問題的工具.這類型考題一般被視為高考中的壓軸題目,考察的是學生敏銳的洞察力和邏輯思維本領.例1：證明成立.證明：分別證明,成立.=1\*GB3①.令.求導數(shù),得,所以,在內(nèi)單調(diào)遞減,即,證畢.=2\*GB3②欲證,令.對求導,有,,,所以,單調(diào)遞增.又因為,所以,單調(diào)遞增,即,證畢.令.當時,；當時,.令,,所以,在內(nèi)單調(diào)遞減,即.綜上,,.即.【總結(jié)】放縮問題之所以難是因為要確定放縮哪一個函數(shù),放縮到什么程度以及放縮方向,一般情況下學生能找到放縮的對象,也可以確定放縮方向,但是放縮到什么程度是學生最難掌握的,因為很有可能失之毫厘差之千里.以下給出幾個最常見的放縮不等式可供學生做題時參考.,,,,,,,,.導數(shù)在隱零點問題中的數(shù)形結(jié)合法數(shù)與形之間的一一的對應關系即數(shù)形結(jié)合,指將抽象的數(shù)量關系、數(shù)學語言、與直觀的位置關系、幾何圖形聯(lián)系起來,通過抽象思維與形象思維的貫通,借助“以形助數(shù)”或是“以數(shù)解形”,將繁雜問題簡明化,抽象問題具體化,從而達到優(yōu)化解題途徑的效果.例2：已知函數(shù),為的導函數(shù).設,若在區(qū)間存在唯一極大值點,求的取值范圍（A）.A.B.C.D.【解析】因為,,所以.由得.畫出函數(shù)和的圖像,如圖1.圖1要使在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點,兩函數(shù)的圖像在上要有唯一交點.設交點橫坐標是,當曲線經(jīng)過點時是極限位置,它在軸上的截距是,因此.顯然,當時,,；當時,,.因此是函數(shù)在區(qū)間上的唯一極大值點.故的取值范圍是,選A.【總結(jié)】此題是在原函數(shù)的基礎上加入了待定系數(shù),在逆向解題方法下,需要證明的結(jié)果被設置成條件,求的取值范圍.數(shù)形結(jié)合方式是求解復雜函數(shù)最省事的辦法,函數(shù)圖像被畫出后,函數(shù)就會直觀簡單很多.例如本題,畫圖象求交點,解題思路就會變得流暢,解題過程變得簡便快速.導數(shù)在函數(shù)問題中的一分為二法“一分為二”在函數(shù)中是指將復雜的函數(shù)構(gòu)造成簡單的兩個函數(shù),它與數(shù)形結(jié)合、分類討論法給解決函數(shù)問題帶來了極大便利.下面通過一道應用了“一分為二”與分類討論法的例題來展開闡述.例3：設,證明：當,時,恒成立(為自然對數(shù)的底數(shù)).【解析】本題若是直接構(gòu)造函數(shù),其導函數(shù)也極其復雜,無法確定在上的符號.若切換思路解題,把不等式“一分為二”成兩個函數(shù)和,分別研究兩個函數(shù)值的符號即可.解：原不等式等價于.令,求導數(shù),得.當,時,,,所以.因此在上單調(diào)遞增,即.再令.求導,得.所以,在上單調(diào)遞減,即.于是恒成立,也就是說,恒成立.導數(shù)在數(shù)列求和中的函數(shù)法把數(shù)列當作一種特殊的函數(shù),將函數(shù)的解題模式用于研究數(shù)列問題的方法被稱作數(shù)列求和中的函數(shù)法.《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版）指出,學生采用函數(shù)法研究分析數(shù)列問題的優(yōu)勢在于可以感受數(shù)列與函數(shù)的差異還有共性,感悟數(shù)學的整體性.例4：已知為等差數(shù)列,前項和為,是首項為的等比數(shù)列,且公比大于,,,.（=1\*ROMANI）求和的通項公式；（=2\*ROMANII）求數(shù)列的前項和.【解析】（II）主要考察型數(shù)列的求和問題,數(shù)列被當作函數(shù),采用函數(shù)的求導性質(zhì)解題.【步驟】由得,,.由得,,即,.（II）.令,且.求導數(shù),得.所以