第一章空間向量與立體幾何（復習講義）基礎目標能復述空間向量定義、坐標表示及線性運算規則，會推導數量積公式與坐標運算方法，能應用共線定理判斷直線平行，理解并應用空間向量基本定理分解向量。基礎題常考向量坐標運算、共線共面判斷，如計算向量坐標或用基底表示向量，也能復述方向向量與法向量概念，用向量描述線線、線面、面面平行垂直，階段考常見用坐標驗證位置關系。進階目標會推導空間向量夾角、距離公式，理解并應用向量法求異面直線所成角、線面角、二面角，如建系算法向量夾角求二面角，高考中檔題常考此。能應用向量法證明立體幾何定理，通過坐標運算求體積、表面積，如用法向量算點面距離再求體積，階段考常見用向量法證位置關系或算幾何量。拓展目標理解并應用向量法解決探索性問題，如設參數求動點坐標驗證線面垂直是否存在，高考壓軸題常考。能將建筑結構等實際情境抽象為向量問題，用坐標或基底法分析位置與度量關系。知識點重點歸納空間向量的有關定理空間向量的數量積空間向量的坐標表示直線的方向向量和平面的法向量（3）平面的法向量的求法：求一個平面的法向量時，通常采用待定系數法，其一般步驟如下:⑤賦非零值：取其中一個為非零值（常取)；⑥得結論：得到平面的一個法向量.空間位置關系的向量表示空間中直線、平面的平行與垂直設直線,的方向向量分別為,,平面,的法向量分別為，，則空間角的向量求法（1）異面直線所成角設異面直線和所成角為，其方向向量分別為，；則異面直線所成角向量求法：（2）直線和平面所成角（3）平面與平面所成角（二面角）空間距離的向量求法（1）點到直線的距離（2）點到平面的距離（3）線面距離與面面距離距離求法：①首先確定直線與平面平行（平面與平面平行），然后可將問題轉化成點到平面的距離問題題型一題型一空間向量及其運算A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】由正方體，空間向量的加法法則可得．故選：D．【答案】B故選：B.A． B． C． D．【答案】C【詳解】故選：C【答案】故答案為：.題型二題型二共面向量定理【答案】證明見解析所以由向量共面定理可知，向量、、共面.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D故選：D.【答案】/故答案為：(2)求證：，，，四點共面．(2)證明見解析必有，，，四點共面．題型題型三空間向量基本定理【答案】故答案為：.【詳解】A． B． C． D．【答案】A故選：A題型題型四空間向量的坐標表示【答案】/故答案為：A． B． C． D．【答案】D故選：D.【答案】故答案為：.A．平行 B．垂直C．所成的角的余弦值為 D．所成的角的余弦值為【答案】A【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，故選：A.題型題型五空間向量與位置關系【答案】ABD故選：ABD．【答案】D故選：D.【答案】證明見解析【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明：如圖，以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，題型題型六求線線角、線面角、二面角【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）方法一：如圖，連接交與點，連接，如圖，以點為坐標原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，【答案】(1)見解析(2)【答案】(1)證明見解析【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）因為是底面圓上的一條直徑，題型題型七已知線面角、二面角求其他【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，交于點，連接，.【答案】(1)證明見解析【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）（2）【答案】(1)證明見解析(2)題型題型八空間中的距離問題【答案】(1)證明見解析(2)A． B．C． D．【答案】C設為異面直線與的公垂線段，故選：C.【點睛】方法點睛：在立體幾何中，涉及求空間角和距離問題時，利用空間向量求解更簡單些.【答案】【詳解】由題意，建立如圖所示空間直角坐標系：故答案為：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)題型題型九存在性問題【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（2）法一：建立空間直角坐標系如下圖所示，若，，，在同一個球面上，在平面中，法二：∵，，，在同一個球面上，∴球心到四個點的距離相等作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識得，由勾股定理得，∴點即為點，，，所在球的球心，【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（2）連接MC，交BD于點E，連接NE．(2)求直線與平面所成角的正弦值；【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析；【詳解】（1）在圖1連接交于點，直線與平面所成角的正弦值為，【答案】(1)證明見解析以為原點，以點、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，(1)求異面直線與所成角；【答案】(1)【詳解】（1）如圖，在圖1中，連接，交于點，以點為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，如圖：設異面直線與所成角為，基礎鞏固通關測基礎鞏固通關測一、單選題【答案】A故選：AA． B． C． D．3【答案】B故選：B【答案】B故選：B.【答案】B所以線段的長為5，故選：B．A． B． C． D．【答案】C【詳解】故選：C二、多選題【答案】ABD故選：ABDA．直線與所成角為【答案】AC【詳解】以D點為坐標原點，DA為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：故選：AC三、填空題【答案】故答案為：【答案】/0.8異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：；.四、解答題(1)證明：平面PCD⊥平面PAD；(2)求點B到平面PAD的距離.【答案】(1)證明見解析∴PC⊥AD，∴AD⊥平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD；（2）如圖建立空間直角坐標系，(1)求證:為的中點；【答案】(1)證明見解析(2)又因為平面CDE平面ABCD=CD，【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點，連接，，因為為的中點，（2）【答案】(1)證明過程見解析【答案】(1)證明見解析(2)求平面ACE與平面ADE夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取AB的中點O，連接OF，OC．以O為坐標原點，分別以OA、OC、OF所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系．【答案】(1)證明見解析(2)又因為是中點，能力提升進階練能力提升進階練A． B． C． D．【答案】D【詳解】故選：D.【答案】B設正方體的棱長為，因，到的距離分別為3，5，則到的距離分別為，則該正方體的棱長為.故選：BA． B． C． D．【答案】B則面積為.故選：BA．動點軌跡的長度為B．與不可能垂直【答案】ACD由棱長為2的正方體得線段的長度為，故選項A正確；故選：ACD【答案】(1)證明見解析（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）.【詳解】（1）由題意證明如下，（2）（i）由題意及（1）證明如下，法一：建立空間直角坐標系如下圖所示，若，，，在同一個球面上，在平面中，法二：∵，，，在同一個球面上，∴球心到