高三合肥一模數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得最小值，則$a$，$b$，$c$的關系是（）

A.$a>0$，$b^2-4ac=0$，$c=a+b$

B.$a<0$，$b^2-4ac=0$，$c=a+b$

C.$a>0$，$b^2-4ac<0$，$c=a+b$

D.$a<0$，$b^2-4ac<0$，$c=a+b$

2.已知復數$z=1+bi$（$b$為實數），若$|z-1|=|z+1|$，則$b$的值為（）

A.$0$

B.$1$

C.$-1$

D.$2$

3.在直角坐標系中，若點$A(1,2)$，$B(-3,4)$，則直線$AB$的斜率為（）

A.$-\frac{3}{2}$

B.$\frac{3}{2}$

C.$-\frac{2}{3}$

D.$\frac{2}{3}$

4.若$a>b$，則下列不等式中正確的是（）

A.$a^2>b^2$

B.$a+1>b+1$

C.$a-1>b-1$

D.$a\cdotb>b\cdota$

5.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，若$f(x)$在$x=1$處取得極大值，則$f(1)$的值為（）

A.$-1$

B.$1$

C.$2$

D.$3$

6.若等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項$a_n$的表達式為（）

A.$a_n=a_1+(n-1)d$

B.$a_n=a_1-(n-1)d$

C.$a_n=a_1+nd$

D.$a_n=a_1-nd$

7.在平面直角坐標系中，若點$P(2,3)$，點$Q(5,1)$，則線段$PQ$的中點坐標為（）

A.$(3,2)$

B.$(3,3)$

C.$(4,2)$

D.$(4,3)$

8.若向量$\vec{a}=(1,2)$，向量$\vec{b}=(2,3)$，則向量$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值為（）

A.$7$

B.$-7$

C.$-1$

D.$1$

9.已知等比數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公比為$q$，若$a_1\neq0$，$q\neq1$，則$a_2$，$a_3$，$a_4$成等差數列的充分必要條件是（）

A.$q=\frac{3}{2}$

B.$q=2$

C.$q=\frac{1}{2}$

D.$q=-2$

10.在平面直角坐標系中，若直線$l:y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相交于點$A$，$B$，則直線$l$的斜率$k$的取值范圍為（）

A.$-1\leqk\leq1$

B.$-1<k<1$

C.$k\neq\pm1$

D.$k>-1$且$k<1$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，哪些是奇函數？（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\cosx$

C.$f(x)=e^x$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

2.若等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則以下哪些等式成立？（）

A.$a_1+a_2=a_3$

B.$a_1+a_2+a_3=3a_2$

C.$a_1+a_2+a_3+a_4=4a_2$

D.$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_2$

3.在直角坐標系中，下列哪些點在直線$x+y=1$上？（）

A.$(1,0)$

B.$(0,1)$

C.$(2,-1)$

D.$(-1,2)$

4.下列哪些數是正實數？（）

A.$\sqrt{4}$

B.$-\sqrt{9}$

C.$\pi$

D.$-1$

5.若向量$\vec{a}=(3,4)$，向量$\vec{b}=(2,3)$，則以下哪些命題是正確的？（）

A.$\vec{a}+\vec{b}=(5,7)$

B.$\vec{a}-\vec{b}=(1,1)$

C.$2\vec{a}=(6,8)$

D.$\vec{a}\cdot\vec{b}=18$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數$f(x)=2x-3$，若$f(x)$的圖像關于$y$軸對稱，則$f(-x)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

2.在三角形$ABC$中，$AB=5$，$AC=6$，$BC=7$，則$\cosA=\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

3.若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，公差為$d$，首項為$a_1$，則$S_5=\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

4.復數$z=3-4i$的模為$\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

5.若直線$3x-4y+7=0$與直線$4x+3y-1=0$垂直，則兩直線交點的坐標為$\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數$f(x)=\frac{1}{2}x^2-x+1$，求函數的極值點和拐點。

2.在直角坐標系中，已知點$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,6)$，求直線$AB$和$BC$的方程，并判斷三角形$ABC$的類型。

3.解不等式組$\begin{cases}2x-3y>6\\x+4y\leq8\end{cases}$，并畫出解集在平面直角坐標系中的圖形。

4.已知等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公差$d=2$，求前10項和$S_{10}$。

5.計算復數$z_1=1+2i$和$z_2=3-4i$的乘積$z_1z_2$，并求出其模和輻角。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.A.$a>0$，$b^2-4ac=0$，$c=a+b$

2.A.$0$

3.A.$-\frac{3}{2}$

4.B.$a+1>b+1$

5.B.$1$

6.A.$a_n=a_1+(n-1)d$

7.C.$(4,2)$

8.A.$7$

9.C.$q=\frac{1}{2}$

10.B.$-1<k<1$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A.$f(x)=x^3$

2.A,B,C,D

3.A,B

4.A,C

5.A,B,C,D

三、填空題（每題4分，共20分）

1.$f(-x)=-2x-3$

2.$\cosA=\frac{1}{2}$

3.$S_5=55$

4.$|z|=5$

5.直線交點坐標為$(1,1)$

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解：函數$f(x)=\frac{1}{2}x^2-x+1$的導數為$f'(x)=x-1$。令$f'(x)=0$，得$x=1$，為極值點。二階導數為$f''(x)=1$，無拐點。

2.解：直線$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{4-2}{3-1}=1$，截距$b_{AB}=2-1\cdot1=1$，所以$AB:y=x+1$。直線$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{6-4}{5-3}=1$，截距$b_{BC}=6-1\cdot5=1$，所以$BC:y=x+1$。由于$AB$和$BC$斜率相同，且截距相同，故$AB$和$BC$為同一直線，$ABC$為直線上的三角形，類型為退化的三角形。

3.解：解不等式組，得$x>3$，$y\leq2-\frac{x}{2}$。解集在平面直角坐標系中的圖形為一條直線$x=3$右側的部分，以及直線$y=2-\frac{x}{2}$下方的區域。

4.解：等差數列前$n$項和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$，得$S_{10}=\frac{10}{2}(2\cdot3+(10-1)\cdot2)=110$。

5.解：復數乘積$z_1z_2=(1+2i)(3-4i)=3-4i+6i-8i^2=3+2i+8=11+2i$。模$|z_1z_2|=\sqrt{11^2+2^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$，輻角$\theta=\arctan\left(\frac{2}{11}\right)$。

知識點總結：

1.函數的極值和拐點：一元二次函數的極值和拐點可以通過一階導數和二階導數來確定。

2.直線的方程：直線的斜率和截距可以用來表示直線的方程，對于兩點確定的直線，斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。

3.不等式組：解不等式組需要找到所有不等式解集的交集，并畫出在坐標系中的圖形。

4.等差數列：等差數列的前$n$項和可以通過公式$S_n=