甘谷2024中考數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若方程組$\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$的解為$(x,y)$，則$(x,y)$的值是（）

A.$(3,2)$

B.$(2,3)$

C.$(1,4)$

D.$(4,1)$

2.在$\triangleABC$中，$a:b:c=3:4:5$，若$\cosB=\frac{3}{5}$，則$\cosC$的值為（）

A.$\frac{4}{5}$

B.$\frac{3}{5}$

C.$\frac{1}{5}$

D.$\frac{2}{5}$

3.若$a^2+b^2=100$，$c^2=100$，且$a^2-b^2=c^2$，則$\angleA$的大小為（）

A.$30°$

B.$45°$

C.$60°$

D.$90°$

4.若函數$f(x)=x^3-3x^2+2$在區間$[1,2]$上的最大值為5，則$f(x)$在區間$[2,3]$上的最大值為（）

A.5

B.7

C.8

D.9

5.已知函數$f(x)=\frac{x}{x+1}$，若$f(x)=1$，則$x$的值為（）

A.0

B.1

C.2

D.無解

6.若直線$y=2x-3$與圓$(x-1)^2+y^2=4$相切，則該直線與圓心的距離為（）

A.2

B.$\sqrt{5}$

C.3

D.$\sqrt{10}$

7.已知函數$f(x)=\sqrt{x-1}$，則$f(2)$的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

8.若等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_5=10$，則$a_8$的值為（）

A.14

B.18

C.22

D.26

9.若直線$l:3x-4y+7=0$與直線$m:x+y-1=0$的交點坐標為$(x_0,y_0)$，則$x_0+y_0$的值為（）

A.$-\frac{5}{3}$

B.$-\frac{1}{3}$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\frac{5}{3}$

10.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$在區間$[1,2]$上的最大值為3，則$a$、$b$、$c$的關系是（）

A.$a>0$，$b<0$，$c>0$

B.$a<0$，$b>0$，$c<0$

C.$a>0$，$b>0$，$c>0$

D.$a<0$，$b<0$，$c<0$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列選項中，哪些是二次函數的性質？（）

A.二次函數的圖像是一個開口向上或向下的拋物線

B.二次函數的頂點坐標是$(h,k)$，其中$h$是拋物線的對稱軸的$x$坐標，$k$是拋物線在頂點的$y$坐標

C.二次函數的對稱軸是垂直于拋物線且通過頂點的直線

D.二次函數的圖像與$x$軸的交點個數最多為2個

E.二次函數的圖像與$y$軸的交點個數最多為2個

2.在$\triangleABC$中，已知$AB=AC$，$BC=8$，$AC=6\sqrt{3}$，則下列說法正確的是？（）

A.$\angleA$是直角

B.$\angleB$是直角

C.$\angleC$是直角

D.$\triangleABC$是等邊三角形

E.$\triangleABC$是等腰三角形

3.已知函數$f(x)=\frac{x}{x+1}$，下列哪些性質是正確的？（）

A.函數的定義域是所有實數，除了$x=-1$

B.函數的值域是所有實數，除了$y=0$

C.函數在$x=0$處有垂直漸近線

D.函數在$x=-1$處有水平漸近線

E.函數的圖像在第二和第四象限

4.下列數列中，哪些是等差數列？（）

A.$1,4,7,10,\ldots$

B.$3,6,9,12,\ldots$

C.$2,6,18,54,\ldots$

D.$-5,-10,-15,-20,\ldots$

E.$5,5,5,5,\ldots$

5.下列關于直線和平面的說法中，哪些是正確的？（）

A.如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線與平面上所有直線的交點都在一個點上

B.如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行

C.如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線一定相交

D.如果一個平面上的兩條直線垂直，那么這兩條直線垂直于該平面

E.如果一個平面上的兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于該平面

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，則第10項$a_{10}$的值為______。

2.函數$f(x)=x^2-4x+3$的圖像與$x$軸的交點坐標為______。

3.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關于直線$y=x$的對稱點坐標為______。

4.若等比數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，則第5項$a_5$的值為______。

5.圓$(x-1)^2+y^2=4$的半徑是______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程組：

$$

\begin{cases}

2x+3y=8\\

5x-2y=4

\end{cases}

$$

2.計算函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$時的導數$f'(2)$。

3.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，$a_4=17$，求公差$d$和第10項$a_{10}$。

4.設點$P(3,4)$，直線$l:y=mx+n$經過點$P$，且與直線$x+y=5$垂直。求直線$l$的方程。

5.在直角坐標系中，拋物線$y=x^2-4x+3$與$x$軸的交點為$A$和$B$，求$AB$的長，并求拋物線的焦點坐標。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.A。方程組$\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$可以通過消元法解得$x=2$，$y=3$。

2.A。在直角三角形中，$\cosB=\frac{鄰邊}{斜邊}$，由于$a:b:c=3:4:5$，可以設$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，則$\cosB=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$。

3.C。根據勾股定理，$a^2+b^2=c^2$，代入$a^2-b^2=c^2$得$a^2=2b^2$，則$\angleA$為$60°$。

4.B。函數$f(x)=x^3-3x^2+2$在$x=2$時取得最大值，所以$f'(2)=0$，計算得$f'(x)=3x^2-6x$，代入$x=2$得$f'(2)=-6$，因此$f(x)$在$x=2$時取得局部最大值，而區間$[2,3]$內沒有局部最大值，所以最大值為$f(2)$。

5.B。由$f(x)=\frac{x}{x+1}$，當$f(x)=1$時，有$x=x+1$，解得$x=1$。

6.B。直線$l$與圓相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑，圓心坐標為$(1,0)$，半徑為$2$，所以距離為$\sqrt{5}$。

7.A。函數$f(x)=\sqrt{x-1}$在$x=2$時，$f(2)=\sqrt{2-1}=1$。

8.B。等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$d=4$，$n=8$得$a_8=2+7\times4=30$。

9.B。兩條直線的交點坐標為兩直線方程聯立求解得到，代入解得$x_0=-\frac{1}{3}$，$y_0=\frac{4}{3}$，所以$x_0+y_0=\frac{1}{3}$。

10.C。二次函數的頂點坐標為$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，在$x=2$時取得最大值，所以$a>0$，$b<0$，$c>0$。

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.A,B,C,D,E。這些都是二次函數的基本性質。

2.A,E。根據勾股定理和三角形的性質可以得出。

3.A,C,E。這些是函數$f(x)=\frac{x}{x+1}$的性質。

4.A,B,D。這些是等差數列的定義和性質。

5.A,B,D。這些是直線和平面的基本性質。

三、填空題答案及知識點詳解：

1.$a_{10}=3+9\times2=21$。等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$。

2.$(1,3)$。拋物線與$x$軸的交點由$x^2-4x+3=0$解得$x=1$或$x=3$。

3.$(-1,0)$。點關于直線對稱，坐標變換為$(y,x)$。

4.$a_5=2\times3^4=162$。等比數列的通項公式$a_n=a_1q^{n-1}$。

5.$2$。圓的標準方程為$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，半徑$r=2$。

四、計算題答案及解題過程：

1.解方程組：

$$

\begin{cases}

2x+3y=8\\

5x-2y=4

\end{cases}

$$

$$

\begin{cases}

10x+15y=40\\

10x-4y=8

\end{cases}

$$

相減得$19y=32$，解得$y=\frac{32}{19}$，代入第一個方程得$x=\frac{8-3y}{2}=\frac{8-3\times\frac{32}{19}}{2}=\frac{76}{19}$。

2.計算函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$時的導數$f'(2)$。

導數$f'(x)=3x^2-12x+9$，代入$x=2$得$f'(2)=3\times2^2-12\times2+9=-3$。

3.等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，$a_4=17$，求公差$d$和第10項$a_{10}$。

公差$d=\frac{a_4-a_1}{4-1}=\frac{17-5}{3}=4$，第10項$a_{10}=a_1+9d=5+9\times4=41$。

4.設點$P(3,4)$，直線$l:y=mx+n$經過點$P$，且與直線$x+y=5$垂直。求直線$l$的方程。

直線$x+y=5$的斜率為$-1$，所以$l$的斜率為$1$，即$m=1$。代入點斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$得$y-4=1(x-3)$，化簡得$y=x+1$。

5.拋物線$y=x^2-4x+3$與$x$軸的交點由$y=0$解得$x^2-4x+3=0$，解得$x=1$或$x=3$，所以$AB$的長為$3-1=2$。拋物線的焦點坐標為$(h,k+\frac{1}{4a})$，其中$h=\frac{b}{2a}=2$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times1\times3-(-4)^2}{4\times1}=1$，所以焦點坐標為$(2,1+\frac{1}{4})=(2,\frac{5}{4})$。

知識點總結：

本試卷涵蓋了初中數學的主要知識點，包括代數、幾何和函數。選擇題和填空題主要考察學生對基礎概念的理解和運算能力，計算題則要求學生能夠應用所學知識解決實際問題。以下是對各題型所考察知識點的詳細分類和總結：

選擇題：

-基本概念：實數、數列、函數、幾何圖形

-運算能力：代