高三皖西南聯考數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數$f(x)=\sqrt{4-x^2}$，則函數的定義域為（）

A.$[-2,2]$

B.$[-4,0]$

C.$[0,4]$

D.$[-2,0]$

2.若$a>0$，$b>0$，則下列不等式中正確的是（）

A.$a^2+b^2\geq2ab$

B.$a^2-b^2\geq2ab$

C.$a^2+b^2\leq2ab$

D.$a^2-b^2\leq2ab$

3.已知等差數列$\{a_n\}$，若$a_1=3$，$a_5=11$，則公差$d$為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知等比數列$\{b_n\}$，若$b_1=2$，$b_3=8$，則公比$q$為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

5.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$處取得極值，則該極值為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}$，則函數的圖像在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

7.若直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則圓心到直線的距離為（）

A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$

B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

C.$\frac{1}{\sqrt{5}}$

D.$\frac{1}{5}$

8.已知復數$z=3+4i$，則$|z|$的值為（）

A.5

B.7

C.9

D.11

9.若函數$f(x)=\lnx$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則下列函數中單調遞增的是（）

A.$f(-x)$

B.$f(-x^2)$

C.$f(\frac{1}{x})$

D.$f(\sqrt{x})$

10.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,3)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值為（）

A.5

B.7

C.9

D.11

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列命題中，正確的是（）

A.若$a>b$，則$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

B.若$a^2>b^2$，則$a>b$

C.若$|a|<|b|$，則$-a<-b$

D.若$|a|<|b|$，則$a<b$

E.若$a^2=b^2$，則$a=b$或$a=-b$

2.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$的圖像如下，則下列說法正確的是（）

A.函數在$x=1$處取得極大值

B.函數在$x=0$處取得極小值

C.函數在$x=2$處取得極值

D.函數在$x=3$處取得極值

E.函數的導數在$x=1$處為0

3.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，若$a_1=1$，$a_4=9$，則下列選項中正確的是（）

A.公差$d=4$

B.$a_7=25$

C.$a_{10}=41$

D.$a_{13}=49$

E.$a_8=16$

4.下列函數中，屬于反比例函數的是（）

A.$y=\frac{1}{x}$

B.$y=x^2$

C.$y=x^3$

D.$y=\frac{1}{x^2}$

E.$y=\frac{x}{x^2}$

5.若直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則下列說法正確的是（）

A.當$k>0$時，圓心到直線的距離$d<1$

B.當$k=0$時，圓心到直線的距離$d=1$

C.當$k<0$時，圓心到直線的距離$d>1$

D.圓心到直線的距離$d$與斜率$k$無關

E.當$k=1$時，圓心到直線的距離$d=\frac{1}{\sqrt{2}}$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域為______。

2.若等差數列$\{a_n\}$的公差$d=3$，且$a_1=2$，則$a_5$的值為______。

3.已知等比數列$\{b_n\}$的公比$q=\frac{1}{2}$，且$b_1=16$，則$b_4$的值為______。

4.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在區間$(0,+\infty)$上單調遞增，則該函數的極小值點為______。

5.已知復數$z=3+4i$，則$|z|^2$的值為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：

(1)函數的導數$f'(x)$；

(2)函數的極值點及極值；

(3)函數的單調區間。

2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=5$，公差$d=2$，求：

(1)第10項$a_{10}$；

(2)前10項的和$S_{10}$；

(3)從第3項開始的連續5項的和。

3.已知等比數列$\{b_n\}$的首項$b_1=3$，公比$q=\frac{1}{3}$，求：

(1)第5項$b_5$；

(2)前5項的和$S_5$；

(3)從第2項開始的連續4項的積。

4.已知函數$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求：

(1)函數的定義域；

(2)函數的垂直漸近線方程；

(3)函數的水平漸近線方程。

5.已知直線$y=2x-1$與圓$x^2+y^2=4$相交，求：

(1)相交點的坐標；

(2)圓心到直線的距離；

(3)相交弦的長度。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題

1.A

2.A

3.A

4.A

5.B

6.D

7.A

8.A

9.D

10.A

二、多項選擇題

1.CDE

2.BDE

3.BCE

4.ADE

5.BCE

三、填空題

1.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$

2.19

3.1

4.$x=1$

5.25

四、計算題

1.

(1)$f'(x)=3x^2-12x+9$

(2)極值點為$x=1$，極小值為$f(1)=1$；

極值點為$x=3$，極大值為$f(3)=1$；

(3)單調遞增區間為$(0,1)$和$(3,+\infty)$，單調遞減區間為$(1,3)$。

2.

(1)$a_{10}=5+2(10-1)=21$

(2)$S_{10}=\frac{10(5+21)}{2}=130$

(3)$a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=5+7+9+11+13=45$

3.

(1)$b_5=3\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{9}$

(2)$S_5=3+1+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{23}{3}$

(3)$b_2\cdotb_3\cdotb_4\cdotb_5=3\cdot1\cdot1\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{9}$

4.

(1)定義域為$\{x|x\neq1\}$

(2)垂直漸近線方程為$x=1$

(3)水平漸近線方程為$y=1$

5.

(1)解方程組$\begin{cases}y=2x-1\\x^2+y^2=4\end{cases}$得相交點坐標為$(1,1)$和$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$

(2)圓心到直線的距離$d=\frac{|2\cdot0-1\cdot0-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

(3)相交弦的長度為$2\sqrt{4-d^2}=2\sqrt{4-\frac{1}{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

知識點總結：

1.函數與導數：本試卷涉及了函數的定義域、導數的計算、極值點和極值、單調性等知識點。

2.數列：包括等差數列和等比數列的定義、通項公式、前n項和、連續項的和積等。

3.復數：復數的模、復數的乘除運算、復數的幾何意義等。

4.直線與圓：直線與圓的位置關系、相交弦、圓心到直線的距離等。

5.極限與無窮小：本試卷未涉及極限與無窮小的知識點。

各題型知識點詳解及示例：

1.選擇題：考察學生對基礎