圖形數學題目和答案高中1.題目：已知函數\(f(x)=x^2-4x+3\)，求該函數的頂點坐標。答案：函數\(f(x)=x^2-4x+3\)是一個二次函數，其頂點坐標可以通過公式\(x=-\frac{2a}\)計算得到，其中\(a=1\)和\(b=-4\)。代入公式得\(x=-\frac{-4}{2\times1}=2\)。將\(x=2\)代入原函數求得\(y\)值，\(y=2^2-4\times2+3=4-8+3=-1\)。因此，頂點坐標為\((2,-1)\)。2.題目：若直線\(y=2x+3\)與拋物線\(y=x^2\)相交于點\(A\)和\(B\)，求\(A\)和\(B\)的坐標。答案：要求交點，需要聯立兩個方程\(y=2x+3\)和\(y=x^2\)。將\(y=x^2\)代入\(y=2x+3\)中，得到\(x^2=2x+3\)。整理得到\(x^2-2x-3=0\)。這是一個二次方程，可以通過因式分解或求根公式解得\(x\)的值。因式分解得\((x-3)(x+1)=0\)，所以\(x=3\)或\(x=-1\)。將\(x\)值代入\(y=x^2\)求得\(y\)值，得到\(A(3,9)\)和\(B(-1,1)\)。3.題目：已知三角形\(ABC\)的頂點坐標分別為\(A(1,2)\)，\(B(4,6)\)，\(C(3,-1)\)，求三角形\(ABC\)的面積。答案：根據頂點坐標，可以使用行列式的方法計算三角形面積。三角形面積\(S\)的計算公式為\(S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|\)。代入\(A(1,2)\)，\(B(4,6)\)，\(C(3,-1)\)的坐標，得到\(S=\frac{1}{2}|1(6+1)+4(-1-2)+3(2-6)|=\frac{1}{2}|7-12-12|=\frac{1}{2}|-17|=\frac{17}{2}\)。因此，三角形\(ABC\)的面積為\(\frac{17}{2}\)平方單位。4.題目：若\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，且\(\theta\)在第一象限，求\(\cos\theta\)的值。答案：由于\(\theta\)在第一象限，\(\sin\theta\)和\(\cos\theta\)都是正數。根據勾股定理\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，代入\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)得到\(\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\theta=1\)，即\(\frac{9}{25}+\cos^2\theta=1\)。解得\(\cos^2\theta=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\)，所以\(\cos\theta=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)。5.題目：已知函數\(f(x)=\sinx+\cosx\)，求\(f(x)\)的最大值。答案：函數\(f(x)=\sinx+\cosx\)可以通過三角恒等變換化簡。利用\(\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)，可知\(f(x)\)的最大值為\(\sqrt{2}\)，當\(x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\)為整數）時取得，即\(x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\)。6.題目：若\(\tan\alpha=2\)，求\(\sin\alpha\)和\(\cos\alpha\)的值。答案：由于\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\)，設\(\sin\alpha=2k\)和\(\cos\alpha=k\)。根據勾股定理\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，代入得到\((2k)^2+k^2=1\)，即\(5k^2=1\)，解得\(k^2=\frac{1}{5}\)，所以\(k=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\)。由于\(\tan\alpha=2\)為正，\(\alpha\)在第一或第三象限，因此\(\sin\alpha\)和\(\cos\alpha\)同號。取\(k=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，則\(\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\)和\(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}\)。7.題目：若\(\log_23=a\)，求\(\log_248\)的值。答案：已知\(\log_23=a\)，要求\(\log_248\)，可以利用對數的性質。由于\(48=3\times16=3\times2^4\)，所以\(\log_248=\log_2(3\times2^4)=\log_23+\log_22^4=a+4\)。8.題目：若\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=1\)，求\(x+y\)的最大值。答案：由\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=1\)可得\(\sqrt{x+1}\)和\(\sqrt{y-1}\)都是非負數，且它們的和為1。要使\(x+y\)最大，需要使\(\sqrt{x+1}\)和\(\sqrt{y-1}\)盡可能大，即\(\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}=\frac{1}{2}\)。解得\(x+1=\frac{1}{4}\)和\(y-1=\frac{1}{4}\)，所以\(x=-\frac{3}{4}\)和\(y=\frac{5}{4}\)。因此，\(x+y=-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)。9.題目：若\(\sinA=\frac{1}{2}\)，\(\cosB=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且\(A\)和\(B\)都在\((0,\pi)\)范圍內，求\(\sin(A+B)\)的值。答案：已知\(\sinA=\frac{1}{2}\)，\(A\)在\((0,\pi)\)范圍內，所以\(A=\frac{\pi}{6}\)或\(A=\frac{5\pi}{6}\)。又\(\cosB=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(B\)在\((0,\pi)\)范圍內，所以\(B=\frac{5\pi}{6}\)。由于\(A\)和\(B\)必須同在第一或第二象限，所以\(A=\frac{\pi}{6}\)和\(B=\frac{5\pi}{6}\)。根據兩角和的正弦公式\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)，代入\(\sinA=\frac{1}{2}\)，\(\cosA=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cosB=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sinB=\frac{1}{2}\)，得到\(\sin(A+B)=\frac{1}{2}\times(-\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=0\)。10.題目：若\(\tan\theta=3\)，求\(\sin\theta\)和\(\cos\theta\)的值。答案：由于\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=3\)，設\(\sin\theta=3k\)和\(\cos\theta=k\)。根據勾股定理\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，代入得到\((3k)^2+k^2=1\)，即\(10k^2=1\)，解得\(k^2=\frac{1}{10}\)，所以\(k=\pm\frac{1}{\s