16.1.1同底數冪的乘法第十六章

整式的乘法【2025新教材】人教版數學

八年級上冊

幻燈片1：封面標題：16.1.1同底數冪的：探索指數運算的奧秘背景圖：以科技感十足的數字矩陣為背景，矩陣中動態展示同底數冪的乘法式子，如\(2^3??2^2\)等，搭配閃爍的冪指數特效，營造出充滿探索欲的學習氛圍，激發學生對新知識的好奇心幻燈片2：目錄復習回顧，引入新課同底數冪乘法的探究活動同底數冪的乘法法則推導同底數冪乘法法則的應用法則的拓展與深化課堂練習與互動課堂小結課后作業布置幻燈片3：復習回顧，引入新課乘方知識回顧：提問學生“什么是乘方？\(a^n\)表示的意義是什么？”引導學生回答乘方的定義，即求\(n\)個相同因數\(a\)的積的運算叫做乘方，\(a^n\)表示\(n\)個\(a\)相乘，其中\(a\)是底數，\(n\)是指數

。簡單計算回顧：展示一些簡單的乘方計算題目，如\(3^2=\)______，\((-2)^3=\)______，讓學生快速口答，鞏固乘方運算的知識

。情境引入：提出問題“一種電子計算機每秒可進行\(10^{14}\)次運算，它工作\(10^{3}\)秒可進行多少次運算？”引導學生列出算式\(10^{14}??10^{3}\)，從而引出本節課同底數冪乘法的學習內容

。幻燈片4：同底數冪乘法的探究活動計算觀察：讓學生計算以下式子：\(2^3??2^2=(2??2??2)??(2??2)=2??2??2??2??2=2^5\)；\(a^3??a^2=(a??a??a)??(a??a)=a??a??a??a??a=a^5\)；\(5^m??5^n=\underbrace{(5??5??\cdots??5)}_{m??a5}??\underbrace{(5??5??\cdots??5)}_{n??a5}=\underbrace{5??5??\cdots??5}_{(m+n)??a5}=5^{m+n}\)。引導學生觀察計算結果，思考等式左右兩邊的底數、指數有什么關系

。小組討論：組織學生小組討論，交流自己的發現。教師巡視各小組，傾聽學生的想法，并適時給予引導

。猜想歸納：鼓勵學生大膽猜想同底數冪乘法的運算規律，各小組代表發言分享猜想結果，引導學生歸納出：同底數冪相乘，底數不變，指數相加

。幻燈片5：同底數冪的乘法法則推導法則推導：對于同底數冪\(a^m\)與\(a^n\)（\(m\)、\(n\)都是正整數），根據乘方的意義，\(a^m=\underbrace{a??a??\cdots??a}_{m??aa}\)，\(a^n=\underbrace{a??a??\cdots??a}_{n??aa}\)。那么\(a^m??a^n=\underbrace{a??a??\cdots??a}_{m??aa}??\underbrace{a??a??\cdots??a}_{n??aa}=\underbrace{a??a??\cdots??a}_{(m+n)??aa}=a^{m+n}\)。法則總結：得出同底數冪的乘法法則：\(a^m??a^n=a^{m+n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整數），即同底數冪相乘，底數不變，指數相加

。強調要點：強調法則中底數\(a\)可以是數字、字母，也可以是一個多項式；指數\(m\)、\(n\)是正整數，并且該法則可以推廣到三個或三個以上同底數冪相乘的情況，如\(a^m??a^n??a^p=a^{m+n+p}\)（\(m\)、\(n\)、\(p\)都是正整數）

。幻燈片6：同底數冪乘法法則的應用-基礎應用例題講解：“計算：\(10^5??10^3\)；\(x^3??x^4\)；\(a??a^3??a^5\)。”講解過程：對于\(10^5??10^3\)，根據同底數冪的乘法法則，底數不變仍為\(10\)，指數相加\(5+3=8\)，所以\(10^5??10^3=10^8\)。對于\(x^3??x^4\)，底數\(x\)不變，指數相加\(3+4=7\)，即\(x^3??x^4=x^7\)。對于\(a??a^3??a^5\)，先將\(a\)看作\(a^1\)，然后根據法則，底數\(a\)不變，指數相加\(1+3+5=9\)，所以\(a??a^3??a^5=a^9\)。課堂練習：給出類似題目，如“計算：\(2^6??2^5\)，\(y^2??y^6\)，\(b^2??b??b^3\)”，讓學生獨立完成，教師巡視指導，及時糾正學生在應用法則過程中出現的錯誤

。幻燈片7：同底數冪乘法法則的應用-變式應用例題講解：“計算：\((-2)^4??(-2)^5\)；\((a-b)^3??(a-b)^2\)。”講解過程：對于\((-2)^4??(-2)^5\)，底數是\(-2\)，根據法則，底數不變，指數相加\(4+5=9\)，所以\((-2)^4??(-2)^5=(-2)^9=-2^9\)。對于\((a-b)^3??(a-b)^2\)，把\((a-b)\)看作一個整體，作為底數，指數相加\(3+2=5\)，即\((a-b)^3??(a-b)^2=(a-b)^5\)。思路點撥：引導學生在遇到負數底數或多項式底數時，要依然緊扣同底數冪乘法法則，將其看作一個整體進行運算

。幻燈片8：法則的拓展與深化指數為\(1\)的情況：強調在同底數冪乘法中，當一個冪的指數為\(1\)時，通常省略不寫，但在計算時要把指數\(1\)參與運算，如\(a??a^2=a^{1+2}=a^3\)。逆用法則：講解同底數冪乘法法則的逆用，即\(a^{m+n}=a^m??a^n\)（\(m\)、\(n\)都是正整數）。通過例題“已知\(a^m=3\)，\(a^n=2\)，求\(a^{m+n}\)的值”，引導學生運用逆用法則，將\(a^{m+n}\)轉化為\(a^m??a^n\)，代入數值計算得到\(a^{m+n}=3??2=6\)。拓展思考：提出問題“同底數冪的乘法與整式的加減運算有什么區別？”引導學生思考討論，明確同底數冪乘法是底數不變指數相加，整式加減是合并同類項，系數相加減，字母和指數不變

。幻燈片9：課堂練習與互動-基礎練習題目展示：計算：\(3^7??3^6\)，\(m^5??m^3\)，\(c??c^2??c^3\)。下面的計算對不對？如果不對，怎樣改正？\(b^5??b^5=2b^5\)；\(x^5+x^5=x^{10}\)。互動環節：學生獨立完成練習，教師巡視指導，選取學生回答問題，及時糾正錯誤，講解解題思路，強調同底數冪乘法法則與整式加減的區別

。幻燈片10：課堂練習與互動-綜合練習題目展示：已知\(x^m=4\)，\(x^n=8\)，求\(x^{m+n}\)的值

。計算：\((x+y)^2??(x+y)^3??(x+y)\)。互動環節：學生先獨立思考，然后小組討論交流解題思路，每組派代表上臺講解解題過程，教師總結多種解法，拓展學生思維，強化對法則的綜合運用能力

。幻燈片11：課堂小結知識回顧：總結同底數冪的乘法法則\(a^m??a^n=a^{m+n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整數），回顧法則的推導過程，強調底數和指數的特點

。學習方法強調：鼓勵學生在學習同底數冪乘法時，要理解法則的本質，通過多做練習熟練掌握法則的應用，注意區分同底數冪乘法與整式加減運算；在遇到復雜問題時，要善于運用法則的逆用和推廣形式進行解題

。幻燈片12：課后作業布置基礎作業：計算：\(5^8??5^3\)，\(a^4??a^7\)，\(y^2??y??y^5\)，\((-3)^6??(-3)^5\)，\((2x-1)^3??(2x-1)^4\)。已知\(a^{n-3}??a^{2n+1}=a^{10}\)，求\(n\)的值

。拓展作業：若\(2^m=3\)，\(2^n=5\)，求\(2^{m+n+2}\)的值

。觀察下列式子：\(3^2-1^2=8=8??1\)；\(5^2-3^2=16=8??2\)；\(7^2-5^2=24=8??3\)；\(\cdots\)，請用含\(n\)（\(n\)為正整數）的式子表示上述規律，并利用同底數冪的乘法等知識進行驗證

。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解學習目標知道同底數冪的乘法法則.能熟練地運用同底數冪的乘法法則進行化簡和計算.ann

個a

相乘指數底數

冪a×a×···×a=復習回顧這種求n個相同因數的積的運算叫作乘方；乘方的結果叫作冪.指出下列冪的底數和指數：(–a)2

底數為

指數為_______；a4

底數為

指數為_______；(x–y)3

底數為

指數為_______；(y–x)n

底數為

指數為_______；–a2a4x–y3y–xn10()搭載國產芯片的“神威·太湖之光”是世界上首臺運行速度超過每秒10億億次的超級計算機.新課導入17問題

一種電子計算機每秒可進行1億億(1016)次運算，它工作

103

s

可進行多少次運算？我們該如何列式？1016×103探究新知1016×103它與我們之前所列的乘法式子有什么區別？①兩個因式都是冪的形式；②底數都是10.像1016×103一樣，相同底數的冪進行的乘法運算，叫作同底數冪相乘.×(10×10×10)1016×103我們該如何計算？（乘方的意義）

3個10（乘法的結合律）（乘方的意義）16個10=(10×10×···×10)19個10=10×10×···×10=1019探究根據乘方的意義填空，觀察計算結果，你能發現什么規律？(1)105×102=10()；(2)a3·a2=a()；(3)5m×5n=5()(m，n是正整數).75m+n乘數和積都是冪的形式乘數和積的底數相同積的指數等于乘數的指數和am·an

猜一猜對于底數a

與正整數m，n底數不變指數相加你能證明嗎？am·an

=am+n

=(a·a·····a)

·(a·a·····a)

()個a()個a=a·a·····a()個a=am+nmnm+n同底數冪的乘法法則：即同底數冪相乘，底數______，指數______.結果：①底數不變

②指數相加條件：①乘法

②底數相同

不變相加注意一般地，對于任意底數a

與任意正整數m，n，am·an

=am+n

(m、n都是正整數)口算：am·an

=am+n小試牛刀(1)103×104；(2)a·a3；(3)(–2)5×(–2)4；(4)x2·x3.a

=a1=107=a4=(–2)9=x5思考你會計算下面的算式嗎？2×24×26=_________________；(2)a·a2·a5=_________________.21+4×26a1+2·a5三個或三個以上同底數冪相乘，也具有相同的性質：=25+6=a3+5=211=a8am·an·····ap

=am+n+···+p

(m、n都是正整數)小試牛刀am·an·····ap

=am+n+···+p計算：(1)24×2×22；(2)x·x3·x5解：原式=24+1+2解：原式=x1+3+5=27=x9=128

能算出結果的要算出來

例1計算：

(3)(–2)×(–2)4×(–2)3；(1)x2·x5；(2)a·a6；(4)xm·x3m+1.解：(1)x2·x5=x2+5=x7(2)a·a6(3)(–2)×(–2)4×(–2)3(4)xm·x3m+1=a1+6=a7=(–2)1+4+3=(–2)8=256=xm+3m+1=

x4m