PAGE八年級華師大版數學（下）第16章分式§16.1分式及基本性質一、分式的概念1、分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。2、對于分式概念的理解，應把握以下幾點：（1）分式是兩個整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分數線起除號和括號的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能為零。3、分式有意義、無意義的條件（1）分式有意義的條件：分式的分母不等于0；（2）分式無意義的條件：分式的分母等于0。4、分式的值為0的條件：當分式的分子等于0，而分母不等于0時，分式的值為0。即，使=0的條件是：A=0，B≠0。5、有理式整式和分式統稱為有理式。整式分為單項式和多項式。分類：有理式單項式：由數與字母的乘積組成的代數式；多項式：由幾個單項式的和組成的代數式。二、分式的基本性質1、分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。用式子表示為：eq\f(A,B)=eq\f(A·M,B·M)=eq\f(A÷M,B÷M)，其中M（M≠0）為整式。2、通分：利用分式的基本性質，使分子和分母都乘以適當的整式，不改變分式的值，把幾個異分母分式化成同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。通分的關鍵是：確定幾個分式的最簡公分母。確定最簡公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數的最小公倍數、相同字母的最高次冪、所有不同字母及指數的積。（2）如果各分母中有多項式，就先把分母是多項式的分解因式，再參照單項式求最簡公分母的方法，從系數、相同因式、不同因式三個方面去確定。3、約分：根據分式的基本性質，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。在約分時要注意：（1）如果分子、分母都是單項式，那么可直接約去分子、分母的公因式，即約去分子、分母系數的最大公約數，相同字母的最低次冪；（2）如果分子、分母中至少有一個多項式就應先分解因式，然后找出它們的公因式再約分；（3）約分一定要把公因式約完。三、分式的符號法則：（1）eq\f(－a,b)=eq\f(a,-b)=－eq\f(a,b)；（2）eq\f(-a,-b)=eq\f(a,b)；（3）－eq\f(-a,-b)=eq\f(a,b)§16.2分式的運算一、分式的乘除法1、法則：（1）乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。（意思就是，分式相乘，分子與分子相乘，分母與分母相乘）。用式子表示：（2）除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，再與被除式相乘。用式子表示：2、應用法則時要注意：（1）分式中的符號法則與有理數乘除法中的符號法則相同，即“同號得正，異號得負，多個負號出現看個數，奇負偶正”；（2）當分子分母是多項式時，應先進行因式分解，以便約分；（3）分式乘除法的結果要化簡到最簡的形式。二、分式的乘方1、法則：根據乘方的意義和分式乘法法則，分式的乘方就是把將分子、分母分別乘方，然后再相除。用式子表示：（其中n為正整數，a≠0）2、注意事項：（1）乘方時，一定要把分式加上括號；（2）在一個算式中同時含有乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先因式分解，再約分；（3）最后結果要化到最簡。三、分式的加減法（一）同分母分式的加減法1、法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。用式子表示：2、注意事項：（1）“分子相加減”是所有的“分子的整體”相加減，各個分子都應有括號；當分子是單項式時括號可以省略，但分母是多項式時，括號不能省略；（2）分式加減運算的結果必須化成最簡分式或整式。（二）異分母分式的加減法1、法則：異分母分式相加減，先通分，轉化為同分母分式后，再加減。用式子表示：。2、注意事項：（1）在異分母分式加減法中，要先通分，這是關鍵，把異分母分式的加減法變成同分母分式的加減法。（2）若分式加減運算中含有整式，應視其分母為1，然后進行通分。（3）當分子的次數高于或等于分母的次數時，應將其分離為整式與真分式之和的形式參與運算，可使運算簡便。四、分式的混合運算1、運算規則：分式的加、減、乘、除、乘方混合運算，先乘方，再乘除，最后算加減。遇到括號時，要先算括號里面的。2、注意事項：（1）分式的混合運算關鍵是弄清運算順序；（2）有理數的運算順序和運算規律對分式運算同樣適用，要靈活運用交換律、結合律和分配律；（3）分式運算結果必須化到最簡，能約分的要約分，保證運算結果是最簡分式或整式。§16.3可化為一元一次方程的分式方程一、分式方程基本概念1、定義：方程中含有分式，并且分母中含有未知數的方程叫做分式方程。2、理解分式方程要明確兩點：（1）方程中含有分式；（2）分式的分母含有未知數。分式方程與整式方程最大區別就在于分母中是否含有未知數。二、分式方程的解法1、解分式方程的基本思想：化分式方程為整式方程。途徑：“去分母”。方法是：方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程求解。2、解分式方程的一般步驟：（1）去分母。即在方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，把原分式方程化為整式方程；（2）解這個整式方程；（3）驗根。驗根方法：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最簡公分母為0的根是原分式方程的增根，必須舍去。這種驗根方法不能檢查解方程過程中出現的計算錯誤，還可以采用另一種驗根方法，即把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗，這種方法可以發現解方程過程中有無計算錯誤。3、分式方程的增根。意義是：把分式方程化為整式方程后，解出的整式方程的根有時只是這個整式的方程的根而不是原分式方程的根，這種根就是增根，因此，解分式方程必須驗根。三、分式方程的應用1、意義：分式方程的應用就是列分式方程解應用題，它和列一元一次方程解應用題的方法、步驟、解題思路基本相同，不同的是，因為有了分式概念，所列代數式的關系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知數，解出方程的解后還要進行檢驗。2、列分式方程解應用題的一般步驟如下：（1）審題。理解題意，弄清已知條件和未知量；（2）設未知數。合理的設未知數表示某一個未知量，有直接設法和間接設法兩種；（3）找出題目中的等量關系，寫出等式；（4）用含已知量和未知數的代數式來表示等式兩邊的語句，列出方程；（5）解方程。求出未知數的值；（6）檢驗。不僅要檢驗所求未知數的值是否為原方程的根，還要檢驗未知數的值是否符合題目的實際意。“雙重驗根”。§16.4零指數冪與負整數指數冪一、零指數冪1、定義：任何不等于零的實數的零次冪都等于1，即a0=1（a≠0）。2、特別注意：零的零次冪無意義。即00無意義。若問當x=_____時，(x-2)0有意義。答案是：x≠2。（2）按照定義分為：二、負整數指數冪1、定義：任何不等于的數的-n（n為正整數）次冪，都等于這個數的n次冪的倒數，即a-n=（a≠0，n為正整數）2、注意事項：（1）負整數指數冪成立的條件是底數不為0；（2）正整數指數冪的所有運算法則均適用于負整式指數冪，即指數冪的運算可以擴大到整數指數冪范圍；（3）要避免像5-2=-2×5=-10的錯誤，正確算法是：。三、用科學計數法表示絕對值小于1的數1、規則：絕對值小于1的數，利用10的負整式指數冪，把它表示成a×10-n（n為正整數），其中1≤|a|＜10。2、注意事項：（1）n為該數左邊第一個非零數字前所有0的個數（包括小數點前的那個零）。如-0.00021=-2.1×10-4（2）注意數的符號的變化，在數前面有負號的，其結果也要寫符號。（3）寫科學記數法的關鍵的是確定10n的指數n的值。第17章函數及其圖象§17.1變量與函數一、變量與常量1、變量：在某一變化過程中，可以取不同的數值，級數值發生變化的量，叫做變量。常量：在某一變化過程中，取值（數值）始終保持不變的量，叫做常量。2、注意事項：（1）常量和變量是相對的，在不同的研究過程中有些是可以相互轉化的；（2）離開具體的過程抽象地說一個量是常量還是變量是不允許的；（3）在各種關于變量、常量的例子中，變量之間有一定的依賴關系。如三角形的面積，當底邊一定時，高與面積之間是有關聯的，不是各自隨意變化。二、函數概念1、定義：在某個變化過程中，如果有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么，我們就說y是x的函數，其中x叫做自變量，y叫做因變量。2、對函數概念的理解，主要抓住三點：（1）有兩個變量；（2）一個變量的數值隨另一個變量的數值的變化而變化；（3）自變量每確定一個值，因變量就有一個并且只有一個值與其對應。三、函數的表示法：（1）列表法；（2）圖象法；（3）解析法。四、求函數自變量的取值范圍1．實際問題中的自變量取值范圍按照實際問題是否有意義的要求來求。2．用數學式子表示的函數的自變量取值范圍例1．求下列函數中自變量x的取值范圍(1)解析式為整式的，x取全體實數；(2)解析式為分式的，分母必須不等于0式子才有意義；(3)解析式的是二次根式的被開方數必須是非負數式子才有意義；(4)解析式是三次方根的，自變量的取值范圍是全體實數。3．函數值：指自變量取一個數值代入解析式求出的數值，稱為函數值；實際上就是以前學的求代數式的值。§17.2函數的圖象一、平面直角坐標系1、定義：平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。其中水平的數軸叫做橫軸（或x軸），取向右為正方向；豎直的數軸叫做縱軸（y軸），取向上為正方向；兩軸的交點O叫做原點。在平面內，原點的右邊為正，左邊為負，原點的上邊為正，下邊為負。2、坐標平面內被x軸、y軸分割成四個部分，按照“逆時針方向”分別為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限注意：x軸、y軸原點不屬于任何象限。3、平面直角坐標系中的點分別向x軸、y軸作垂線段，在x軸上垂足所顯示的數稱為該點的橫坐標，在y軸上垂足所顯示的數稱為該點的縱坐標。點的坐標反映的是一個點在平面內的位置。寫坐標的規則：橫坐標在前，縱坐標在后，中間用“，”隔開，全部用小括號括起來。如P（3，2）橫坐標為3，縱坐標為2。特別注意坐標的順序不同，表示的就是不同位置的點。所以點的坐標是一對有順序的實數，稱為有序實數對。4、平面直角坐標系中的點與有序實數對一一對應。5、坐標的特征(1)在第一象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是正數；在第二象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是正數；在第三象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是負數；在第四象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是負數；(2)x軸上點的縱坐標等于零；y軸上點的橫坐標等于零．6、對稱點的坐標特征(1)關于x軸對稱的兩點：橫坐標相同，縱坐標絕對值相等，符號相反；(2)關于y軸對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標相同；(3)關于原點對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標也絕對值相等，符號相反。(4)第一、三象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標相同；(5)第二、四象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標互為相反數。7、點到兩坐標軸的距離點A（a，b）到x軸的距離為|b|，點A（a，b）到y軸的距離為|a|。二、函數的圖象1、意義：對于一個函數，如果把自變量x與函數值y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內描出相應的點，這些點所組成的圖形，就是這個函數的圖象。2、作函數圖象的方法：描點法。步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線。3、一般函數作圖象，要求橫軸和縱軸上的單位長度一定要一致，按照對應的解析式先計算出一對對應值，就是坐標，然后描點，再連線；畫實際問題的圖象時，必須先考慮函數自變量的取值范圍．有時為了表達的方便，建立直角坐標系時，橫軸和縱軸上的單位長度可以不一致。§17.3一次函數一、一次函數的概念之所以稱為一次函數，是因為它們的關系式是用一次整式表示的。學習此概念要從兩個方面來理解。（1）從其表達式上：一次函數通常是指形如：y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的函數，凡是成這種形式的函數都是一次函數。而當b=0時，即y=kx(k≠0的常數)，則稱為正比例函數，其中k為比例系數。（2）從其意義上：它們表示的是兩個變量之間的關系，這種函數關系具有特定的意義，如，如果說兩各變量之間具有一次函數關系，我們就可按照概念設出函數關系式，成正比例關系的也同樣，如，若s與t成正比例關系，我們便可設s=kt（k≠0，t為自變量）“正比例函數”與“成正比例”的區別：正比例函數一定是y=kx這種形式，而成正比例則意義要廣泛得多，它反映了兩個量之間的固定正比例關系，如a+3與b-2成正比例，則可表示為：a+3=k（b-2）（k≠0）二、一次函數的圖象正比例函數和一次函數的圖象都是一條直線，所以對于其解析式也稱為“直線y=kx+b，直線y=kx”。因為一次函數的圖象是一條直線，所以在畫一次函數的圖象時，只要描出兩個點，在通過兩點作直線即可。1、畫正比例函數y=kx(k≠0的常數)的圖象時，只需要這兩個特殊點：（0，0）和（1，k）兩點；2、畫一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的圖象時，只需要找出它與坐標軸的兩個交點即可。一次函數與x軸的交點坐標是：（0，b），與y軸的交點坐標是：（－eq\f(b,k)，0）3、若兩個不同的一次函數的一次項的系數相同，則這它們的圖象平行。4、將y=kx的圖象沿著沿著軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|各單位長度即可得到y=kx+b。5、求兩一次函數的交點坐標：聯立解兩各函數解析式得到的二元一次方程組，求的自變量x的值為交點的橫坐標，求出的y的值為交點的縱坐標。三、一次函數的性質一次函數的性質是由k來決定的。1、正比例函數y=kx(k≠0的常數)的性質（1）當k>0時，圖象經過一、三象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。（2）當k<0時，圖象經過二、四象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。2、一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的性質（1）當k>0時，①當b>0時，圖象經過一、三、二象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。②當b<0時，圖象經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。（2）當k<0時，①當b>0時，圖象經過二、四、一象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。②當b<0時，圖象經過二、四、一象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。四、確定正比例函數好一次函數的解析式1、意義：（1）確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數y=kx(k≠0的常數)中的常數k；（2）確定一個一次函數，需要確定一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)中常數k和b。2、待定系數法（1）先設待求函數關系式（其中含有未知的系數），再根據條件列出方程或方程組，求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法。（2）用待定系數法求函數關系式的一般方法：①設出含有待定系數的函數關系式；②把已知條件（自變量與函數的對應值）代入關系式，得到關于待定系數方程（組）；③解方程（組），求出待定系數；④將求得的待定系數的值代回所設的關系式中，從而確定出函數關系式。五、一次函數（正比例函數）的應用。與方程的應用差不多，注意審題步驟。§17.4反比例函數一、反比例函數1、定義：形如y=eq\f(k,x)(k≠0的常數)的函數叫做反比例函數。2、對于反比例函數：（1）掌握其形式y=eq\f(k,x)，且k為常數，同時不能為0；等號左邊是函數y，右邊是一個分式，分子是一個不為0的常數，分母是自變量x，若把反比例函數寫成y=kx-1，則x的系數為-1；自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數，函數y的取值范圍也是不為0的一切實數；（2）將y=eq\f(k,x)轉化為xy=k，由此可得反比例函數中的兩個變量的積為定值，即某兩個變量的積為一定值時，則這兩個變量就成反比例關系。（3）“反比例函數”與“成反比例”之間的區別在于，前者是一種函數關系，而后者是一種比例關系，不一定是反比例函數，如說s與t2成反比例，可設為s=eq\f(k,t2)(k≠0的常數)，但這顯然不是反比例函數。二、用待定系數法求反比例函數表達式。由于反比例函數y=eq\f(k,x)中只有一個待定系數，因此只需要一組對應值，即可求k的值，從而確定其表達式。三、反比例函數的圖象1、意義：（1）名稱：雙曲線，它有兩個分支，分別位于一、三或二、四象限；（2）這兩個分支關于原點成中心對稱；（3）由于反比例函數自變量x≠0，函數y≠0，所以反比例函數的圖象與x軸和y軸都沒有交點，無限接近坐標軸，永遠不能到達坐標軸。2、畫法（描點法）：（1）列表。自變量的值應在0的兩邊取值，各取三各以上，共六對互為相反數的數對，填y值時，只需計算出自變量對應的函數值即可。（2）描點：先畫出反比例函數一側（即一個象限內的分支），在對稱地畫出另一側（另一分值）；（3）連線：按照從左到右的順序用平滑曲線連接各點并延伸，注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不能與坐標軸相交。ABCO四、反比例函數y=eq\f(k,x)的性質ABCO1、性質：（1）當k>0時，圖象的兩個分支位于一、三象限,在每個象限內，y隨x的增大而減小；（2）當k<0時，圖象的兩個分支位于二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大；注意：不能籠統地說反比例函數的“y隨x的增大而增大或減小”，必須注意是在“各自的象限內”2、反比例函數的表達式中的幾何意義如圖所示，若點A是反比例函數y=eq\f(k,x)上的點，且AB垂直于x軸，垂足為B，AC垂直于y軸，垂足為C，則S矩形ABOC=|k|，S△AOB=S△AOC=eq\f(1,2)S矩形ABOC=eq\f(1,2)|k|五、反比例函數的應用。注意聯系實際問題和用解決方程應用題的思路。第18章平行四邊形§18.1平行四邊形的性質一、平行四邊形的性質（一）平行四邊形的有關概念ABABCD2、表示方法：專用符號：“”。如圖的平行四邊形看表示為：ABCD；讀作：“平行四邊形ABCD”3、平行四邊形的“對邊”是指：互相平行的兩邊；“對角”是指：“開口”相對的兩角。4、平行四邊形的對角線：指兩對角定點的連線。（二）平行四邊形的性質1、平行四邊形的對邊相等，對角相等。2、平行四邊形的對角線互相平分。3、兩平行線之間的距離處處相等。4、平行四邊形是中心對稱圖形。5、S=底×高。（三）平行四邊形的作用1、由定義可以把平行四邊形用于證明兩直線（線段）平行；2、可以用作判定平行四邊形。二、平行四邊形判定（一）判定方法1、從邊看：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。2、從角看：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。3、從對角線看：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（二）平行線之間的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做兩條平行線之間的距離。兩平行線之間的距離處處相等。第19章矩形、菱形、與正方形§19.1矩形一、矩形的性質1、定義：有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、性質：矩形具有平行四邊形的所有性質。（1）矩形的四個角都是直角；（2）矩形的對角線相等且互相平分；（3）矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；（4）S矩形=長×寬。3、直角三角形的一個重要特性：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。二、矩形的判定方法1、有一個角是直角的平行四邊形是矩形；2、對角線相等的平行四邊形是矩形；3、有三個角是直角的四邊形是矩形。§19.2菱形一、菱形性質1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2、性質：菱形具有平行四邊形的所有性質。（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的對角線互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；（3）菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；（4）S菱形=底×高=eq\f(1,2)對角線①×對角線②。二、菱形的判定方法1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、四條邊都相等的四邊形是菱形；3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；4、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。§19.3正方形一、正方形的性質1、定義：（1）有一個內角是直角、一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形；（2）有一個內角是直角的菱形是正方形；（3）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。2、性質：（1）正方形具有平行四邊、矩形和菱形的所有性質；（2）正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；（3）S正方形=邊長2=eq\f(1,2)×對角線2。二、正方形的判定方法。用定義也可判定。1、有一個角是直角的菱形是正方形；2、有一組鄰邊相等的矩形是正方形；3、對角線相等的菱形是正方形；4、對角線互相垂直的矩形值正方形等腰梯形的判定一、一般梯形（一）梯形的有關概念1、定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。2、底邊和腰：平行的兩條對邊叫做梯形的底邊；不平行的兩條對邊叫做梯形的腰。3、底角：梯形的一腰和底邊的夾角叫做梯形的底角。（二）直角梯形1、定義：有一個內角是直角的梯形叫做直角梯形。2、直角腰是直角梯形的高。二、等腰梯形（一）定義與性質1、定義：兩腰學相等的梯形叫做等腰梯形。2、性質：（1）等腰梯形同一底上的兩個底角相等；（2）等腰梯形的兩條對角線相等。（3）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線是它的對稱軸。（二）等腰梯形的判定方法1、兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。3、兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。三、解決梯形問題常用的輔助線（基本思想：化梯形問題為“平行四邊形”和“三角形”問題來解決）（（延長兩腰）（作對角線的平行線）（作一腰的平行線）（作兩條高）四、注意事項：（1）梯形中，若遇到有一個角的為60o或120o，則跟等邊三角形加以聯系；（2）梯形中，若遇到有一個角的為30o或150o，則跟“30o的Rt△”加以聯系；（3）梯形中，若遇到有一個角的為45o或135o，則跟“45o的Rt△”加以聯系；（4）解決梯形問題，一定要注意借助平行四邊形、矩形、菱形、正方形和特殊的三角形知識來解決。第20章數據的整理與初步處理§20.1平均數一、算術平均數的意義1、定義：一般地，我們把n個數…的和與n的比叫做這n個數的算術平均數，簡稱平均數，記作：，讀作x拔。具體算法：=2、平均數的簡化運算當一組數據非常大或非常小，并且有集中在某個數字之間左右晃動時，看采用此方法簡化運算：對于一組數據…，取定一個常數a，把原來數組中的每一個數都減去a后得到一組新數據…，則原數組的平均數就是：=a+eq\f(1,n)(eqx\s(',1)+eqx\s(',2)+eqx\s(',n))\s(',1)\s(',1)3、作用：平均數反映了一組數據的集中趨勢，是表示一組數據的“平均水平”，它的單位與這組數據的單位一致。4、用樣本（部分）估計總體當一組數據的個圖非常多或很難獲得全部數據時，可以從這些數據中抽出部分個體作為樣本進行分析、統計，由此估計總體的特征或信息。二、加權平均數定義和算法：一般說來，如果n個數據中，x1出現f1次，x2出現f2次，…xk出現fk次，且f1+f2+…+fk=n，則這n個數的平均數可表示為=這個叫做加權平均數，數據出現的次數f叫做權，數組中的每個數對應一個權。§20.2數據的集中優勢一、中位數1、定義：將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列后，處在最中間位置的的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。2、求法：（1）對這組數據的n個數進行從小到大的排序；（2）若給出的數據個數為奇數，則第（eq\f(n+1,2)）個數據就是這組數據的中位數；若給出的數據個數為偶數個，則第eq\f(1,n)個和第（eq\f(n+1,2)）個的平均數就是這組數據的中位數。二、眾數1、定義：一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。2、眾數是對各數據出現的頻率的考察，其大小只與這組數據中部分數據有關，當一組數據中有數據多次重復出現時，以至于其他數據的作用顯得相對較小，眾數就可以在某種意義上代表這組數據的集中程度或整體情況。3、一組數據可以有不止一個眾數，也可以沒有眾數。如果一組數據中有幾個數據出現的次數相同，并且比其他數據出現的次數都多，那么這幾個數據都是這組數據的眾數。三、平均數、中位數和眾數的選用平均數、中位數和眾數都是描述一組數據的集中趨勢的特征數，但描述的角度和使用范圍有所不同（1）平均數大小與一組數據里每個數據均有關系，其中任何數據的變動都會相應地引起平均數的變動，所以它極易受個別極端數的影響；（2）中位數僅與數據的排列位置有關，某些數據的變動對中位數沒有影響。中位數可能出現在所給數據中，也可能不在所給數據中，當一組數據中個別數據變動較大時，可以用它來描述其集中趨勢；（3）眾數考察各數據出現的頻率，其大小只與這組數據中部分數據有關，眾數往往是人們尤為關心的一個量，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，其眾數往往更能反映問題。（4）在實際問題中求得的平均數、眾數和中位數都應帶上單位。§20.3數據的離散程度一、極差1、定義：用一組數據中最大值減去最小值所得到的差來反映這組數據的變化范圍的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值。2、極差的特征：極差能反映數據的變化范圍，是最簡單的一種度量數據波動情況的量，但它受極端數據的影響較大。二、方差1、定義：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果通常稱為方差。2、算法：通常用S2表示一組數據的方差，用表示一組數據的平均數，x1、x2、…xn表示各個數據，方差的計算式就是：S2=3、方差的特征：方差反映的了數據的波動大小，用于判定一組數據的穩定性。在實際問題中，例如長得是否整齊、是否穩定等都是波動的體現。方差越大，數據的波動就越大，就越不穩定；方差越小，數據的波動則越小，越穩定。三、標準差1、意義：就是方差的算數平方根，叫做標準差。2、算法與方差同，只是要把方差開方求算數平方根。3、標準差的特征：它與方差一樣，也是反映一組數據的整體波動的指標。樣本的方差或樣本的標準差越大，樣本的數據波動就越大，反之亦然。初中數學要背誦記憶知識點（概念+公式）全考點一、一元一次方程的概念（6分）1、方程含有未知數的等式叫做方程。2、方程的解能使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。3、等式的性質（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式。（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能是零），所得結果仍是等式。4、一元一次方程只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標準形式，a是未知數x的系數，b是常數項。考點二、一元二次方程（6分）1、一元二次方程含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊十一個關于未知數x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。考點三、一元二次方程的解法（10分）1、直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b<0時，方程沒有實數根。2、配方法配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用。配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。考點四、一元二次方程根的判別式（3分）根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即考點五、一元二次方程根與系數的關系（3分）如果方程的兩個實數根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。考點六、分式方程（8分）1、分式方程分母里含有未知數的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是將“分式方程”轉化為“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母（2）解所得的整式方程（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法換元法：換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。考點七、二元一次方程組（8~10分）1、二元一次方程含有兩個未知數，并且未知項的最高次數是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。3、二元一次方程組兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。4二元一次方程組的解使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。5、二元一次方正組的解法（1）代入法（2）加減法6、三元一次方程把含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程。7、三元一次方程組由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組。第四章不等式（組）考點一、不等式的概念（3分）1、不等式用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集對于一個含有未知數的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解。對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。求不等式的解集的過程，叫做解不等式。3、用數軸表示不等式的方法考點二、不等式基本性質（3~5分）1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。考試題型：考點三、一元一次不等式（6~8分）1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數化為1考點四、一元一次不等式組（8分）1、一元一次不等式組的概念幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。當任何數x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。2、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集（2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。5、樣本平均數樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數。6、總體平均數總體中所有個體的平均數叫做總體平均數，在統計中，通常用樣本平均數估計總體平均數。考點三、眾數、中位數（3~5分）1、眾數在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。2、中位數將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。考點四、方差（3分）1、方差的概念在一組數據中，各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差。通常用“”表示，即2、方差的計算（1）基本公式：（2）簡化計算公式（Ⅰ）：也可寫成此公式的記憶方法是：方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方。（3）簡化計算公式（Ⅱ）：當一組數據中的數據較大時，可以依照簡化平均數的計算方法，將每個數據同時減去一個與它們的平均數接近的常數a，得到一組新數據，，…，，那么，此公式的記憶方法是：方差等于新數據平方的平均數減去新數據平均數的平方。（4）新數據法：原數據的方差與新數據，，…，的方差相等，也就是說，根據方差的基本公式，求得的方差就等于原數據的方差。3、標準差方差的算數平方根叫做這組數據的標準差，用“s”表示，即考點五、頻率分布（6分）1、頻率分布的意義在許多問題中，只知道平均數和方差還不夠，還需要知道樣本中數據在各個小范圍所占的比例的大小，這就需要研究如何對一組數據進行整理，以便得到它的頻率分布。2、研究頻率分布的一般步驟及有關概念（1）研究樣本的頻率分布的一般步驟是：①計算極差（最大值與最小值的差）②決定組距與組數③決定分點④列頻率分布表⑤畫頻率分布直方圖（2）頻率分布的有關概念①極差：最大值與最小值的差②頻數：落在各個小組內的數據的個數③頻率：每一小組的頻數與數據總數（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率。考點六、確定事件和隨機事件（3分）1、確定事件必然發生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發生的事件。不可能發生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能的事件。2、隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不放聲的事件，稱為隨機事件。考點七、隨機事件發生的可能性（3分）一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同。對隨機事件發生的可能性的大小，我們利用反復試驗所獲取一定的經驗數據可以預測它們發生機會的大小。要評判一些游戲規則對參與游戲者是否公平，就是看它們發生的可能性是否一樣。所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發生的可能性的大小是否一樣，用數據來說明問題。考點八、概率的意義與表示方法（5~6分）1、概率的意義一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率。2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大寫字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可記為P（A）=P考點九、確定事件和隨機事件的概率之間的關系（3分）1、確定事件概率（1）當A是必然發生的事件時，P（A）=1（2）當A是不可能發生的事件時，P（A）=02、確定事件和隨機事件的概率之間的關系事件發生的可能性越來越小01概率的值不可能發生必然發生事件發生的可能性越來越大考點十、古典概型（3分）1、古典概型的定義某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。2、古典概型的概率的求法一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率為P（A）=考點十一、列表法求概率（10分）1、列表法用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。2、列表法的應用場合當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法。考點十二、樹狀圖法求概率（10分）1、樹狀圖法就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。2、運用樹狀圖法求概率的條件當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。考點十三、利用頻率估計概率（8分）1、利用頻率估計概率在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。2、在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。3、隨機數在隨機事件中，需要用大量重復試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機數。第六章一次函數與反比例函數考點一、平面直角坐標系（3分）1、平面直角坐標系在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。2、點的坐標的概念點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標。考點二、不同位置的點的坐標的特征（3分）1、各象限內點的坐標的特征點P(x,y)在第一象限點P(x,y)在第二象限點P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限2、坐標軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上，x為任意實數點P(x,y)在y軸上，y為任意實數點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。5、關于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征點P與點p’關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數點P與點p’關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數點P與點p’關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數6、點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于考點三、函數及其相關概念（3~8分）1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。2、函數解析式用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數的三種表示法及其優缺點（1）解析法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。（3）圖像法用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。考點四、正比例函數和一次函數（3~10分）1、正比例函數和一次函數的概念一般地，如果（k，b是常數，k0），那么y叫做x的一次函數。特別地，當一次函數中的b為0時，（k為常數，k0）。這時，y叫做x的正比例函數。2、一次函數的圖像所有一次函數的圖像都是一條直線3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：一次函數的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號函數圖像圖像特征k>0b>0y0x圖像經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y0x圖像經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。K<0b>0y0x圖像經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y0x圖像經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。4、正比例函數的性質一般地，正比例函數有下列性質：（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、一次函數的性質一般地，一次函數有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小6、正比例函數和一次函數解析式的確定確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法。考點五、反比例函數（3~10分）1、反比例函數的概念一般地，函數（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。2、反比例函數的圖像反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x0，函數y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。3、反比例函數的性質反比例函數k的符號k>0k<0圖像yOxyOx性質①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內，y隨x的增大而增大。4、反比例函數解析式的確定確定及誒是的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數中反比例系數的幾何意義如下圖，過反比例函數圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。。第七章二次函數考點一、二次函數的概念和圖像（3~8分）1、二次函數的概念一般地，如果，那么y叫做x的二次函數。叫做二次函數的一般式。2、二次函數的圖像二次函數的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。3、二次函數圖像的畫法五點法：（1）先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標軸的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數的圖像。考點二、二次函數的解析式（10~16分）二次函數的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。考點三、二次函數的最值（10分）如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內，若在此范圍內，則當x=時，；若不在此范圍內，則需要考慮函數在范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當時，，當時，；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當時，，當時，。考點四、二次函數的性質（6~14分）1、二次函數的性質函數二次函數圖像a>0a<0y0xy0x性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，2、二次函數中，的含義：表示開口方向：>0時，拋物線開口向上<0時，拋物線開口向下與對稱軸有關：對稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，）3、二次函數與一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點。當>0時，圖像與x軸有兩個交點；當=0時，圖像與x軸有一個交點；當<0時，圖像與x軸沒有交點。補充：1、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）y如圖：點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為A0xB2、函數平移規律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節省做題的時間）左加右減、上加下減第八章圖形的初步認識考點一、直線、射線和線段（3分）1、幾何圖形從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。2、點、線、面、體（1）幾何圖形的組成點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡稱體。（2）點動成線，線動成面，面動成體。3、直線的概念一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。4、射線的概念直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。5、線段的概念直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。6、點、直線、射線和線段的表示在幾何里，我們常用字母表示圖形。一個點可以用一個大寫字母表示。一條直線可以用一個小寫字母表示。一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。注意：（1）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。（2）直線和射線無長度，線段有長度。（3）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。（4）點和直線的位置關系有線面兩種：①點在直線上，或者說直線經過這個點。②點在直線外，或者說直線不經過這個點。7、直線的性質（1）直線公理：經過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點有且只有一條直線。（2）過一點的直線有無數條。（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。（4）直線上有無窮多個點。（5）兩條不同的直線至多有一個公共點。8、線段的性質（1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。（2）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。（3）線段的中點到兩端點的距離相等。（4）線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。9、線段垂直平分線的性質定理及逆定理垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。考點二、角（3分）1、角的相關概念有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。當角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角。如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角。2、角的表示角可以用大寫英文字母、阿拉伯數字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：①用數字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。3、角的度量角的度量有如下規定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。1°=60’=60”4、角的性質（1）角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關。（2）角的大小可以度量，可以比較（3）角可以參與運算。5、角的平分線及其性質一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。角的平分線有下面的性質定理：（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。（2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。考點三、相交線（3分）1、相交線中的角兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補角。臨補角互補，對頂角相等。直線AB，CD與EF相交（或者說兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構成八個角。其中∠1與∠5這兩個角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；∠3與∠5這兩個角都在AB，CD之間，并且在EF的異側，像這樣位置的兩個角叫做內錯角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側在EF的同側，像這樣位置的兩個角叫做同旁內角。2、垂線兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。垂線的性質：性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。性質2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。考點四、平行線（3~8分）1、平行線的概念在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：相交或平行。注意：（1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。（2）當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。2、平行線公理及其推論平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。3、平行線的判定平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。平行線的兩條判定定理：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內錯角相等，兩直線平行。（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么兩直線平行。簡稱：同旁內角互補，兩直線平行。補充平行線的判定方法：（1）平行于同一條直線的兩直線平行。（2）垂直于同一條直線的兩直線平行。（3）平行線的定義。4、平行線的性質（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內角互補。考點五、命題、定理、證明（3~8分）1、命題的概念判斷一件事情的語句，叫做命題。理解：命題的定義包括兩層含義：（1）命題必須是個完整的句子；（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。2、命題的分類（按正確、錯誤與否分）真命題（正確的命題）命題假命題（錯誤的命題）所謂正確的命題就是：如果題設成立，那么結論一定成立的命題。所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論總是成立的命題。3、公理人們在長期實踐中總結出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。4、定理用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。5、證明判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。6、證明的一般步驟（1）根據題意，畫出圖形。（2）根據題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。考點六、投影與視圖（3分）1、投影投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。平行投影：由平行光線（如太陽光線）形成的投影稱為平行投影。中心投影：由同一點發出的光線所形成的投影稱為中心投影。2、視圖當我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。主視圖：在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。俯視圖：在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。左視圖：在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時也叫做側視圖。第九章三角形考點一、三角形（3~8分）1、三角形的概念由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。2、三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。3、三角形的穩定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都制成三角形的形狀。4、三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。5、三角形的分類三角形按邊的關系分類如下：不等邊三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關系分類如下：直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）斜三角形鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）把邊和角聯系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。6、三角形的三邊關系定理及推論（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關系。7、三角形的內角和定理及推論三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。8、三角形的面積三角形的面積=×底×高考點二、全等三角形（3~8分）1、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。2、全等三角形的表示和性質全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）4、全等變換只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉變換。考點三、等腰三角形（8~10分）1、等腰三角形的性質（1）等腰三角形的性質定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性質：①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則<a④等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。等腰三角形的性質與判定等腰三角形性質等腰三角形判定中線1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形角平分線1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三角形；2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形。高線1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形；2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。角等邊對等角等角對等邊邊底的一半<腰長<周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。（2）要會區別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行。數量關系：可以證明線段的倍分關系。常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。第十章四邊形考點一、四邊形的相關概念（3分）1、四邊形在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。2、凸四邊形把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其他個邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形。3、對角線在四邊形中，連接不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線。4、四邊形的不穩定性三角形的三邊如果確定后，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩定性。但是四邊形的四邊確定后，它的形狀不能確定，這就是四邊形所具有的不穩定性，它在生產、生活方面有著廣泛的應用。5、四邊形的內角和定理及外角和定理四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。推論：多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、多邊形的對角線條數的計算公式設多邊形的邊數為n，則多邊形的對角線條數為。考點二、平行四邊形（3~10分）1、平行四邊形的概