第7章扭轉7.1扭轉的概念工程中有些桿件如車床中的主軸、傳動軸,汽車方向盤下的轉向軸AB(圖7-1a)、攻螺紋用絲錐的錐桿(圖7-1b)等,均屬于受扭轉的桿件。圖

7-1它們都有相同的受力特點和變形形式,從而均可抽象為如圖7-2所示的力學模型。由圖可見,它們的受力和變形特點是:在桿件的兩端作用有兩個大小相等、轉向相反,且作用面垂直于桿件的軸線的力偶,致使桿件的任意兩個橫截面發生繞桿軸作相對轉動的變形。這種變形稱為扭轉。扭轉時兩個橫截面相對轉動的角度,稱為扭轉角,一般用φ表示(圖7-2)。以扭轉變形為主的桿件通常稱為軸。截面形狀為圓形的軸稱為圓軸,圓軸在工程上是常見的一種受扭轉的桿件。圖

7-27.2外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖工程中作用于軸上的外力偶矩有時并不直接給出,而往往給出軸的轉速和所傳遞的功率,它們的換算關系為式中,Me為外力偶矩,單位為N·m(牛·米);P為軸傳遞的功率,單位為kW(千瓦);n為軸的轉速,單位為r/min(轉/分)。7.2.1功率、轉速和外力偶矩間的關系對于圖7-3a所示的圓軸,為分析其內力,按截面法,在軸的任一橫截面n—n處假想地把圓軸截開分成左、右兩部分,保留左部分,考慮其平衡。在外力偶矩Me作用下,截面n—n上必有與Me轉向相反的內力偶,設其矩為T(圖7-3b),由平衡條件得

內力偶矩T稱為扭矩。7.2.2外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖扭矩的符號規定如下:按右手螺旋法則,用拇指指向表示T的矢量方向,當扭矩方向與截面的外法線方向一致時定為正號,相反時為負號(圖7-4)。按照這一符號規定,圖7-3b中所示扭矩T為正。當保留右部分時(圖7-3c),所得扭矩的大小、符號與按保留左半部分的計算結果相同。圖

7-4若作用于軸上的外力偶矩多于兩個,則在軸各段的橫截面上,扭矩不盡相同,這時往往用圖線形象地表示截面上扭矩沿軸線變化的情況。如以平行于軸線的坐標表示橫截面的位置,垂直于軸線的坐標表示相應截面上的扭矩,這樣繪成的圖形稱為扭矩圖。圖7-3d為圖7-3a所示軸的扭矩圖。7.3薄壁圓筒的扭轉切應力互等定理剪切胡克定律薄壁圓筒指的是壁厚δ遠小于其平均半徑r0的圓筒(圖7-6a)。當其兩端作用一對大小相等、轉向相反的外力偶矩Me時,即發生扭轉變形。在施加外力偶矩之前,可先在圓筒表面上畫出一系列縱向線和距筒端稍遠處的圓周線。施加外力偶矩Me后,當圓筒產生不大的扭轉角φ(圖7-6c)時,可以觀察到如下現象:7.3.1薄壁圓筒的扭轉切應變的概念圖

7-61)各圓周線形狀、大小和間距均無改變,只是繞軸線相對旋轉了不同的角度。

2)各縱向線均傾斜了同一微小角度γ。

由于圓筒沿縱向和周向均無尺寸改變,且筒沿這兩個方向的變形并未受到約束,故它沿縱向和周向將不會有正應力。若以筒的橫截面及徑向截面從筒中截取微小的直角六面體abcd如圖7-6d所示,則上述角度γ就是此微小直角六面體上原矩形abcd的直角改變量。這種直角改變量稱為切應變。直角六面體發生切應變,在它的側面上必有切應力作用,根據切應變γ的傾斜方位,可以斷定切應力τ的方向與過該點的半徑垂直,其指向順同T的轉向。由于所有縱向線的傾角γ相同,說明沿圓周上各點的切應變相等,因而可知在同一圓周上各點的切應力τ也大小相等。由于筒壁很薄,故可近似地認為切應力沿壁厚均勻分布,如圖7-6e所示。在橫截面上取一微面積dA=δr0dθ,則作用在其上的微內力為τdA(圖7-6e)。由靜力分析可知,在整個截面上所有這些微內力矩之和即為截面上的扭矩T,即得薄壁圓筒截面上切應力的計算公式為從幾何關系可得式中,φ為筒兩端面的扭轉角;δ、r、r0、L的含義見圖7-6a。將圖7-6d中微小直角六面體尺寸取為ab=dy,bc=dx,厚度用dz表示,即如圖7-7所示。稱該微小直角六面體為單元體。圖

7-77.3.2切應力互等定理由力偶的平衡條件可得τ'=τ(7-4)

此式表明,通過物體內一點處兩個互相垂直的截面上垂直于兩截面交線的切應力,必然數值相等,其方向均指向或背離此交線。這一關系稱為切應力互等定理。

圖7-7所示單元體的四個側面上,只有切應力而無正應力,這種情況稱為純剪切應力狀態。切應力互等定理雖然是以純剪切的情況證明的,但是當單元體上同時存在正應力時,仍然成立,它是具有普遍意義的。從薄壁圓筒的扭轉試驗可以得到與拉伸圖相似的T-φ圖(圖7-8),其中有一部分是直線,利用式(7-2)、式(7-3)即可以從此圖得到切應力τ與切應變γ間的關系圖線(圖7-9),其中,直線部分說明τ與γ成正比,即有τ=Gγ(7-5)7.3.3剪切胡克定律圖

7-8圖

7-9這一關系稱為剪切胡克定律。式中,比例常數G稱為材料的切變模量,它反映了材料抵抗剪切變形的能力。G值也隨材料而異,可由試驗測定。G和E的單位和量綱相同。圖7-9中直線部分最高點的切應力值稱為剪切比例極限,用τp表示,其值也隨材料而不同,需由試驗測定。當切應力超過這一極限值時,式(7-5)所表達的關系不再成立。7.4圓軸扭轉時的應力和變形1.幾何方面圖

7-10如果認為軸內變形與其表面變形相似,那么可以假定:變形后橫截面仍保持平面,其形狀、大小與間距均不改變,半徑仍為直線,此假設稱為圓軸扭轉的平面假設。7.4.1圓軸扭轉時橫截面上的應力根據上述假設,若用相距dx的兩個橫截面以及夾角無限小的兩個徑向截面從軸中切取一楔形體O1O2ABCD(圖7-11a)則其變形如圖7-11b所示,軸表面矩形ABCD變為平行四邊形ABC'D',距軸線ρ處的矩形abcd變為平行四邊形abc'd',即均產生剪切變形。圖

7-11設所切楔形體左、右兩截面間相對轉角即扭轉角為dφ(∠DO2D'),矩形abcd的切應變為γρ∠dad',則由圖中可以看出或式中,代表扭轉角沿桿軸的變化率。對于同一截面,

為常數,可見切應變γρ與ρ成正比。2.物理方面

由剪切胡克定律可知,在線彈性范圍內τ=Gγ將式(a)代入上式,得橫截面上半徑為ρ處的切應力為其方向則垂直于半徑(圖7-11c),因為剪切變形發生在垂直于半徑的平面內。式(b)表明:圓軸橫截面上的扭轉切應力τρ與到軸心的距離ρ成正比,即切應力大小沿半徑方向按直線規律變化;在離圓心等遠的各點處,切應力值均相等。實心圓截面軸和空心圓截面軸的扭轉切應力分布情況分別如圖7-12a和圖7-12b所示。圖

7-123.靜力學方面圖

7-13如圖7-13所示,在距圓心ρ處的微面積dA上作用微剪力τρdA,它對圓心的微力矩為ρτρdA。在整個橫截面上,所有這些微力矩之和應該等于該截面上的扭矩T,因此將式(b)代入上式,并令則由此得

此即圓軸扭轉變形的基本公式。式中,Ip稱為圓截面的極慣性矩,它是一個只與橫截面幾何尺寸有關的量。式(7-8)為圓軸扭轉時,橫截面上任意一點處切應力計算公式。Wt稱為抗扭截面系數,是一個僅與橫截面幾何尺寸有關的量。圓軸的最大扭轉切應力從式(7-7)得當兩橫截面間扭矩T為常量,且軸為同一材料等截面圓軸時,對上式沿x軸積分即為上式所求扭轉角φ的單位為弧度。由上式可見GIp越大,在同樣扭矩作用下,扭轉角φ越小,所以稱GIp為圓軸的抗扭剛度。7.4.2圓軸扭轉時的變形計算實心圓截面軸Ip的量綱為L4,Wt的量綱為L3。7.4.3極慣性矩與抗扭截面系數7.5圓軸扭轉時的強度和剛度計算為保證軸安全地工作,要求軸內最大切應力必須小于材料的許用扭轉切應力[τ],因此圓軸扭轉的強度條件為7.5.1強度計算式中的許用扭轉切應力[τ],是根據扭轉試驗并考慮適當的安全因數確定的。它與許用拉應力有如下的近似關系:對于塑性材料

[τ]=(0.5~0.6)[σt]對于脆性材料

[τ]=(0.8~1.0)[σt]由式(7-7)有為保證軸的剛度,通常規定單位長度扭轉角的最大值φ'max不能超過許用單位長度扭轉角[φ'],即式(7-16)稱為扭轉剛度條件,式中,φ'的單位為rad/m(弧度/米)。7.5.2剛度計算7.6非圓截面桿扭轉簡介

實驗表明,非圓截面桿受扭后橫截面已不再保持平面,而變成了曲面,這一現象稱為截面翹曲,如圖7-17b所示為矩形截面桿(圖7-17a)受扭后的變形情況。圖

7-17經研究表明:矩形截面桿扭轉時橫截面上切應力分布規律如圖7-17c所示。在圖中畫出了沿橫截面邊緣和對稱軸上的切應力分布情況。從圖上可見,截面邊緣各點處的切應力的方向均平行于周邊(或與周邊相切);角點和中心處切應力為零,最大切應力τmax發生在長邊中點A處;在短邊中點B處的切應力也有相當大的數值。其計算公式如下:最大切應力短邊中點處的切應力單位長度扭轉角式中,αhb2為矩形截面的抗扭截面系數;βhb3為矩形截面的相當極慣性矩;h、b分別為長邊和短邊的長度；α、β、γ為與截面尺寸有關的因數,其值與邊長比h/b有關,可從表7-1中查得。1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0∞α0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.333β0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333γ1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743表7-1

矩形截面桿扭轉時的因數α、β、γ第8章彎曲內力8.1對稱彎曲的概念梁的計算簡圖

在工程中常遇到這樣的直桿,其所受的外力是作用線垂直于桿軸線的橫向力(包括力偶)所組成的平衡力系。在這樣的受力情況下桿的任意兩橫截面繞垂直于桿軸線的橫向軸作相對轉動,同時桿的軸線彎成曲線。桿件的這種變形形式稱為彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。8.1.1對稱彎曲的概念工程中常見的梁,例如車軸(圖8-1)、起重機大梁(圖8-2)等,它們具有共同的特點,梁的橫截面至少具有一個對稱軸,即梁有一個縱向對稱面,梁上外力都在此對稱面內(圖8-3)。梁變形時,其軸線彎成在此對稱面內的平面曲線。這種彎曲稱為對稱彎曲。圖

8-1圖

8-3圖

8-2在對梁進行計算前,需將實際的梁及其載荷、支座進行簡化。通常用梁的軸線代表梁;梁上的載荷一般可簡化成三種類型:集中載荷(圖8-4a),集中力偶(圖8-4b)及分布載荷(圖8-4c、d);對于梁的支座則應根據它對支座處梁的橫截面的約束情況加以簡化。8.1.2梁的計算簡圖圖

8-4a)集中載荷b)集中力偶c)均布載荷d)線性分布載荷當載荷是平面力系時,通常將支座簡化成以下三種基本形式:圖

8-51)固定鉸支座

如圖8-5a所示。它能阻止梁在支座處的截面沿任何方向的線位移,但不能阻止其繞橫向軸的轉動。因此,這種約束可以用兩個約束力表示,如沿梁軸線方向和垂直于軸線的兩個約束力。2)活動鉸支座

如圖8-5b所示。它只能阻止梁在支座處的截面沿梁的橫向移動,但不能阻止其沿縱向的移動和繞橫向軸的轉動。因此,這種約束只有一個橫向約束力。3)固定端

如圖8-5c所示,它使梁在固定端的截面既不能作任何移動,又不能作轉動。因此,這種約束有三個約束力,即沿縱向和橫向的兩個約束力和一個約束力偶。根據上述分析,車軸和起重機大梁的計算簡圖分別如圖8-1b、圖8-2b所示。工程中常見的靜定梁如圖8-6a、b、c所示,它們分別稱為簡支梁、外伸梁和懸臂梁。它們都可用平面力系的三個平衡方程求出其三個未知約束力。圖

8-6有時為了工程上的需要,可設置較多的支座(圖8-6d、e),從而使梁的約束力數目多于獨立的平衡方程數目,這樣就不能單憑靜力平衡方程求出全部約束力。這種梁稱為超靜定梁。

梁在兩支座間的部分稱為跨,其長度稱為梁的跨度。8.2剪力和彎矩現以受集中載荷作用的簡支梁(圖8-7a)為例,來說明梁在外力作用下所產生的內力和內力的計算。先用平衡方程

和

分別求得約束力為和其指向如圖8-7a中所示。圖

8-7計算梁的內力時,仍用截面法。例如在求距離左支座A為x的橫截面m—m上的內力時,沿該截面假想地將梁截分為Ⅰ、Ⅱ兩段(圖8-7b、c)。現先研究Ⅰ段梁(圖8-7b)的平衡。由平衡方程可得這種沿著橫截面的內力稱為剪力。由于剪力FS與外力FA構成力偶,顯然,為了使此段梁保持平衡,在截面m—m上必然還有一內力偶,此內力偶的矩用M表示。以截面m—m的形心C為矩心,由平衡方程可得這種位于與橫截面垂直的平面內的內力偶矩稱為彎矩。

由作用與反作用原理可知,Ⅱ段梁在截面m—m上必然也存在有剪力和彎矩,其數值與前述相同,但其方向均相反(圖8-7c)。這一結論也可從Ⅱ段梁的平衡方程得到。為了使從截開后的兩段梁所求得的同一截面上的剪力和彎矩具有相同的正、負號,與拉、壓、扭轉類似,按變形情況來規定它們的正、負。為此,自梁內取出dx微段,剪力以使微段發生左端向上和右端向下的錯動時為正(圖8-8a),反之為負(圖8-8b);彎矩以使微段發生上凹下凸的彎曲時為正(圖8-8c),反之為負(圖8-8d)。按照上述規定,圖8-7b、c中所示的剪力和彎矩都是正的。圖

8-88.3剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力和彎矩隨橫截面位置的變化情況可用函數來表示。FS=FS(x),

M=M(x)分別稱為剪力方程和彎矩方程。將上述方程用圖形來表示剪力和彎矩沿梁軸的變化最為方便。作圖時常按選定的比例尺,以橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標,以剪力或彎矩為縱坐標。這樣繪出的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。通常將正值的剪力或彎矩畫在橫軸的上方,負值的畫在下方。8.4彎矩、剪力與分布載荷集度之間的關系圖8-15a所示的梁上作用有任意的分布載荷q(x),規定載荷向上時為正,并將坐標原點取在梁的左端,由梁中截取長度為dx的微段(圖8-15b)來研究。圖

8-15此微段梁上的載荷集度q(x)可認為是不變的。設微段左邊截面上的剪力和彎矩分別為FS(x)和M(x),且均為正號;則右邊截面上的剪力和彎矩將分別為FS(x)+dFS(x)和M(x)+dM(x),考慮dx段的平衡得略去二階微量后可得由式(8-1)和式(8-2)還可得到上述三式即是直梁的彎矩、剪力與分布載荷集度之間普遍存在的關系。從微分學可知以上各式所具有的幾何意義:式(8-1)說明了剪力圖上某點處的斜率與梁上相應截面處的載荷集度相等;式(8-2)說明了彎矩圖上某點處的斜率與梁上相應截面上的剪力相等;從式(8-3)可知,q(x)的正、負號與彎矩圖上曲率的正、負號相同。根據上述性質,可得出如下一些規律:(1)梁上某段無分布載荷時,則該段剪力圖為水平線,彎矩圖為斜直線。如剪力圖是正號,則彎矩圖遞增(↗);如剪力圖是負號,則彎矩圖遞減(↘);如剪力圖為零,則彎矩圖為水平線。(2)梁上某段有向下的均布載荷時,則該段剪力圖為遞減斜直線(↘),彎矩圖為向上凸的二次拋物線(⌒);當有向上的均布載荷時,則剪力圖為遞增斜直線(↗),彎矩圖為向下凸的二次拋物線(⌒)。(3)在集中力F作用處,剪力圖有突變(突變值等于集中力F),彎矩圖有折角。在集中力偶Me作用處,剪力圖無變化,彎矩圖有突變(突變值等于力偶矩Me)。(4)某截面FS=0,則在該截面彎矩取極值。(5)|M|max不但可能發生在FS=0的截面上,也可能發生在集中力作用處或集中力偶作用處的兩側截面上。利用上述規律可以簡捷地繪制和校核剪力圖和彎矩圖。第9章彎曲應力9.1梁橫截面上的正應力現在研究梁橫截面上的應力。先討論橫截面上只有彎矩而沒有剪力的梁。這種情況下的彎曲稱為純彎曲。例如圖9-1所示簡支梁的CD段就屬于純彎曲情況。此時梁的各截面上的彎矩相等。由于只有與正應力相應的法向分布內力才能合成與彎矩相應的內力偶,故在純彎曲時梁橫截面上只可能有正應力。分析在純彎曲時梁橫截面上正應力只用靜力學條件解決不了,因此,所研究的問題是超靜定的,需先通過實驗來研究梁的變形。取一矩形截面梁,在梁的表面畫上橫向線mm,nn和縱向線aa,bb。在梁兩端施加一對作用在梁的縱向對稱面內的外力偶Me,使此梁發生純彎曲,如圖9-2,則可觀察到以下現象:(1)橫向線mm,nn仍然是直線,但彼此相對轉動了一個角度,仍垂直于彎曲后的縱線。(2)縱向線由直線變成曲線,且靠近頂面的aa線縮短,靠近底面的bb線伸長。9.1.1實驗根據所觀察到的梁表面的變形現象,可以對梁內部的變形情況作出如下假設:圖9-3梁的所有橫截面在變形過程中要發生轉動,但仍保持為平面,并且和變形后的梁軸線垂直。這就是梁的平面假設。可以設想梁是由無數縱向纖維所組成,彎曲變形后,梁的上層纖維縮短,下層纖維伸長,因為材料是連續的,所以中間必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,這一層稱為中性層,中性層與橫截面的交線稱為中性軸。由于外力偶作用在梁的縱向對稱面內,故梁在變形后的形狀也應對稱于此平面,因此,中性軸必然垂直于橫截面的對稱軸(圖9-3)。梁變形時,橫截面是繞中性軸轉動的。9.1.2假設現在來推導純彎曲時梁的正應力公式。與推導扭轉切應力公式相似,也需綜合幾何、物理和靜力學三方面來解決。1.變形幾何方面

純彎曲時梁的縱向纖維由直線彎成圓弧,如圖9-2b所示。相距為dx的兩相鄰截面m—m、n—n延長交于C點,C即為曲率中心,中性層的曲率半徑以ρ表示,兩平面間的夾角以dθ表示。現求距中性層為y處的bb纖維的線應變。該纖維變形后的長度為(ρ+y)dθ,原長為。故bb纖維的線應變ε為2.物理方面

假設各縱向纖維間無擠壓,即各縱向纖維只有軸向拉伸或壓縮的變形。于是在正應力不超過比例極限時,由胡克定律知對于指定橫截面,E/ρ為常數,式(b)就反映了橫截面上正應力的分布規律。由此式可知,橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比,而在距中性軸等遠的同一橫線上各點處的正應力相等,如圖9-4所示。9.1.3梁橫截面上的正應力3.靜力學方面

上面雖已找到應力分布規律,但還不能直接按式(b)計算彎曲正應力,這是因為曲率半徑ρ以及中性軸的位置均未確定。這可以從靜力學方面來解決。純彎曲時梁橫截面上僅有正應力(圖9-5)。取橫截面對稱軸為y軸,中性軸取為z軸,過y、z交點與桿縱線平行的線取為x軸。在坐標(y,z)處取一微面積dA,dA上作用著微內力σdA。整個橫截面上所有這樣的微內力構成空間平行力系,故可能組成三個內力分量:軸力FN和繞y、z軸之矩My、Mz。從截面法可知,在圖9-4所示純彎曲情況下,任意截面上FN和My都等于零,而Mz的矩就是橫截面上的彎矩M。于是得

FN=∫AσdA=0(c)

My=∫Az

σdA=0(d)

Mz=∫Ay

σdA=M(e)首先討論式(c)所表達的物理意義。將式(b)的關系代入式(c),得又因E/ρ不可能等于零,故必須有∫AydA=0(f)此式表明整個橫截面對于z軸的靜矩Sz等于零,由附錄A.1中可知,中性軸z必然通過橫截面的形心。這樣,就確定了中性軸的位置。其次,討論式(d),將式(b)的關系代入式(d),得同樣,因E/ρ不可能等于零,故必須有∫AyzdA=0(h)式(h)表明整個橫截面對y、z這一對軸的慣性積Iyz應等于零。因為y軸是對稱軸,故由附錄A.2中有關結論可知,式(h)是自動滿足的,因而式(g)也就自動滿足。

最后將式(b)的關系代入式(e),得由此得此式是用曲率表示的梁軸線的彎曲變形公式,它是彎曲理論的基本公式。式中,EIz稱為梁的抗彎剛度,它反映了梁抵抗彎曲變形的能力。由上式即可確定中性層的曲率。以式(9-1)代入式(b),最后求得這就是梁橫截面上的正應力公式。式中,M為橫截面的彎矩;y為欲求應力點至中性軸的距離;Iz為橫截面對中性軸的慣性矩。在式(9-2)中,對于正應力是拉應力還是壓應力雖可以從M及y坐標的正、負號來確定,但從梁的變形情況來判斷更為簡便:當彎矩為正時,中性層以下部分纖維伸長,故產生拉應力;中性層以上部分纖維縮短而產生壓應力。彎矩為負時,則與上相反。顯然,在用這一方法判定正應力是拉或壓時,只須將M及y的絕對值代入式(9-2)即可。(1)式(9-1)和式(9-2)只適用于梁的材料符合胡克定律,且其拉伸和壓縮時的彈性模量相等的情況。為了滿足前一個條件,梁內的最大正應力值應不超過材料的比例極限。(2)式(9-1)和式(9-2)雖然是以矩形截面梁為例導出的,但在推導過程中,并未用到矩形截面的特殊性質。凡是具有縱向對稱面的對稱彎曲的梁,都能滿足推導過程的各項要求。因此,上兩式對于所有橫截面存在對稱軸的對稱彎曲的梁都是適用的。(3)式(9-1)和式(9-2)是在純彎曲的前提下導出的。工程中更常見的彎曲問題多為橫力彎曲,即這時梁的橫截面上不僅有彎矩,一般來說還有剪力。同時,由于橫向力的作用,還使梁的縱向纖維之間發生擠壓。這些都與推導公式的前提相矛盾。但是精確的分析表明,對于細長的梁,即梁的跨長與截面高度之比l/h>5時,應用純彎曲時的公式計算梁橫截面上的正應力,還是相當精確的。但應注意,此時應用ρ(x)與M(x)來代替公式中的ρ和M。9.1.4公式的適用范圍由式(9-2)知等截面梁的最大正應力發生在最大彎矩截面的上、下邊緣處,故其中式中,Wz稱為抗彎截面系數,其值只與截面的幾何形狀和尺寸有關。對矩形截面(圖9-6a):對圓形截面(圖9-6b):對于各類型鋼,其抗彎截面系數可以從型鋼規格表查得。彎曲時正應力的強度條件是9.2彎曲正應力的強度條件及其應用對于拉伸許用應力[σt]和壓縮許用應力[σc]不同的材料制成的梁應分別按最大拉應力和最大壓應力建立其強度條件,即σt,max≤[σt],

σc,max≤[σc](9-6)第10章彎曲變形與簡單超靜定梁10.1梁的變形和位移梁在載荷作用下,即使具有足夠的強度,如果其變形過大,也可能影響梁的正常工作。例如:齒輪傳動軸的變形過大,會影響齒輪的嚙合(圖10-1);起重機大梁的變形過大,會在起重機行駛時發生劇烈的振動等。因此,對梁的變形有時需要加以限制,使它滿足剛度的要求。與上述情況相反,有時則要利用梁的變形來達到一定的目的。有些機械零件,例如車輛上的疊板彈簧,就是利用它的變形來減輕撞擊和振動的影響的。此外,在求解超靜定梁時,必須考慮梁的已知變形條件才能求解。為了解決上述問題,需要研究梁的變形。本章將只研究對稱彎曲下梁的變形,并主要限于等直梁的情況。首先說明工程計算中如何度量梁的變形。梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。由于工程中梁的變形大都屬于彈性變形,故撓曲線又稱為彈性曲線。對于對稱彎曲下的梁,其撓曲線是一條在外力作用平面內的光滑連續的平面曲線(圖10-2)。梁變形時,軸線上的點即橫截面的形心將產生線位移。由于工程中梁的變形一般都很小,撓曲線為一平坦的曲線,因而此位移沿變形前梁軸線方向的分量與其鉛垂方向分量相比很小,可以忽略不計。這樣就可認為梁軸線上點的線位移垂直于梁變形前的軸線,此線位移稱為該點的撓度。例如圖10-2中的CC'為梁變形前軸線上C點的撓度。由平面假設可知,梁的橫截面在梁變形后仍保持為平面,它繞中性軸發生轉動,但仍垂直于梁變形后的軸線即撓曲線。這說明梁變形時,除了橫截面形心有線位移外,橫截面本身還有角位移,此角位移稱為橫截面的轉角。例如圖10-2中的θC為橫截面C的轉角。轉角和撓度這兩種位移都能反映梁彎曲變形的大小,故工程計算中就用它們來度量梁的變形。撓度的常用單位是mm(毫米),轉角的單位是rad(弧度)。為了描述梁的撓度和轉角,須選用一定的坐標系統。一般將坐標原點取在梁的左端,并取梁變形前的軸線為x軸,與它垂直且在撓曲線所在平面內的軸為w軸,它們分別以向右和向上為正向(圖10-2)。于是,梁的撓曲線可以用函數w=f(x)(a)來表示。它表示了梁變形前軸線上任一點的橫坐標x與該點撓度w之間的關系,通常稱為撓曲線方程。由幾何學原理及轉角定義可知,距原點為x處的橫截面的轉角就等于撓曲線在同一x坐標處切線的傾角(例如圖10-2中的θC),而此傾角的正切與撓曲線函數有下述關系因為撓曲線為一平坦的曲線,θ值很小,故有tanθ≈θ(c)由式(b)、式(c)兩式可見,梁橫截面的轉角應為式(d)表明轉角θ可以足夠精確地從撓曲線方程(a)對x求一次導數得到。它表示梁橫截面位置的x與該截面的轉角θ之間的關系,通常稱為轉角方程。在圖10-2所示的坐標系統中,撓度w以向上為正,向下為負;轉角θ則以逆時針轉向為正,順時針轉向為負。為了具體求得梁的撓曲線方程和轉角方程,還必須建立梁的變形與載荷之間的物理關系。在上一章中已經得到了梁在純彎曲情況下和線彈性范圍內用曲率表示的梁軸線的彎曲變形公式,即由于式中的彎矩M等于外力偶矩Me,故結合梁的撓曲線的定義可知,此公式實際上是以曲率表達了梁的撓曲線與載荷之間的關系。在橫力彎曲情況下,梁的橫截面上除了有彎矩,還有剪力,后者會使梁產生附加的彎曲變形。由于對常見的細長梁來說,這種附加的彎曲變形可以忽略不計,故上式仍可應用于橫力彎曲。但應注意,此時彎矩和曲率半徑ρ都是x的函數,即式中,彎矩M(x)是梁任一橫截面上的彎矩表達式,它是由梁上載荷表示的。為了從上式建立彎矩與撓度、轉角之間的關系,必須先將曲率與撓度、轉角10.2梁的撓曲線近似微分方程及其積分聯系起來。由微分學可知,平面曲線上任一點的曲率為將式(b)的關系代入式(a),可得上式是二階非線性微分方程。在平坦的撓曲線中,轉角θ=是個很小的量,故()2與1相比就可以忽略不計,于是式(c)可簡化為現在討論式(d)中正、負號的選擇問題。式中的的正、負號應根據彎矩正、負號規定與選定的坐標系來確定。由圖10-3a可見,當彎矩為正值時,撓曲線為凹向,其二階微分亦為正值;由圖10-3b可見,當彎矩為負值時,撓曲線為凸向,其二階微分為負值。由此可見,對于所選定的坐標系,M與恒為同號。顯然在式(d)中應取正號。于是得通常稱此式為梁的撓曲線近似微分方程。根據公式(10-1a),即可進一步計算梁的撓度和轉角。下面就等直梁的情況來介紹用積分運算的過程。對于等直梁,EIz為常量,公式(10-1a)也可改寫為還可由上節中的式(d)和此式得將上式兩邊各乘以dx,然后積分一次,可得EIzθ=∫M(x)dx+C(10-2a)將θ=代入上式,再積分一次,即得EIzw=∫[∫M(x)dx]dx+Cx+D(10-2b)上面兩式中的積分常數C、D可以通過梁上的已知位移(撓度或轉角)條件來確定。這種已知條件稱為梁的邊界條件。例如梁在固定端處的撓度和橫截面的轉角都等于零,在鉸支座截面處的撓度等于零。積分常數確定以后,將它們代入式(10-2a)和式(10-2b),即分別得到梁的轉角方程和撓曲線方程。于是可進一步確定梁上任一橫截面的轉角和軸線上任一點的撓度。工程中對于梁在指定截面處的撓度常用f表示。從上節幾個例題可以看出,梁的轉角方程和撓度方程是梁上載荷的線性齊次函數,這是由于梁的變形通常很小,梁變形后,仍可按原始尺寸進行計算,而且梁的材料符合胡克定律。在此情況下,當梁上同時有幾個載荷作用時,由每一個載荷所引起的轉角和撓度不受其他載荷的影響。這樣,就可應用疊加法。用疊加法求梁的轉角和撓度的過程是:先分別計算每個載荷單獨作用下所引起的轉角和撓度,然后分別求它們的代數和,即得這些載荷共同作用時梁的轉角和撓度。疊加法雖然不是一個獨立的方法,但它對于計算幾個載荷作用下梁指定截面的轉角或指定點的撓度是比較簡便的。為了便于應用,表10-1中節錄了簡單載荷作用下梁的轉角和撓度。10.3疊加法求梁的轉角和撓度前已指出,為了保證梁能正常工作,除了應使其滿足強度要求外,有時還應使它滿足剛度要求。這就要求梁的最大撓度值wmax或最大轉角值θmax或某一指定截面的轉角值不得超過它們的許用值[w]、[θ],即wmax≤[w](10-3)或θmax≤[θ](10-4)上面兩式即梁的剛度條件。在各類工程中,根據梁的工作要求,在設計規范中對[w]或[θ]一般都有具體的規定。例如:吊車大梁的許用撓度[w]=(~)L,L為梁的跨度;齒輪軸在裝齒輪處的許用轉角[θ]=0.001rad。在工程計算中,一般是根據強度條件選擇梁的截面,然后再對梁進行剛度校核。10.4梁的剛度校核提高梁剛度的一些措施10.4.1梁的剛度校核當梁的剛度不足時,可以根據影響梁變形大小的各有關因素,采取如下一些措施來提高梁的剛度。1.增大梁的抗彎剛度梁的抗彎剛度包含橫截面的慣性矩Iz和材料的彈性模量E兩個因素,下面對它們分別進行討論。梁的變形與橫截面的慣性矩成反比,故增大慣性矩可以提高梁的剛度,例如可采用工字形、箱形、環形等合理截面。這與提高梁的強度的辦法是類似的。但兩者也有區別。為了提高梁的強度,可以將梁的局部截面的慣性矩增大,即采用變截面梁;但這對提高梁的剛度則收效不大。這是因為梁的最大正應力只決定于最大彎矩所在的截面的大小,而梁在任一指定截面處的位移則與全梁的變形大小有關。因此,為了提高梁的剛度,必須使全梁的變形減小,因而應增大全梁或較大部分梁的截面慣性矩才能達到目的。梁的變形還與材料的彈性模量E成反比。采用E值較大的材料可以提高梁的剛度。但必須注意,在常用的鋼梁中,為了提高強度可以采用高強度合金鋼,而為了提高剛度,采取這種措施就沒有什么意義。這是因為與普通碳素鋼相比,高強度合金鋼的許用應力值雖較大,10.4.2提高梁剛度的一些措施但彈性模量E值則是比較接近的。2.調整跨度梁的轉角和撓度與梁的跨度的n次方成正比,跨度減小時,轉角和撓度就會有更大程度的減小。例如均布載荷作用下的簡支梁,其最大撓度與跨度的四次方成正比,當其跨度減小為原跨度的1/2時,則最大撓度將減小為原撓度的1/16。故減小跨度是提高梁的剛度的一種有效措施。在有些情況下,可以增設梁的中間支座,以減小梁的跨度,從而可顯著地減小梁的撓度。但這樣就使梁成為超靜定梁。圖10-10a、b分別畫出了均布載荷作用下的簡支梁與三支點的超靜定梁的撓曲線大致形狀,可以看出后者的撓度遠較前者為小。在有可能時,還可將簡支梁改為兩端外伸的梁。這樣,既減小了跨度,而且外伸端的自重與兩支座間向下的載荷將分別使軸線上每一點產生相反方向的撓度(圖10-11a、b),從而相互抵消一部分。這也就提高了梁的剛度。例如橋式起重機的桁架鋼梁就常采用這種結構形式(圖10-11c),以達到上述效果。超靜定梁與靜定梁相比,支座增多了,相應的約束也就增多了。這種增多的約束也就是多余約束。相應的力稱為多余約束力。通常把具有幾個多余約束的梁稱為幾次超靜定梁。圖10-12a、b中的梁均為一次超靜定梁,圖10-12c、d所示的梁分別為二次和三次超靜定梁。為了求得超靜定梁的全部約束力,與求解拉壓超靜定問題類似,需要綜合考慮梁的變形、物理和靜力學三個方面。約束力求得以后,其余的計算與靜定梁的完全相同。下面以圖10-13a所示的等直梁為例,說明超靜定梁的解法。此梁具有一個多余約束,故為一次超靜定梁。假設支座B為多余約束,并設想將它去掉,而代之以未知的多余約束力FB。這樣就得到受均布載荷和多余約束力FB作用的懸臂梁(圖10-13b)。這種去除多余約束后,受原來的載荷及多余約束力作用的靜定梁稱為原超靜定梁的相當系統。要使相當系統與原超靜定梁完全一致,就必須使它們兩者的變形情況相同。由于原超靜定梁在多余約束B處10.5簡單超靜定梁的解法與約束情況相協調的變形條件是該處的撓度等于零,故懸臂梁在B點處的撓度也應等于零,即wB=0(a)上述懸臂梁B點處的撓度wB可以采用疊加法計算。以wBq和分別表示均布載荷和FB單獨作用時B點的撓度(圖10-13c、d),則將式(b)的關系代入式(a),得這就是本問題的變形幾何方程,式中的wBq和可以由表10-1求得為式(d)、式(e)兩式就是本問題的物理關系。將它們代入式(c),即得補充方程為

由此式可解得多余約束力為多余約束力求得以后,其余的約束力FA和MeA(圖10-14a)即可在相當系統上按靜力平衡方程求得為各個約束力求得以后,即可作梁的剪力圖和彎矩圖(圖10-14b、c),并進一步求最大應力。至于變形的計算也應在相當系統上進行,這與前面對靜定梁的變形計算完全相同。應該指出,在超靜定梁中,多余約束是可以任意選取的,其原則是便于求解。對于同一超靜定梁,如果選取的多余約束不同,則相應的相當系統、變形幾何方程和補充方程也隨之不同,但解得的全部約束力則是相同的。例如對上述超靜定梁,也可以選取A端阻止轉動的約束為多余約束,其相應的多余支座約束力為固定端的約束力偶MeA。將此約束去除后,其相當系統為如圖10-15所示的簡支梁。根據原超靜定梁A端橫截面轉角θA=0這一變形條件,即可進而建立補充方程以求解MeA。建議讀者按此自行算出全部結果。以上解題的方法步驟也適用于解二次超靜定梁。此時可建立兩個變形幾何方程,因而補充方程也就有兩個。這樣,解多余約束力時就需解二元一次聯立方程組。對于三次以上的超靜定梁若仍用上述方法求解,則將不夠簡便,此時就宜采用其他方法。第11章應力狀態和強度理論11.1應力狀態的概念前面研究了軸向拉伸(或壓縮)、扭轉、彎曲等基本變形構件的強度問題,這些構件的危險點處于單向拉(壓)或純剪切的應力狀態,因此,建立了相應的強度條件然而在實際工程問題中,許多構件的危險點處于復雜的受力狀態。例如礦山牙輪鉆的鉆桿就同時存在扭轉和壓縮變形,這時桿橫截面上危險點處不僅有正應力σ,還有切應力τ。對于這類構件,是否可以仍用上述強度條件分別對正應力和切應力進行強度計算呢?實踐證明,這將導致錯誤的結果。因為在危險點處的正應力和切應力并不是分別對構件起破壞作用,而是有所聯系的,因而應考慮它們的綜合影響。為此促使人們聯系到構件的破壞現象。事實上,拉壓、扭轉、彎曲等基本變形情況下的構件,并不都是沿構件的橫截面破壞的。例如,在拉伸試驗中,低碳鋼屈服時在與試件軸線成45°的方向出現滑移線;鑄鐵壓縮時,試件沿與軸線成接近45°的斜截面破壞。這表明構件的破壞還與斜截面上的應力有關。因此為分析各種破壞現象,建立組合變形下構件的強度條件,還必須研究構件各個不同斜截面上的應力,對于應力非均勻分布的構件,則必須研究危險點處的應力狀態。所謂一點的應力狀態,就是通過受力構件內某一點的各個截面上應力情況。由于構件內的應力分布一般是不均勻的,所以在分析各個不同方向截面上的應力時,不宜截取構件的整個截面來研究,而是圍繞構件中的危險點截取一單元體來分析,以此來反映一點的應力狀態。例如,螺旋槳軸工作時既受拉、又受扭(圖11-1a),若圍繞軸表面上一點用縱、橫截面截取單元體,其應力情況如圖11-1b所示,即處于正應力和切應力的共同作用下;又如,在導軌和車輪的接觸處(圖11-2a),單元體A除在垂直方向直接受壓外,由于其橫向變形受到周圍材料的阻礙,因而側向也受到壓力作用,即單元體A處于三向受壓狀態。顯然,要解決這類構件的強度問題,除應全面研究危險點處各截面的應力外,還應研究材料在復雜應力作用下的破壞規律。前者為應力狀態理論的任務,后者則為強度理論所要研究的問題。由于單元體的邊長均為無窮小量,因而,當圍繞一點所取單元體各截面應力均已知時,則該點處的應力狀態亦完全確定。在一般情況下,構件處于平衡狀態,在構件中所取的單元體顯然也滿足平衡條件。因此,可利用靜力平衡條件來分析單元體各個平面上的應力。應力狀態的類型有多種,其中較常見的是所謂平面應力狀態。以前我們介紹過的純剪切應力狀態和圖11-1b所示單元體都是平面應力狀態。平面應力狀態的一般形式如圖11-3所示,即在單元體的六個側面中,只有四個側面上作用有應力,而且它們的作用線均平行于同一平面。圖11-3所示的單元體,在x面(外法線沿x軸的面)上作用有σx、τx,在y面上作用有應力σy、τy。現研究與z軸平行的任一斜截面mp上的應力(圖11-4a)。斜面mp的外法線與x軸成α角,稱其為α面,α面上的正應力和切應力分別用σα和τα表示。利用截面法,沿mp面截單元體為兩部分,取左半部分為研究對象。若設斜截面面積為dA,則截面mb和bp面積分別為dAcosα和dAsinα。這樣保留部分mbp的受力圖即為圖11-4b所示,該部分沿斜面的法向和切向的平衡方程則分別為(參見圖11-4c)11.2平面應力狀態的應力分析11.2.1平面應力狀態分析的解析法

由此得根據切應力互等定理可知,τx和τy的數值相等;若將三角函數變換公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2αsin2α=2sinαcosα代入式(a)、式(b),于是可得此即為斜截面上應力的一般解析表達式。利用該公式可由已知應力σx、σy和τx,計算任一α截面上的應力σα和τα。必須指出,在使用該式時,正應力拉為正,切應力以繞單元體內一點順時針旋轉者為正,而α則以x軸正向起,逆時針旋轉至斜截面外法向者為正。由式(11-1)和(11-2)可知,任一斜截面α上的正應力σα和切應力τα均隨參量α變化。所以σα和τα間必有確定的函數關系。為建立它們間直接關系式,先將式(11-1)和式(11-2)改寫為式(c)、式(d)兩邊平方相加,即有從式(e)可以看出,在以τ、σ為縱橫坐標軸的平面內,式(e)所對應的曲線為圓(圖11-5),其圓心C的坐標為,半徑為,而圓上任何一點的縱、橫坐標分別代表了單元體上某斜截面上的切應力和正應力。此圓稱為應力圓。并按以下步驟繪制應力圓。11.2.2平面應力狀態分析的圖解法1)選取σ

-τ直角坐標系,橫軸σ向右為正,縱軸τ向上為正,如圖11-6所示。2)按選定的比例尺,在橫軸上量取

,在縱軸τ上量取

可得D點,再用相同比例尺量取

(此處τy為負,故向下量取),得D'點。3)連接D和D‘點的直線交橫軸于C點,以C點為圓心,以或CD'為半徑作圓,即為該單元體所對應的應力圓。應力圓確定后,若欲求α面應力,則只需將半徑沿逆時針方向旋轉2α角處,所得H點橫坐標σH和縱坐標τH,分別代表了α面上正應力σα和切應力τα。以上用作圖法所求σα、τα的正確性可證明如下。由圖11-6可以看出:將式(f)、式(g)和式(11-1)、式(11-2)比較,可見σH=σα,

τH=τα即H點的橫坐標和縱坐標分別等于α面的正應力和切應力。圖11-8a為圖11-8b所示單元體的應力圓,其中D、E兩點代表了x、y面上應力,由圖11-8a可以看出,應力圓與σ軸相交于A、B點,由此可得,單元體在平行于z軸的各截面中最大正應力和最小正應力分別為而最大正應力的方位角α0則可由下式確定11.2.3平面應力狀態的最大應力和主應力式中,負號表示由x面到最大正應力作用面沿順時針方向旋轉。因為tan2α0=tan(180°+2α),所以式(11-4)給出兩個相差90°的α0角,即α0和α0'=90°+α0(或α'0=α0-90°),即這兩個面互相垂直。考慮到圖11-8a中A、B兩點位于應力圓上同一直徑兩端,即最大正應力所在截面和最小正應力所在截面互相垂直,所以式(11-4)所求兩個α0值即是A、B兩點所代表截面的方向。它們之間的對應關系可以利用下述規則來確定:在α0和α0+90°兩個方向中,σmax的方向總是在τx所指向的那一側。所以,最大和最小正應力所在截面的方位如圖11-8b所示。從圖11-8a中還可以看出,應力圓上存在K、M兩個極值點,由此得單元體在平行于z軸的截面中最大和最小切應力分別為它們所在的截面也相互垂直,且與最大和最小正應力所在面方位角為45°。需要特別指出的是,以上所求的最大正應力和最大切應力,只是平行于z軸斜截面上的正應力和切應力的最大值,故該最大切應力可稱為極值切應力。它不一定是過一點的所有斜截面上的正應力和切應力的最大值。以上各結論同樣可以由式(11-1)和式(11-2)的分析得到。由圖11-8a的應力圓中還可以看出,A、B兩點縱坐標為零。這說明,在正應力取得極值的面上切應力為零。通常定義切應力為零的面為主平面,所以圖11-8b中所示的截面ab、bc、cd和da均為主平面。此外,單元體前后兩面沒有應力作用,切應力也為零,故也是主平面。由這三對兩兩正交的主平面所構成的單元體稱為主單元體。主平面上的正應力稱為主應力,所以式(11-3)中的σmax和σmin均為主應力。主單元體三對面上作用有三對主應力,通常按其代數值大小依次用σ1、σ2和σ3表示,即σ1≥σ2≥σ3。根據主應力的數值,可將應力狀態分為三類:三個主應力中,只有一個不為零的應力狀態稱為單向應力狀態;三個主應力中,兩個主應力不為零的稱為二向應力狀態;三個主應力均不為零的應力狀態稱為三向應力狀態。二向和三向應力狀態統稱為復雜應力狀態。設自受力物體內某一點,按主平面方向取出一個單元體(如圖11-10)來研究其各斜截面上的應力。首先分析與σ3平行的任意斜截面abcd上的應力,不難看出圖11-10b所示斜截面的應力σ、τ與σ3無關,而僅僅取決于σ1和σ2。所以,在σ

-τ平面內,該類斜截面對應的點均位于由σ1和σ2所確定的應力圓上(圖11-10c)。同理可知:以σ2和σ3所作應力圓代表單元體中與σ1平行的各斜截面的應力;以σ3、σ1所作應力圓代表單元體中與σ2平行的各斜截面的應力。還可以證明,對于與三個主應力均不平行的任意斜截面,它們在σ

-τ平面的對應點必位于由上述三圓所構成的陰影區域內(證明從略)。綜上所述,在σ

-τ平面內,代表任一斜截面的應力的點或位于應力圓上,或位于由三個應力圓所構成的陰影區域內。由此可見,在三向應力狀態下,最大正應力與最小正應力分別為該點的最大和最小主應力,即11.3三向應力狀態的最大應力σmax=σ1,

σmin=σ3(11-6)而最大切應力則為τmax=(σ1-σ3)(11-7)并位于與σ1和σ3均成45°的截面內。上述結論同樣適用于單向和二向應力狀態。現研究圖11-11中所示的主應力單元體沿三個主應力σ1、σ2和σ3方向的三個線應變。這種線應變稱為主應變,并分別用ε1、ε2和ε3表示。對于各向同性材料,在最大正應力不超過材料的比例極限條件下,可以應用胡克定律及疊加法來求得主應變。為此,將此三向應力狀態看做是三個單向應力狀態的組合(圖11-11)。首先分析ε1。由于對每一個主應力都有與之相應的縱向線應變和橫向線應變,故由公式(6-7)可求得在σ1作用下沿σ1方向的縱向線應變為,再由公式(6-9)可求得σ2、σ3作用下沿σ1方向的橫向線應變分別為

。將這三項疊加,得11.4廣義胡克定律同理,可得ε2和ε3,經整理后即得此即復雜應力狀態下一點處主應力與主應變之間的關系,它是以主應力表示的廣義胡克定律。式中,E和μ分別為材料的彈性模量和橫向變形因數。當主應力中有壓應力時,應將上式中相應的應力按負值代入。若所得結果ε1等主應變為正號,則此主應變為相對伸長;若為負號,則為相對縮短。由式(11-8)求得的主應變也應按代數值排列,即ε1≥ε2≥ε3,可以證明,ε1是一點處的最大線應變,即εmax=ε1(11-9)當應力單元體的各表面上既有正應力,又有切應力時,由于對各向同性材料,在小變形情況下,線應變只與正應力有關,而與切應力無關,故沿正應力σx、σy、σz方向的線應變εx、εy、εz與σx、σy、σz的關系仍可用公式(11-8)來表達,即只需將該公式中各應力、應變字符的下標1、2、3分別改為x、y、z即可。前面各章中,在各基本變形強度分析中,建立了相應的強度條件,它們可以概括為σmax≤[σ]或τmax≤[τ]。這里許用應力是從試驗測得的極限應力除以安全因數而得到的。這樣建立強度條件的方法,對處于單向拉(壓)和純剪切應力狀態的危險點是可行的,但對于危險點處于復雜應力狀態的情況不再適用。因為復雜應力狀態下三個主應力值的配比組合有多種多樣的情況,要對每一種組合都用試驗的方法來確定極限應力,是不切實際的。所以如何建立材料在復雜應力狀態下的強度條件,是工程中的一個重要問題。為解決這一問題,人們根據工程實踐和大量的試驗資料,提出了一系列關于材料在復雜應力狀態下失效的主要原因的各種假說,稱之為強度理論。這些假說認為:同一類型的失效是由某一個共同因素引起的,這一共同因素適用于所有的應力狀態。顯然,若能確定這一因素,就可以利用簡單應力狀態下的試驗(例如拉伸試驗)的結果,來建立復雜應力狀態下的強度條件。材料的強度失效可分為塑性屈服和脆性斷裂這兩類形式。強度理論也分為兩類,一類是解釋材料脆性斷裂失效的強度理論,另一類是解釋材料塑性屈服失效的強度理論。11.5強度理論的概念1.最大拉應力理論(第一強度理論)

這一理論認為引起材料脆性斷裂失效的主要因素是最大拉應力。即無論在何種應力狀態下,只要構件內一點處的最大拉應力達到單向應力狀態下的極限應力σu,材料就發生脆性斷裂失效。于是危險點處于復雜應力狀態的構件發生脆性斷裂的條件為σ1=σu由此即可得出依這一強度理論所建立的強度條件,為σ1≤[σ](11-10)式中,σ1是拉應力;[σ]是由材料在軸向拉伸時強度極限σb確定的許用應力。試驗表明,脆性材料在二向或三向受拉斷裂時,這個理論與試驗結果基本一致,而當存在有壓應力情況下,只要最大壓應力值不超過最大拉應力,這個理論也是正確的。但它對于一點處在任何截面上都沒有拉應力的情況就不再適用。2.最大拉應變理論(第二強度理論)

這一理論認為引起材料脆性斷裂失效的主要因素是最大拉應變。即無論材料處于何種應力狀態下,只要構件內一點處最大拉應變ε1達到了單向應力狀態下斷裂時的最大拉應變值εu,材料就要發生脆性斷裂失效。因此,材料發生脆性斷裂的條件為11.6常用的四個強度理論ε1=εu若認為材料直到發生脆斷失效時都符合胡克定律,則εu=σu/E;其σu為材料拉伸時的強度極限σb。又由廣義胡克定律知,ε1=1/E[σ1-μ(σ2+σ3)]。因此上述失效條件又可寫為

由此即可得出根據這一強度理論所建立的強度條件為式中,[σ]是由材料在軸向拉伸時的強度極限σb確定的許用應力。σ1、σ2和σ3是危險點的主應力。試驗表明,脆性材料在二向(拉伸-壓縮)應力狀態下,當壓應力值超過拉應力時,該理論與試驗結果比較接近。但在一般情況下,它并不比最大拉應力理論更符合試驗結果。以上兩個強度理論是以脆性斷裂為失效的標志。適用于磚石、鑄鐵等脆性材料。3.最大切應力理論(第三強度理論)

這一理論認為引起材料塑性屈服失效的主要因素是最大切應力。即無論在何種應力狀態下,只要構件一點處的最大切應力τmax達到單向應力狀態下的極限切應力τu,材料就要發生塑性屈服失效。于是,危險點處于復雜應力狀態的構件發生塑性屈服的條件為由于單向拉伸應力狀態下,σ2=σ3=0,故τu=(σu-0)/2=σu/2。又由公式(11-7)可知τmax=(σ1-σ3)/2。因而可將上述屈服條件改寫成為由此即可獲得依此強度理論所建立的強度條件為式中,[σ]是由材料軸向拉伸的屈服極限σs確定的許用應力。試驗表明,該理論與有關塑性材料的多種試驗結果比較接近,計算較簡便,因而應用相當廣泛。但試驗說明,主應力σ2對材料的屈服是有影響的,而該理論未考慮σ2的影響,這是不夠合理的。4.畸變能密度理論(第四強度理論)

彈性體在外力作用下發生變形,載荷作用點隨之產生位移。因此在彈性體變形過程中,載荷在相應位移上作功。由能量守恒定律可知,若所加外力是靜載荷,則載荷所做之功全部轉化為積蓄在彈性體內部的能量,稱之為彈性變形能。處在應力作用下的單元體,其形狀和體積一般均發生改變,故變形能又可分解成為體積改變能和畸變能,而單位體積內的畸變能稱為畸變能密度。在復雜應力狀態下,畸變能密度的表達式為(推導略)

這一理論認為引起材料塑性屈服的主要因素是畸變能密度。即無論材料處于何種應力狀態,只要其畸變能密度vd達到單向拉伸屈服時的畸變能密度vdu,材料即發生塑性屈服,由于單向拉伸應力狀態下在屈服時σ1=σu,σ2=σ3=0,故由式(11-13),可得因而可得該理論的塑性屈服失效條件為或由此可得,依該理論所建立的強度條件為同最大切應力理論一樣,式中,[σ]是由拉伸試驗的屈服極限σs所確定的許用應力。畸變能密度理論是從反映受力和變形的綜合影響的變形能出發來研究材料強度的。因此更全面和完善了。試驗表明:對塑性材料,該理論較最大切應力理論更符合試驗結果,工程上使用也較廣泛。以上四種強度理論的強度條件可以寫成統一的形式,即σr≤[σ]式中,σr稱為相當應力,它代表某一個強度理論在復雜應力狀態下的主應力組合表達式。由式(11-10)、式(11-11)、式(11-12)和式(11-14)可知,對不同的強度理論有不同的相當應力表達式,它們分別為

應當指出:在常溫靜載荷下,脆性材料一般發生脆性斷裂失效,故宜采用第一或第二強度理論;而塑性材料一般發生塑性屈服失效,故常采用第三或第四強度理論。但是材料的失效形式不僅取決于材料的性質,還與其所處的應力狀態、溫度和加載速度等有關。例如,三向受拉的應力狀態下,即使是塑性材料,也將發生脆性斷裂,故常采用第一強度理論;在三向壓應力的狀態下,即使是脆性材料,也將發生塑性屈服,故應采用第三或第四強度理論。

第12章

組合變形時桿件的強度計算12.1組合變形概述在工程實際中有很多構件,在外力作用下所產生的變形并不是單一的基本變形,而是同時產生了兩種或兩種以上的基本變形,這類變形形式稱為組合變形。例如,小型壓力機框架的立柱部分(圖12-1a),在F力作用下,將同時發生拉伸及彎曲變形(圖12-1b)。又如機器中傳動軸(圖12-2a)在齒輪嚙合力的作用下,將同時產生扭轉和彎曲變形。在組合變形的計算中,通常先將作用于桿件上的載荷簡化為一系列與其靜力等效的載荷,使簡化后的載荷各自產生一種基本變形。例如,在圖12-2a所示的傳動軸上,將齒輪嚙合力FB簡化為作用于軸線上的橫向力FB和力偶矩MB(圖12-2b),橫向力FB使軸產生彎曲變形,而力偶MB使軸產生扭轉變形。在材料服從胡克定律而且變形很小的情況下,桿件雖然同時發生幾種基本變形,但其中任一種基本變形都不會改變其他另一種基本變形所產生的應力和變形。即每一種基本變形是各自獨立,互不影響的。所以,當桿件發生組合變形時,可首先計算出每種基本變形所引起的應力,然后將所得結果疊加,即得桿件在組合變形時的應力。這就是力作用的疊加原理。再根據危險點處應力計算的結果,即可對構件進行強度計算。組合變形包括多種形式,其中最常見的是拉(壓)彎組合和彎扭組合。本章主要介紹桿件在拉(壓)彎和彎扭組合變形時的強度計算,其分析方法同樣適用于其他組合變形形式。拉伸(壓縮)與彎曲的組合變形是工程中常見的一種組合變形,現以圖12-3a所示矩形截面懸臂梁為例來說明如何進行強度計算。設外力F位于梁縱向對稱面內,作用線與軸線成φ角,力學模型如圖12-3b所示。1)外力分析

將力F向x、y軸分解得F1=Fcosφ,

F2=Fsinφ軸向拉力F1使梁產生軸向拉伸變形,橫向力F2使梁產生彎曲變形。2)內力分析

軸向