2025年廣東省初中考試

數學

本試卷共7頁，23小題，滿分120分．考試用時120分鐘．

注意事項：

1．答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準考證號、姓名、考場號和座位號

填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應位置填涂自己的考場號和座位

號．將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．

2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑：如需改動，用塑料橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．

3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相

應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不

按以上要求作答的答案無效．

4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的．

1.某品牌乒乓球產品質量參數是2.74g0.02g，如果一只乒乓球的質量高于標準質量0.02g記作0.02g，

那么低于標準質量0.02g記作（）

A.0.02gB.0.02gC.0.04gD.0.04g

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了正數和負數．根據正數和負數表示具有相反意義的量，即可解答．

【詳解】解：∵一只乒乓球的質量高于標準質量0.02g記作0.02g，

∴那么低于標準質量0.02g記作0.02g．

故選：A．

2.依據《廣東省推動低空經濟高質量發展行動方案（2024-2026年）》，預計2026年廣東省低空經濟規模將

超過3000億元．數據3000億用科學記數法表示為（）

A.3109B.31010C.301010D.31011

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數，

正確確定a以及n的值是解題的關鍵．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕

對值與小數點移動的位數相同，據此即可求解．

【詳解】解：3000億300010831011．

故選：D．

3.計算123的結果是（）

A.3B.6C.6D.26

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題關鍵．直接相乘得出答案．

【詳解】123366．

故選：B．

4.如圖，是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．找到從左面看所得到的圖形即

可．

【詳解】解：從左面看得第一層有2個正方形，第二層最左邊有一個正方形．

∴它的左視圖是：

故選：C．

5.如圖，點D，E，F分別是VABC各邊上的中點，A70，則EDF（）

A.20B.40C.70D.110

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了三角形中位線的性質和判定，平行線的性質，首先得到DE，DF是VABC的中位線，

得到DE∥AC，DFAB，然后根據平行線的性質求解即可．

【詳解】∵點D，E，F分別是VABC各邊上的中點，

∴DE，DF是VABC的中位線

∴DE∥AC，DFAB

∴DEBA70

∵DFAB

∴EDFDEB70．

故選：C．

6.某校機器人編程團隊參加廣東省創意機器人大賽，7位評委給出的分數為95，92，96，94，95，88，95．這

組數據的中位數、眾數分別是（）

A.92，94B.95，95C.94，95D.95，96

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了中位數和眾數，熟知中位數和眾數的定義是解題的關鍵．中位數是將數據從小到大排

列后位于中間位置的數；眾數是出現次數最多的數，據此即可求解．

【詳解】解：將7個評委分數從小到大排列為：88，92，94，95，95，95，96，

中位數為第4個數，即95；

數據中出現次數最多的數是95（出現3次），故眾數為95；

∴這組數據的中位數、眾數分別是95，95．

故選：B．

7.廣東省統計局的相關數據顯示，近年來高技術制造業呈現快速增長態勢．某公司工業機器人在今年5月

產值達到2500萬元，預計7月產值將增至9100萬元．設該公司6，7兩個月產值的月均增長率為x，可列

出的方程為（）

22

A.25001x9100B.25001x9100

22

C.250012x9100D.250012x9100

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，涉及平均增長率問題，理解題意找準等量關系列出方程是解

題的關鍵．設該公司6，7兩個月產值的月均增長率為x，根據連續兩個月的月均增長率建立方程即可．

【詳解】解：設該公司6，7兩個月產值的月均增長率為x，

2

根據題意，得25001x9100．

故選：A．

8.在理想狀態下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行，其電池剩余的能量yWh與騎行里程xkm

之間的關系如圖．當電池剩余能量小于100Wh時，摩托車將自動報警．根據圖象，下列結論正確的是（）

A.電池能量最多可充400Wh

B.摩托車每行駛10km消耗能量300Wh

C.一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km

D.摩托車充滿電后，行駛18km將自動報警

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了實際問題的函數圖象，解題的關鍵是讀懂函數圖象，根據圖象中的數據逐項求解判斷

即可．

【詳解】由圖象可得，當x0km時，y500Wh，

∴電池能量最多可充500Wh，故A錯誤；

5002520Wh，2010200Wh

∴摩托車每行駛10km消耗能量200Wh，故B錯誤；

由圖象可得，當x25km時，y0Wh，

∴一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km，故C正確；

5001002020km

∴摩托車充滿電后，行駛20km將自動報警，故D錯誤；

故選：C．

9.如圖，在直徑BC為22的圓內有一個圓心角為90的扇形ABC．隨機地往圓內投一粒米，該粒米落

在扇形內的概率為（）

1111

A.B.C.D.

5432

【答案】D

【解析】

【分析】如圖所示，過點A作ADBC于點D，證明出VABC是等腰直角三角形，求出

1

，然后得到22，然后分別求出和，然后根

ADBDCDBC2ABADBD2S扇形ABCS圓

2

據概率公式求解即可．

【詳解】如圖所示，過點A作ADBC于點D

∵BC是直徑

∴BAC90

∵ABAC

∴VABC是等腰直角三角形

∵ADBC

1

∴ADBDCDBC2，

2

∴ABAD2BD22

90π222

∴，

S扇形ABCπS圓π22π

360

π1

∴該粒米落在扇形內的概率為．

2π2

故選：D．

【點睛】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質，勾股定理，直徑所對的圓周角是直

角等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．

10.如圖，在矩形ABCD中，E，F是BC邊上的三等分點，連接DE，AF相交于點G，連接CG．若AB8，

BC12，則tanGCF的值是（）

1013102

A.B.C.D.

103103

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，求角的正切值，熟練掌握以上知識點是解題的

EG1

關鍵．根據矩形的性質，證明AGD∽FGE，得到，然后過點G作GHBC，得到

ED4

GHE∽DCE，根據相似三角形對應邊成比例分別求出HE，GH的長，進而求出CH的長，再利用正

切的定義求解即可．

【詳解】解：∵矩形ABCD，E，F是BC邊上的三等分點，AB8，BC12，

∴ADBC12，CDBC8，AD∥BC，BEEFFC4，EC8，

∴AGD∽FGE，

EGEF41

∴，

DGAD123

EG1

∴，

ED4

過點G作GHBC，則GH∥CD，

∴GHE∽DCE，

EHGHEG1

∴，

ECCDDE4

1111

∴EHEC82，GHCD82，

4444

∴CHCEEH826，

GH21

∴tanGCF；

CH63

故選：B．

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．

11.因式分解：a2bab2______．

【答案】abab

【解析】

【分析】直接提取公因式ab，進而分解因式得出答案．

【詳解】解：a2b+ab2=abab．

故答案為：abab．

【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．

12.如圖，把VAOB放大后得到△COD，則VAOB與△COD的相似比是_____．

1

【答案】

3

【解析】

【分析】本題考查求兩個位似圖形的相似比，根據題意，把VAOB放大后得到△COD，則VAOB與

OB21

△COD位似，從而得到VAOB與△COD的相似比等于對應點到位似中心線段的比，即，

OD63

從而得到答案，掌握相似三角形的相似比與位似圖形之間線段的比例關系是解決問題的關鍵．

【詳解】解：把VAOB放大后得到△COD，則VAOB與△COD位似，

OB21

VAOB與△COD的相似比為，

OD63

1

故答案為：．

3

13.不解方程，判斷一元二次方程2x2x10的根的情況是_____．

【答案】有兩個不相等的實數根

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程的根的判別式判斷根的情況是解題的

關鍵．先計算一元二次方程的根的判別式b24ac，得出0，即可得到結論

【詳解】解：∵一元二次方程2x2x10，

∴a2，b1，c1，

∴b24ac1242190，

∴方程2x2x10有兩個不相等的實數根．

故答案為：有兩個不相等的實數根．

14.計算202sin30的結果是_____．

【答案】0

【解析】

【分析】本題考查了特殊角的三角函數值以及零指數冪，熟練記憶特殊角的三角函數值是解題的關鍵．

分別計算零指數冪以及代入特殊角的三角函數值計算即可．

【詳解】解：202sin30

1

12

2

11

0，

故答案為：0．

15.已知二次函數yx2bxc的圖象經過點c,0，但不經過原點，則該二次函數的表達式可以是

_____．（寫出一個即可）

【答案】yx2x2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查待定系數法確定二次函數表達式，先由二次函數yx2bxc的圖象經過點c,0，

得到0c2bcc，再由二次函數yx2bxc的圖象不經過原點，得到c0，從而得確定cb1，

若取b1，即可得到c2，從而確定函數表達式．熟練掌握待定系數法確定函數表達式的方法是解決問

題的關鍵．

【詳解】解：二次函數yx2bxc的圖象經過點c,0，

0c2bcc，

二次函數yx2bxc的圖象不經過原點，

c0，

則cb1，

若取b1，則c2，

該二次函數的表達式可以是yx2x2，

故答案為：yx2x2（答案不唯一）．

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。

1x1

16.在解分式方程2時，小李的解法如下：

x22x

1x1

第一步：x2x22，

x2x2

第二步：1x12，

第三步：x121，

第四步：x4．

第五步：檢驗：當x4時，x20．

第六步：原分式方程的解為x4．

小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據是什么？判斷小李的解答過程是否正確．若不正確，請寫出

你的解答過程．

【答案】見解析

【解析】

【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程時要注意不要漏乘，解完后要檢驗．

先去分母，化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后進行檢驗即可．

【詳解】解：第一步是去分母，去分母的依據是：等式兩邊同時乘以一個不為0的數（或式子），等式仍然

成立；

小李的解答過程不正確，正確解答如下：

1x1

2，

x22x

1x12x2

1x12x4

x2x141，

解得：x2，

經檢驗，x2是增根，

∴原方程無解．

17.如圖，點O是Rt△ABC斜邊AC邊上的一點，以OA為半徑的O與邊BC相切于點D．求證：AD

平分BAC．

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】本題考查了圓的切線的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質等知識點，熟練掌握各知

識點并靈活運用是解題的關鍵．

連接OD，根據圓的切線的性質得到ODCB90，則根據平行線的判定與性質得到13，再

由等邊對等角得到12，即可等量代換求證．

【詳解】證明：連接OD，

∵O與邊BC相切于點D，

∴ODBC，即ODC90，

∵VABC為直角三角形，

∴ODCB90，

∴OD∥AB，

∴13，

∵ODOA

∴12，

∴32，

∴AD平分BAC．

18.如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km，主塔高0.27km，主纜可視為拋物線，主纜垂度

0.1785km，主纜最低處距離橋面0.0015km，橋面距離海平面約0.09km．請在示意圖中建立合適的平

面直角坐標系，并求該拋物線的表達式．

21

【答案】該拋物線的表達式為yx20.0015

85

【解析】

【分析】本題考查待定系數法求二次函數表達式，先由題意，建立恰當的平面直角坐標系，從而得到

0,0.0015、A0.85,0.18，設該拋物線的頂點式為yax20.0015，將A0.85,0.18代入解方程即

可得到答案．根據題中示意圖，建立恰當的平面直角坐標系，并設出拋物線表達式是解決問題的關鍵．

【詳解】解：建立平面直角坐標系，如圖所示：

1.7

則拋物線頂點坐標為0,0.0015，A,0.270.09，即A0.85,0.18，

2

設該拋物線的表達式為yax20.0015，

將A0.85,0.18代入yax20.0015得0.180.852a0.0015，

21

解得a，

85

21

該拋物線的表達式為yx20.0015．

85

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．

19.如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點A，C分別作AE∥DC，CE∥AB，AE與CE相

交于點E．現有以下命題：

命題1：若連接BE交CA于點F，則S△CFB2S△CEF．

命題2：若連接ED，則EDAC．

命題3：若連接ED，則EDBC．

任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例．

【答案】命題1是真命題，證明見解析；命題2是真命題，證明見解析；命題3是真命題，證明見解析

【解析】

【分析】命題1：連接DE，交AC于O，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到

1

CDDADBAB，判定四邊形ADCE是平行四邊形，進而得到四邊形ADCE是菱形，再由中位線

2

1

的判定與性質得到ODBC，最后利用三角形面積公式求解即可得證；

2

命題2：連接DE，交AC于O，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到

1

CDDADBAB，判定四邊形ADCE是平行四邊形，進而得到四邊形ADCE是菱形即可得證；

2

命題3：連接DE，交AC于O，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到

1

CDDADBAB，判定四邊形ADCE是平行四邊形，再由平行四邊形的判定與性質得到四邊形

2

BCED是平行四邊形即可得證．

【詳解】解：命題1：若連接BE交CA于點F，則S△CFB2S△CEF．

命題1是真命題，證明如下：

連接DE，交AC于O，如圖所示：

CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

1

CDDADBAB，

2

AE∥DC，CE∥AB，

四邊形ADCE是平行四邊形，

QDADC，

四邊形ADCE是菱形，

ACDE，且OAOC，OE=OD，

D為AB的中點，

1

DO是VABC的中位線，則ODBC，

2

11

SCFBC,SCFOE，則S△2S△；

CFB2CEF2CFBCEF

命題2：若連接ED，則EDAC．

命題2是真命題，證明如下：

連接DE，交AC于O，如圖所示：

CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

1

CDDADBAB，

2

AE∥DC，CE∥AB，

四邊形ADCE是平行四邊形，

QDADC，

四邊形ADCE是菱形，

ACDE；

命題3：若連接ED，則EDBC．

命題3是真命題，證明如下：

連接DE，交AC于O，如圖所示：

CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

1

CDDADBAB，

2

AE∥DC，CE∥AB，

四邊形ADCE是平行四邊形，

CEAD，

CEDB，

CE∥AB，

四邊形BCED是平行四邊形，

EDBC．

【點睛】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、平行

四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、三角形中位線的判定與性質、三角形面積公式等知識，熟記平

行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．

20.2025年2月，廣東省教育廳發布《關于保障中小學生每天綜合體育活動時間不低于兩小時的通知》．某

校為更好地落實文件精神并了解學生參加體育活動的情況，隨機抽取部分學生進行問卷調查，并對所得數

據進行處理．部分信息如下：

調查問卷監理與描述

1．你每天參加體育活

動（合體育課）的時間

（單位：小時）（）

（單選）

A．0.5x1

B．1x1.5

C．1.5x2

D．x2

2．隨著體育活動時間希望地設的活動項目統計表

的延長，學校擬增設體活動項目球類田徑類體操類水上類

育活動項目，你希望增

設的活動項目有（）

（可）多選）

百分比

E．球類F．田徑類72%23%40%46%

G．體操類H．水

上類

根據以上信息，解答下列問題：

（1）求參與這次問卷調查的學生人數．

（2）估計該校1000名學生中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學生人數．

（3）基于上述兩項調查的數據，提煉出一條信息，并向學校提出相應的建議．

【答案】（1）200人

（2）375人（3）見解析（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了條形統計圖和扇形統計圖的信息關聯，用樣本估計總體，統計表等知識點，正確理解

題意是解題的關鍵．

（1）根據條形統計圖得到參加體育活動（合體育課）的時間人數，再相加即可；

（2）用1000人乘以每天參加體育活動時間不低于兩小時的學生人數占比即可；

（3）答案不唯一，合理即可．

【小問1詳解】

解：這次問卷調查的學生人數為：35444675200（人），

答：參與這次問卷調查的學生人數有200人；

【小問2詳解】

解：200037.5%375（人），

答：每天參加體育活動時間不低于兩小時的學生人數為375人；

【小問3詳解】

解：從第二項活動可看出學生更加喜歡球類活動，建議：學校可以適當的增加有關球類活動的項目和設

施．（答案不唯一）

21.綜合與實踐

【閱讀材料】

abc

如圖，在銳角VABC中，A，B，C的對邊長分別為a，b，c，則有．這

sinAsinBsinC

是解三角形的重要結論，可用于解決實際問題．

【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態屏障和飲用水水源地．某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部

平面示意圖，現需要知道湖中A，B兩島間的實際距離．由于地形原因，無法利用測距儀直接測量，該小

組對這一問題進行了探究．

【方案設計】

工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．

測量過程：

步驟1：如圖，在空曠地找一點C；

步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得A43，B51；

步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC341m，AC388.5m．

【問題解決】

（1）請你利用【閱讀材料】中的結論計算A，B兩島間的距離．

（參考數據：sin430.682，sin510.777，sin860.998）

【評價反思】

（2）設計其他方案計算A，B兩島間的距離．要求：選用【方案設計】中的工具，寫出你的方案和所用的

數學知識．

【答案】（1）499m；（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，理解題意是解題的關鍵．

BCAB

（1）利用三角形內角和定理求出C180AB86，根據題意可得，代入數據求

sinAsinC

出AB的長，即可解答；

（2）運用解直角三角形、勾股定理等數學知識設計方案即可．

【詳解】解：（1）∵A43，B51，

∴C180AB180435186，

BCAB

由題意得，，

sinAsinC

又∵BC341m，

BCsinCBCsin863410.998

∴AB499m，

sinAsin430.682

答：A，B兩島間的距離為499m．

（2）工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．

測量過程：

步驟1：如圖，在空曠地找一點C，使得VABC是銳角三角形；

步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得C的度數；

步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BCam，ACbm．

計算過程：

過點A作ADBC，則ADCADB90，

ADCD

∵在Rt△ACD中，sinC，cosC，

ACAC

∴ADbsinCm，CDbcosCm，

∴BDBCCDabcosCm，

∵在Rt△ACD中，AD2BD2AB2，

22

∴ABbsinCabcosCm．

22

答：A，B兩島間的距離為bsinCabcosCm．

五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分．

22.《九章算術》是世界上較早給出勾股數公式的著作，掌握確定勾股數組的方法對研究直角三角形具有重

要意義．若直角三角形的三邊長a，b，c都是正整數，則a，b，c為一組“勾股數”．下表中的每一組

數都是勾股數．

3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，181

4，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，29

5，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，35

6，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122

（1）請補全上表中的勾股數．

（2）根據上表中數據規律，用含字母（均為正整數）的代數式分別表示a，b，c，使該組代數式能表示

上表中所有的勾股數，并證明．

（3）某校計劃在一塊綠地上種花，使之構成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成．種

花要求：僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m．如

果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？

【答案】（1）24

（2）ak(m2n2)，b2kmn，ck(m2n2)，其中k、m、n都是正整數，mn，證明見解析

（3）280

【解析】

【分析】（1）先由表中勾股數規律，令a10，b，c26，由勾股數定義列方程求解即可得到答案；

（2）由表中數據，分別用代數式表示出a，b，c，再由整式混合運算求證即可得證明；

（3）由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，

根據題意可知，最短邊為20，另一個直角邊為21，然后根據勾股定理求得斜邊，即可得到答案．

【小問1詳解】

解：由表中勾股數的規律可知，令a10，b，c26，

則由勾股數定義可知a2b2c2，

即102b2262，

b2262102261026103616，

解得b24或b24（舍去）；

故答案為：24．

【小問2詳解】

解：由題意，ak(m2n2)，b2kmn，ck(m2n2)，其中k、m、n都是正整數，mn，證明

過程如下：

ak(m2n2)，b2kmn，ck(m2n2)，

a2k2(m2n2)2k2(m42m2n2n4)k2m42k2m2n2k2n4，

b24k2m2n2，

c2k2(m2n2)2k2(m42m2n2n4)k2m42k2m2n2k2n4，

a2b2k2m42k2m2n2k2n44k2m2n2k2m42k2m2n2k2n4，

a2b2c2；

【小問3詳解】

解：由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，

如圖所示：

設ACBC，即直角三角形中最短邊為AC，

僅在三角形邊上種花，三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m，三角形最短

邊種21株花，

AC20m，

由題意可知，BC最小為21m，

那么ABAC2BC220221229m，

那么這塊綠地最少需要種植(202129)4280株花．

【點睛】本題考查由勾股數涉及的數字規律問題，難度中等偏上，涉及勾股數定義、整式加減乘法混合運

算、平方差公式等知識，觀察分析所給表中勾股數，分類找準規律并靈活運算解決實際問題是關鍵．

23.定義：把某線段一分為二的點，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，

這個點稱為中外比點．

（1）如圖，點P是線段MN的中外比點，MPPN，MN2，求PN的長．

（2）如圖，用無刻度的直尺和圓規求作一點C把線段AB分為中外比．（保留作圖痕跡，不寫作法）

k

（3）如圖，動點B在第一象限內，反比例函數yk0,x0的圖象分別與矩形OABC的邊AB，BC

x

相交于點D，E，與對角線OB相交于點F．當ODE是等腰直角三角形時，探究點D，E，F是否分

別為AB，BC，OB的中外比點，并證明．

【答案】（1）PN35

（2）見解析（3）當ODE是等腰直角三角形時，點D，E，F分別為AB，BC，OB的中外比點，

證明過程見解析

【解析】

MNMP22x

【分析】（1）設PNx，根據題意，得，解分式方程，即可求解；

MPPN2xx

（2）①作線段AB的垂直平分線DE，交AB于點D；②過點B作BFAB，且BFBD；③連接AF；

④以點F為圓心，BF為半徑，畫弧，交AF于點G；⑤以點A為圓心，AG為半徑，畫弧，交AB于點C，

點C即為線段AB的中外比點．

設BDx，根據勾股定理求得AFx5，繼而求得AGAC51x，BC35x，分別代

ABAC

入、，即可求證點C為線段AB的中外比點；

ACBC

（3）當ODE是等腰三角形時，點D、E、F分別為AB，BC，OB的中外比點，分三種情況討論：

①當△OED90時，證得△COE≌△BED，設點Em,n，則Dmn,nm，根據點D、E在反

k15

比例函數yk0,x0的圖象上，可構建方程n2mnm20，解得nm，分別求得BE、

x2

CE、BC、BD、AD、AB的值，即可求證．設直線OB的函數解析式為yaxa0，利用待定系

51

數法求得直線OB的函數解析式為yx，聯立方程組，求得點F的坐標，即可求證；②當

2

ODE90，同理可證點D，E，F分別為AB，BC，OB的中外比點；③當EOD90，則點E、

D分別位于y軸、x軸上，與反比例函數不符．

【小問1詳解】

解：設PNx，則MPMNPN2x，

MNMP22x

根據題意，得：，即，

MPPN2xx

整理，得：2，解得：=+，=-，

x6x40x135x235

352，

=+舍去，

x135

PN35．

【小問2詳解】

解：如圖所示，點C為所求．

設BDx，

根據題意，得：ADBDBFFGx，AB2x，

2

AFAB2BF22xx2x5，

AGACx5x51x，BCABAC2x51x35x，

AB2x51AC51x51

，，

AC51x2BC35x2

ABAC

=，

ACBC

點C為線段AB的中外比點．

【小問3詳解】

解：當ODE是等腰三角形時，點D、E、F分別為AB，BC，OB的中外比點，理由如下：

第一種情況：當△OED90，則OEED，

OECDEB90，

四邊形OABC是矩形，

OCEEBD90，

COEOEC90，

COEDEB，

COE≌BEDAAS，

設點Em,n，

OCEBn，CEBDm，則Dmn,nm，

k

點D、E在反比例函數yk0,x0的圖象上，

x

k

n①

m

得：，

k

nm②

mn

mn

由①得：kmn，將其代入②，得：nm，

mn

整理，得：n2mnm20，

22

解得：mm41mmm5，

n

22

1515

nm，nm（舍去），

1222

1535513515

Em,m，Dm,m，Bm,m，

22222

1535

BEm，CEm，BCm，

22

5115

BDm，ADm，ABm，

22

2

215352，35352，

BEmmBCCEmmm

2222

1551

BD2m2，ABADmmm2，

22

BCBEABBD

，，

BECEBDAD

點E、D為BC、AB的中外比點．

k15

點E在反比例函數yk0,x0的圖象上，Em,m，

x2

15

kmnm2，

2

152

反比例函數為m，

y2

x

3515

Bm,m，

22

設直線OB的函數解析式為yaxa0，

351551

將點Bm,m，O0,0代入，得：a，

222

51

直線OB的函數解析式為yx，

2

51

yx

51

2xm

聯立方程組15，解得：2，

m2