機械基礎課程教案周次第11周課型新授課課時1學時授課教師王春舉授課班級13春機電班授課題目§3-1圓軸扭轉1教學目標（知識、能力、態度）1、知識目標：（1）了解扭轉的概念；（2）理解圓軸扭轉的外力矩計算。2、能力目標：扭矩計算3、素質目標：為了保證受扭圓軸能正常工作而不致破壞，應使圓軸內的最大工作切應力不得超過材料的許用切應力教學重點及難點【教學重點】扭轉的概念；圓軸扭轉的外力矩計算。【教學難點】扭轉的概念；圓軸扭轉的外力矩計算。教學方法及手段講練法、演示法、討論法、歸納法。學法指導講授與演示交叉進行、講授中穿插討論、講授中穿插練習與設問，最后進行歸納。教具或學具圓規、三角板、常見的桿件教學過程教學內容及教師活動學生活動★復習舊課拉壓概念；拉壓內力、應力、強度計算；扭轉的概念工程中，很多傳動機構中的回轉件都會產生扭轉變形。例如汽車方向盤轉動時，轉向軸的受力情況為：司機在方向盤上作用著一個力偶，同時在轉向軸下端作用一個阻礙方向盤轉動的反力偶。轉向軸由于受到這兩個力偶的作用，將引起扭轉變形。桿件的扭轉變形特點是：

①在桿件兩端受到大小相等，方向相反的一對力偶的作用。②桿件上各個橫截面均繞桿件的軸線發生相對轉動。

在工程中，以扭轉變形為主要變形的桿件稱為軸，上、下兩截面所扭轉過的角度稱為相對扭轉角，如圖３-１８所示。

圖３-１８圓軸扭轉的外力矩計算對于傳動軸等轉動桿件，通常只給出其轉速和所傳遞功率，在分析內力時，首先需要根據轉速和功率計算外力偶矩。由理論力學可知，力偶在相應角位移上作功，而力偶在單位時間內所作功率Ｐ等于其力偶矩Ｍ與相應角速度ω的乘積，即

Ｐ＝Ｍω

在工程實際中，功率Ｐ的常用單位為ｋＷ（千瓦），轉速ｎ的常用單位為ｒ／ｍｉｎ(轉／分），在這種情況下，上式即變為

Ｐ×＝Ｍ×２πｎ／６０

由此得力偶矩

Ｍ≈９５５０Ｐ／ｎ扭矩計算

1.內力

求圓軸扭轉時的應力——截面法。圖３-１９所示為受一對外力偶作用的圓軸。假想地沿軸的某一截面ｍ—ｍ切開，并取Ⅰ部分為研究對象。

為使Ⅰ部分仍處于平衡狀態，必在截面ｍ—ｍ處作用一個內力偶矩ＭＴ。

建立平衡方程：Ｍ＝０，則

ＭＴ－Ｍ＝０

ＭＴ＝Ｍ

上式表明，圓軸扭轉時橫截面上的內力是一個力偶矩，稱為扭矩。圖３-１９

2.符號規定

按右手螺旋法則，四指方向與截面力偶方向一致，則拇指指向為扭矩的方向（圖３-２０）。當該矢量ＭＴ方向與截面外法線方向一致時，ＭＴ為正；矢量ＭＴ方向與截面外法線方向相反時，ＭＴ為負。

圖３－２０圓軸扭轉時的應力分析

1.扭轉現象與假設

如圖３-２１所示，在圓軸的表面上畫出很多等距的圓周線和軸線平行的縱向線，形成大小相等的矩形方格。當圓軸扭轉變形時，可以看到：圖3-21

①各圓周線相對于軸線旋轉了一個角度，但其形狀大小及圓周線間距沒有變。

②各縱向線，均傾斜了一個小角度，矩形變成了平行四邊形。

由以上的觀察，可得出圓軸扭轉時的基本假設：

扭轉時，圓軸的橫截面始終為平面，形狀、大小都不改變，只有相對軸線的微小扭轉變形，因此在橫截面上無正應力，而只有垂直于半徑的切應力。

2.切應力分布規律

圓軸橫截面上任一點的切應力與該點所在圓周的半徑成正比，方向與過該點的半徑垂直，切應力最大處發生在半徑最大處。應力分布規律如圖３-２２所示。

3.切應力計算公式

根據靜力學關系導出切應力計算公式為

式中，ＭＴ——橫截面上的扭矩；

ρ——橫截面上任意一點的半徑；

ＩＰ——橫截面上截面二次極矩。

圖3-22當ρ＝Ｒ時，切應力最大，即

令Ｉｐ／Ｒ＝Ｗｔ，于是上式可改寫成：

τｍａｘ＝ＭＴＷｔ

式中，Ｗｔ——抗扭截面系數。圓軸抗扭強度條件

為了保證受扭圓軸能正常工作而不致破壞，應使圓軸內的最大工作切應力不得超過材料的許用切應力［τ］，即

塑性材料［τ］＝（０.５～０.６）［σ］

脆性材料［τ］＝（０.８～１.０）［σ］軸扭轉時多受動載荷作用，因此［τ］取值應比靜載下的許用應力低些。

圖３-２３

例３-６汽車傳動軸ＡＢ（圖３-２３）由無縫鋼管制成。該軸外徑Ｄ＝９０ｍｍ，壁厚ｔ＝２５ｍｍ，工作時的最大扭矩ＭＴｍａｘ＝１.５ｋＮ·ｍ。材料的許用切應力［τ］＝６０ＭＰａ，試校核軸ＡＢ的強度。如果軸AB設計成實心軸，直徑應為多少?

解（1）計算AB軸的抗扭截面系數

α＝ｄ／Ｄ＝(Ｄ－２ｔ)/Ｄ＝(９０－２×２.５)/９０＝０.９４４

（2）計算軸的最大切應力并校核強度

因為軸AB是等截面軸，且在全軸所有橫截面上的扭矩為常量，所以軸AB上任一截面的周邊點都是危險點，即周邊任一點的切應力都是最大切應力。根據強度條件式

故軸AB滿足強度要求。

（3）設計實心圓軸直徑Ｄ１

因兩軸等強度，故實心軸的最大的切應力也應等于５０ＭＰａ，即

實心軸的直徑Ｄ１應取直徑標準５５ｍｍ。提高抗扭能力的方法由扭轉強度條件可知，要提高軸的強度，只有降低τＴｍａｘ值或提高Ｗｔ值兩種途徑。1.提高抗扭截面系數Ｗｔ對于圓軸來說，合理截面一個是實心軸，另一個是空心軸。由于Ｗｔ與直徑D成三次方正比，因此增大軸徑效果最為顯著。而采用空心軸，在相同截面積的前提下，可以大大提高軸的抗扭截面系數，有效提高軸的扭轉強度。2降低最大扭矩如圖３-２４ａ所示，已知該軸傳遞扭矩ＭＡ＝５Ｎ·ｍ，ＭＢ＝２Ｎ·ｍ，ＭＣ＝３Ｎ·ｍ，ＭＤ＝１０Ｎ·ｍ，轉向如圖所示。如果將ＭＤ的位置移到ＭＡ與ＭＢ之間，如圖３-２４ｂ所示，則該