考點濃縮與知識整合

考點一二元一次方程的有關概念

一、二元一次方程

含有兩個未知數，并且兩個未知數項的次數都是1的方程叫做二元一次方程.

判定一個方程是二元一次方程必須同時滿足三個條件：

①方程兩功的代數式都是整式一分母中不能含有字母：

②有兩個未知數——“二元”；

③含有未知數的項的最高次數為1——“一次

關于X、y的二元一次方程的一般形式：+=c（且。￥0）.

二、二元一次方程的解

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的一組取值叫做二元一次方程的解.在寫二元一次方程解的時

候我們用大括號聯立表示.

V-I

如：方程x+y=2的一組解為《一，表明只有當x=l和y=l同時成立時，才能滿足方程.

（＞,=1

一般的，二元一次方程都有無數組解，但如果確定了一個未知數的值，那么另一個未知數的值也就隨之確

定了.

考點二二元一次方程組的有關概念

一、二元一次方程組

由幾個一次方程組成并且一共含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組.

x+l=3JC=3

特別地，一和一也是二元一次方程組.

4-y=x[y=-1

二、二元一次方程組的解

二元一次方程組中所有方程（一般為兩個）的公共解叫做二元一次方程組的解.

注意：

（1）二元一次方程組的解一定要寫成聯立的形式，如方程組《‘一-的解是4~.

A+y=7[y=I

（2）二元一次方程組的解必須同時滿足所有方程，即將解代入方程組的每一個方程時，等號兩邊的值都

相等.例如:

v-1y-x=\,所以I""是方程組［"+'=3的解.

因為一.能同時滿足方程％+y=3、

卜=2y=2l.y-x=1

考點三解二元一次方程組

一、消元思想

二元一次方程組中有兩個未知數，如果能“消去”一個未知數，那么就能把二元一次方程組轉化為我們熟悉

的一元一次方程.

這種將未知數的個數由多化少、逐一解決的思想，叫做“消元”.使用“消元法”減少未知數的個數，使多元

方程組最終轉化為?元方程，再逐步解出未知數的值.

二、代入消元法

1、代入消元法的概念

將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個

未知數，得到一個一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做代入消元法.

2、用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：

①等量代換：從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數（例如y）,用另一個

未知數（如x）的代數式表示出來，即將方程寫成y=+b的形式：

②代入消元：將y=or+ZH弋入另一個方程中，消去），，得到一個關于x的一元一次方程：

③解這個一元一次方程，求出x的值；

④回代：把求得的x的值代入），=如+人中求出y的值，從而得出方程組的解；

V-Z7

⑤把這個方程組的解寫成.一，的形式.

y=b

三、加減消元法

1、加減消元法的概念

當方程中兩個方程的某一未知數的系數相等或互為相反數時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個

未知數，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消

元法.

2、用加減消元法解二元一次方程組的一般步3聚：

①變換系數：利用等式的基本性質，把一個方程或者兩個方程的兩邊都乘以適當的數，使兩個方程里的某

一個未知數的系數互為相反數或相等；

②加減消元：把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求得一個未知數的值；

④代：將求出的未知數的值代入原方程組的任何一個方程中，求出另一個未知數的值;

⑤把這個方程組的解寫成的形式.

y=b

考點四二元一次方程組的應用

一、應用的核心問題

用二元一次方程組解決應用題中的實際問題的關鍵思路是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，關鍵是把已

知量和未知量聯系起來，找出題目中的等量關系。

二、常見的等量關系

①和，差，倍，分；

②數字〃右邊有一個〃位數兒則組成的數為：axlO"+%；

③〃年前，兩個人的年齡都要減〃：〃年后，兩個人的年齡都要加〃：

④每套需要/〃個A,需要〃個5,A的總數為a,3的總數為。，則有〃2：〃=。：〃：

⑤利潤=售價-成本=成本x利潤率：

⑥現在比原來提高（增加）20%：現在:原來x（1+20%）；

⑦利息=本金x年利率X年數；

⑧順水（順風）：（船速+水速）x順水時間=路程

⑨逆水（逆風）：（船速?水速）x逆水時間二路程

⑩工作總量=工作效率x工作時間（工作總量可以設為單位“1”）

考點五二元一次方程組與一次函數

一、點的坐標與方程（組）的解

①直線上點的坐標即為對應二元一次方程的解.；

②兩條直線的交點的坐標即為對應二元一次方程組的解；

二、方程組的解與一次函數圖象的關系

①一次函數的《值相等，〃不相等——＞兩直線平行，對應方程組無解；

②一次函數的〃值相等，〃相等一＞兩直線重合，對應方程組有無數組解;

③一次函數的〃值不相等一＞兩直線相交，對應方程組有唯一解：

三、確定一次函數表達式

①設y=kx+b。卻）；

②根據題目確定兩點坐標；

③代入式子求解二元一次方程組；

⑤同位角相等，兩直線平行;

⑥SSS證全等：

⑦S/1S證全等；

⑧ASA證全等：

考點九平行線的性質與判定

一、平行線的判定定理

①同位角相等，兩直線平行，

②內錯角相等，兩直線平行；

③同旁內角互補，兩直線平行：

④平行于同一條直線的兩直線平行：

⑤垂直于同一條直線的兩直線平行（在同一平面內）（需證明）；

二、平行線的性質定理

①兩直線平行，同位角相等；

②兩直線平行，內錯角相等；

③兩直線平行，同旁內角互補；

注意：拐點模型需要過拐點作平行輔助線；

考點十三角形的內外角

一、三角形的內角

①三角形內角和為180。；

②四邊形內角和為360。；

二、三角形的外角

①〃邊形的外角和為360。；

②三角形任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和：

考點十一感受可能性

一、事件的分類

二、頻率與概率

①頻率：相同條件下，〃次試驗中，事件A發生了加次，則為事件A發生的頻率：

②概率：用常數表示事件A發生的可能性大小，稱為事件A發生的概率，記為P（A）；

③隨著事件試驗次數的增加，該事件發牛.的頻率應趨于其概率：

考點十二全等三角形

①全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL

②全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等

考點十三等腰三角形

一、等腰三角形高頻考點

①等腰三角形兩底角的外角相等；

②等腰三角形“三線合一”（輔助線）：

③等腰三角形對稱軸（直線）：1條（普通等腰）“3條（等邊三角形）

二、等腰三角形的分類討論

①條件：內角、外角；

討論：頂角或者補角：

②條件：邊長：

討論：底邊或腰：

③條件：高、垂直平分線；

討論：銳角等腰三角形或者鈍角等腰三角形：

三、等邊三角形

①等邊三角形的判定;

三個內角都是60。的三角形是等邊三角形；

三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

有一個內角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

三個外角都是120。的三角形是等邊三角形；

有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形：

②60。角的用法：

同時出現兩個60。，構造等邊三角形；

同時出現60。和相等的邊，構造等邊三角形；

同時出現60。和垂直，找包含3Q。的直角三角形；

考點十四直角三角形

一、勾股定理：直角——＞邊長關系

勾股定理的逆定理：邊長關系——＞直角；

二、利用特殊直角三角形求解線段長度

①在直角三角形中，30。所對的直角邊是斜邊的?半;

②含有45。的直角三角形（等腰直角三角形）；

三、勾股定理折疊問題

①設未知數：

②折疊找全等：

③找對應邊對應角用未知數表示；

④根據勾股定理列方程求解未知數；

考點十五垂直平分線

一、定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

二、相關性質：

①垂直平分線垂直且平分其所在線段。

②如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。

③線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

逆定理；和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

④三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等。

三、輔助線：已知垂直平分線上?點和線段?端連接，做輔助線連接該點與線段另?端；

考點十六角平分線

一、定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角力射線叫做這個角的平分線。

二、相關性質

①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

②二角形二條角平分線的交點口L做二角形的內心。三角形的內心到三邊的距離相等；

三、輔助線：己知角平分線上的點到角的一邊的垂線，過該點作角另一邊的垂線：

考點十七不等式的有關概念

一、不等式定義：用符號"之”、連接而成的數學式子，叫做不等式。這5個用來

連接的符號統稱不等號。

二、列不等式：步驟如下

（1）根據所給條件中的關系確定不等式兩邊的代數式；

（2）正確理解題目中的關鍵詞語，如：多、少、快、慢、增加了、減少了、不足、不到、不大于、不小

于、不超過等確切的含義：

（3）選擇與題意符合的不等號將表示不等關系的兩個式子連接起來。

三、用數軸表示不等式

（1）/表示小于。的全體實數，在數軸上表示。左邊的所有點，不包括。在內。

（2）表示大于或等于。的全體實數，在數軸上表示。右邊的所有點，包括。在內。

<3）力VXV4）表示大于Z?而小于4的全體文數。

ha

考點十八不等式的基本性質

一、不等式的基本性質

（1）基本性質1：若則。<c。（不等式的傳遞性）

（2）基本性質2：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數，所得到的不等式仍成立。

①若a>b,則a+c>Z?+c,a-c>b-c；②若a<〃，則a+c<b+c,a-c<b-c<>

（3）基本性質3：

①不等式的兩邊都乘（或都除以.）同一個正數，所得的不等式仍成立；著110（）,則ac〉6c,

ah

—>—o

cc

②不等式的兩邊都乘（或都除以.）同一個負數，必須把不等號的方向改變，所得的不等式成立。

若a>b,且cv0,則4。v,—<—o

cc

二、比較等式與不等式的基本性質

等式的基本性質不等式的基本性質

性質1若a=b,b=c,則。=c若a<b,b<c,則a<c

若4=/?,若a>b,則4+c>〃+c,a-c>h-c\

性質2

則a+c=/?+c,a-c=b-c若avb,則a+cv/?+c,a-c<b-c

若a=b,則ac=be,若a>b,且c>0,則ac>Z?c,—>—；

cc

性質3ab(..x

_=_(cw())若a>b,且c<0,則ac<,—<—

cccc

考點十九一元一次不等式

一、一元一次不等式的概念：不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數，未知數的最高次數是一

次。

二、不等式的解集：能使不等式成立的未知數的值的全體叫做不等式的解集，簡稱不等式的解。

三、一元一次不等式的解法：步驟加下

（1）去分母：在不等式兩邊同乘分母的最小公倍數：（根據基本性質3）

＜2）去括號；把所有因式展開；（根據單項式乘多項式法則）

（3）移項：把含未知數的項移到不等式的左邊，不含有未知數的項移到不等式的右邊；（根據基本性質2）

（4）合并同類項：將所有的同類項合并，依＞?；颍ā薄?）；

（5）系數化為1：不等式兩邊同除以未知數的系數，或乘未知數系數的倒數。（根據基本性質3）

考點二十一元一次不等式組

一、一元一次不等式組的定義：一股地，由幾個同一未知數的一元一次不等式所組成的一組不等式。

二、一元一次不等式組的解：

不等式組在數軸上表示解集口訣

（0＜。＜。）

x>a

<

,-x>b取大

x>b0ab

x<a

x<a小小取小

x<b0ab

_1__1__

x>aa<x<b大小小大,取中間

0ab

x<b

x<a

無解小小，取不到

x>b0ab

三、解一元一次不等式組的方法：步驟如下

（1）求分解，分別解不等式組中的每一個不等式，并求出它們的解；

（2）畫公解，將每一個不等式的解集畫在同一數軸上，并找出它們的公共部分;

（3）寫組解，將（2）步中所確定的公共部分用不等式表示出來，就是原不等式組的解集。

典例真題演練

典例真題

（-）第一部分

I.已知一個布袋里裝有2個紅球，3個白球和〃個黃球，這些球除顏色外其余都相同.若從該布袋里

任意摸出?個球，是紅球的概率為；，則〃等于（）

A.1B.2C.3D.4

2.下列方程組中，是二元一次方程組的是（）

Z

x+y=4,2a—3>b=1i,x2=9.Ix4-y=8.

A.B.C.D.\,

2x+3y=15fh-4c=61y=2x1力一y=4

(lx+2y=19,

3.二元一次方程組\的解是()

(x-y=4

1X—1,X—3,x=4,Ix=-1,

A.\B.,C.D.\

{y=6.[y=-1.(y=SU=

fx=1,

4.甲、乙兩人同求方程ax-by=7的整數解，甲正確地求出一個解為\,乙把

[y=-1，

Jx-].

ax-by=7看成ax-by=1,

求得一個解為=2則*b的值分別為()

(a=2,a=5,a=3、\a=5,

A.\,B.,C.,D.\,

[b=5.b=2.b=5.U=3.

5.下列事件是不確定事件的是(

A.水中撈月B,守株待兔C.風吹草動D.水漲船高

6.如圖所示，如果/1A||CZ),CDIIEF，則Z.BCE可表示為()

A------

D

E於------------F

A.N1+N2B.Z2-Z1C.1800-Z2+Z1D,180°-Z1+Z2

7.把命題“實數是無理數”改成“如果…，那么…”的形式，它是

個命題.（填“真”或“假”）

Ix=—13.V+2y=m,

8.已知〈J是二元一次方程組

,的解，則〃i一〃的值是_______________

j，=2nx—y=I

10.若一個三角形的三個內角的度數之比是2:3:4,則它的三個外角的度數比為.

11.從學校任選一位同學，事件A：該同學是八年級的，事件B：該同學是九年級（2）班的，事件C：

該同學是男的，用PA,PB,PC分別表示事件A,B,C發生的可能性大小，按從小到大的順序

排列是.

12.某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統計了某一事件發牛?的頻率，繪制了如圖所示的折線圖.

該事件最有可能是（填寫一個你認為正確的序號）.

①擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上一面的點數是2；

②擲一枚硬幣，正面朝上；

③暗箱中有1個紅球和2個黃球，這些球除了顏色外無其他差別，從中任取一球是紅球.

13.甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按50%的利潤定價，乙服

裝按40%的利潤定價.在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157

元，求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？

14.已知一次函數j，=kx+b+6與一次函數y=-kx+/>+2的圖象的交點坐標為4（2,0）,

求這兩個一次函數的解析式及兩直線與軸圍成的三角形的面枳.

x+J，+z=12,....①

15.解方程組：\x+2y+5Z=22,②

x=4y.③

16.如圖；BD平分LABC,F在AB上，G在AC上，FC與BD相交于點

H.AGFH+ABHC=180°

求證：Z1=Z2.

BD1

17.如圖，在等腰AA8c中，AB=AC,A8>8C,點。在邊8c上，且BC-4,點￡、/在線段AQ上,

滿足N5EO=NCED=N8AC,若SAA8c=20,則S△A的+S0尸是多少？（）

B.12C.15D.18

B在同一直線上，AD=BC,DE//CF,AE//BF,求證：AE=BF.

AO是8c邊上的中線，”是A。上一點，延長8『交AC于E,且

求證：BF=AC.

A

BDC

20.如圖，在AAB。中，N"4Q=80。，。為9。延長線上一點，ZBAC=130%NA2D的角平分線與AC

交于點E,連接?！?/p>

(1)求證；點E到OA、QC的距離相等;

(2)求N3ED的度數.

22.如圖，4c中，NA3C=30。，NAC8=50。，DE、FG分別為43、AC的垂直平分線，E、G分別為

垂足.

(1)求ND4/的度數；

(2)若△松尸的周長為10,求8C的長.

23.如圖，直線/與加分別是△ABC邊AC和8c的垂直平分線./與〃［分別交邊8c于點。和點E.

(1)若人8=10,則的周長是多少？為什么？

(2)若NAC8=125。，求/力CE的度數.

24.如圖，△ABC中，NACB=90。，A。平分N8AC,OE_LAB于E.

(1)若/8AC=50。，求/ED4的度數：

(2)求證；直線4。是線段CE的垂直平分線.

25.己知：如圖，在△48C中，NBAC=100。，AB=4C,點。在8c上，且8。=84,點E在BC的延長

線上，且CE=C4.

(1)求NDAE的度數；

(2)如果把題目中“A3=AU的條件去掉，其他條件不變，那么ND4E的度數會改變嗎？請說明理由；

(3)若N3AC=a,其他條件與(2)相同，則ND4E的度數是多少？為什么？

26.如圖，在△A3C中，AZ)_L8C且所垂直平分AC,交AC于點尸，交BC于點E.

(1)若NBAE=32。，求NC的度數；

(2)若AC=6cm,DC=5cmf求△ABC的周長.

27.如圖，直角三角形48c中，/A=90。，作NBC尸=45。交邊A8于點F,作NCFE=NAR7交邊BC于

點￡,過點￡作EO_LCA于點。，￡。交b于點G,

求證：EF=EG.

28.已知，AABC是等邊三角形，D、E、產分別是48、BC、AC上一點，且NOE產=60。.

(1)如圖1,若/1=50。，求＞2；

(2)如圖2,連接?！?，若N1=N3,求證：DF//BC.

29.小明在學習了“等邊三角形”后，激發了他的學習和探究的興趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一

個等邊△A3C,如圖，并在邊AC上任意取了一點尸(點尸不與點4、點。重合)，過點”作「〃_LA3

交人3于點〃，延長到G,使得3G=AE,連接FG交A8于點/.

(1)若人C=10,求小的長度；

(2)延長8。到。，再延長84到E,便得連接ED,EC.求證：ZECD=ZEDC.

30.如圖，四邊形ABC。中，40=4,BC=\,NA=30°,NB=90°,Z4DC=120°,求CD的長.

31.如圖等腰直角AABC中，CA=C8,點E為AABC外一點CE=CA,且CO平分NACB交AE于。，且

ZCDE=60°.求證：ACBE為等邊三角形.

（二）第二部分

1.式子:①2>0;②4x+少41:③工+3=0;④y—7；⑤"?一2.5>3.其中不等式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.若x>>，，則下列式子中錯誤的是（）

xy

A.x-3>y-3B->-c.x+3>y+3D.—3x>-3y

JJ

3.〃，b都是實數，且〃v力，則下列不等式的變形正確的是（）

A.〃+x>力+xB.-4+1v—8+1

ab

C.3〃<3bD.5>5

4.解不等式2x》x—1,并把解集在數軸上表示（）

-2-1012

5.如圖，函數y=2x和y=+4的圖象相交于點A（〃?,3），則不等式2xvax+4的解集

為（）

A.-V<-B.X<3C.-v>-D.x>3

6.已知點M（3a—9,1—0在第三象限，且它的坐標都是整數，則〃=（）

A.1B.2C.3D.0

7.如圖，數軸所表示的不等式的解集是.

03

X-1>0.

8.不等式組'2、+3>x的解集是

9.已知直線y=2x+（3—4）與*軸的交點在A（2,0），B（3,0）之間（包括力、B兩點），

則a的取值范圍是.

10.某商場用36000元購進甲、乙兩種商品，銷借完后共獲利6000元.其中甲種商品每件進價120

元，售價138元：乙種商品每件進價100元，售價120元.

（1）該商場購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2）商場第二次以原進價購進甲、乙兩種商品.購進乙種商品為件數不變，而購進甲種商品的件數是第

一次的2倍，甲種商品按原售價出售，而乙種商品打折銷售.若兩種商品銷售完畢，要使第二次經營

活動獲利不少于8160元，乙種商品最低售價為每件多少元？

3x+2>x,

11.解一元一次不等式組：1并將解集在數軸上表示出來.

尸&2,

12.我市季養喜獲豐收，某生產基地收獲孽為40噸.經市場調查，可采用批發、零售、加工銷售三種銷

售方式，這三種銷售方式每噸孽拜的利潤如下表：

銷售方式批發零售加工銷售

利潤（百元/噸）122230

設按計劃全部售出后的總利潤為y百元，其中批發量為x噸，且加工銷售量為15噸.

（1）求與x之間的函數關系式；

（2）若零售量不超過批發量的4倍，求該生產基地按計劃全部售完季葬后獲得的最大利潤.

答案解析

(-)第一部分

1.A答案：A

2.A

3.B

4.B

5.B

6.cNBCE=乙BCD+/.ECD=N1+180°-Z2=180°-Z2+Z1

7.如果一個數是實數，那么它是無理數，假

8.4

9.72

10.7:6:5

11.PB<PA<Pc

12.③

x+y=500

([(1+50%)x+(1+40%))，]90%=500+157

甲、乙兩件服裝的成本分別為300元、200元：

14.將點4(2.0)分別代入兩個一次函數解析式，

0=2%+/)+6,

(0=-2〃+人+2.

(k=-\,

解得UA

\b=-4.

所以兩個一次函數的解析式分別為，=一》+2和y=x-2.

把x=0代入y=-X+2,得y=2：

把x=0代入y=x-2,得少=-2.

所以兩個一次函數與y軸的交點坐標分別為（2,0）和（-2,0）.

所以兩條直線與J，釉圍成的三角形面枳為；x(2+I-2|)x2=4

15.②一①，得

y+42=10..........④

將③代人①，得

5y+z=12..........⑤

由④、⑤，得

y+4==10.........④

<

5y+z=12..........⑤

解得

y=2,

z=2.

把P=2代入③，得

x=8.

原方程組的解是

x=8,

<y=2,

2=2.

16.\^GFH+ABHC=180°,ABHC=AFHD,

AGFH+AFHD=180°.

/.FG||BD,

Z1=AABD.

乂■/BD平分AABC,

LABD=Z2,

/.Z1-N2.

17.C.

18.解：*：DE//CFf

???ZCDE=ZFCD,

:.ZADE=4BCF,

'：AE//BF,

?\NA=NB,

在AA8E和△人。/中，

Z71=zZ?

AD=BC

/.ADE=乙BCF

工△ADE-BCF(ASA),

：,AE=BF.

19.解：如圖，延長EO到G,使。G=QR連結CG.

???A￡＞是BC邊的中線,

:?BD=CD.

在ABO尸和ACOG中

BD=CD

乙BDF=Z.CDG

DF=DG

9

.-.△BDF^ACDG(SAS),

:?BF=CG,NBFD=NG.

*：AE=EF,

???ZEAF=/EE\=NBFD,

.??NG=NCAG,

：.AC=CG,

：.BF=AC.

20.證明：(1)過E作￡T_LAB于凡EG_LA。于G,EHkBC于H,

〈BE平分NABD,

：,EH=EF,

VZBAC=130°,

：.ZFAE=ZCAD=50Q,

：.EF=EG,

:?EG=EH,

；?ED平分NCDG,

，點E到D4、DC的距離相等;

(2)TED平分NCDC,

ZHED=NDEG,

設NO￡G=y,/GEB=x,

〈NEEA=NEGA=90。,

：.ZGEA=ZFEA=40°,

■:ZEFB=NEHB=90。,ZEBF=NEBH,

FEB=NHEB,

2y+x=80-x,

2y+2x=80,

y+x=40,

即NDEB=400?

21.證明：

過戶作PQ_LA8于Q,PNYBC于N,尸M_LAC于M,

VZ1=Z2.Z3=Z4,

:?PQ=PN,PN=PM,

；.PQ=PM,

???PQ_LA8,PM±AC,

平分NR4C

’4

22.解；(1)ZBAC=180°-Z.ABC-Z/4C^=180°-30°-50°=100°,

???OE是4B的垂直平分線，

；?DA=DB,

：?NDAB=NABC=3()0,

???bG是4c的垂直平分線，

：.FA=FC,

；?NFAC=ZACB=50°,

：,ZDAF=ZBAC~(ZDAB+ZFAC)=20°：

(2)???△D4廣的周長為10,

：,ALHDF+FC=\0,

ABC=BD+DF+FC=AD+DF+FC=10.

23.解：(1)△CQE的周長為10.

???直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，

：,AD=CD,BE=CE,

.二△COE的周長=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10；

(2)???直線/與根分別是aABC邊AC和8C的垂直平分線，

：.AD=CD,BE=CE,

,NA=NACO,ZB=ZBCE,

又丁ZACB=125°,

.,.ZA+ZB=I80°-125°=55°,

:*ZACD+ZBCE=55°,

AZDCE=ZACB-(NACO+/BCE)=125°-55°=70°.

24.(1)解：VZB4C=50°,AQ平分N8AC,

1

:.ZEAD_2ZBAC=25°,

*：DEAB,

JZAED=90°,

.\ZEDA=90o-25°=65°.

(2)證明

:.乙4七。=90。=/4。氏

又?.'AO平分N84C,

:.NDAE=NDAC,

\'AD=AD,

:.AAED絲△ACD,

：,AE=AC,

?「AQ平分/8AC,

：.ADA.CE,

即直線AD是線段CE的垂直平分線.

25.解：(1)'：AB=AC,N陰C=100。，

.?.ZB=ZACB=40°,

?:BD=BA,

1

./.BAD=Z.BDA=受180°-乙B)=70°

\'CE=CA,

1

/.CAE=zE=-zJ\CR=20°

:.2,

在中，ZBAE=180°-ZB-ZE=i2O0,

:.ZDAE=NBAE-NR4O=50＞；

(2)不改變，

設NCAE=x。，

，：CE=CA,

：.ZE=ZCAE=x\

AZACB=ZE+ZCAE=2xQ,

???在△八BC中，Z?/1C-100°,

:.NB=180°-NBAC-NACB=80°-2v°,

又.：BD=BA,

1

.zZ?/lD=z/?D/l=^(180o-Z/?)=50°+x°

AZDAE=ZBAE-ZBAD=(100°+x°)-(50°+x°)=50°；

1

Z.DAE=-a

(3)2,

BD=BA,

1

乙BAD=Z.BDA=示180°—Zfi)

11

.Z.DAC=Z.BAC-Z.BAD=a--(1800-zH)=a-90°+嚴

\'CE=CA,

1

Z.CAE=ZE=-Z.ACR

:.2,

1111

.Z.DAE=Z.DAC+LCAE=a-90°+-Z.B+=a-90°+-(180°-a)=-a

?*

26.解:(1)VADIBC,BD=DE,E/垂直平分AC

：.AB=AE=EC

AZC=ZCAE,

VZB4E=32°

1

AZAED~2(180°-32°)=74。：

1

.,.ZC-2zAED=37°；

(2)由(1)知：AE=EC=AB,

,:BD=DE,

：.AB+BD=EC+DE=DC,

???AABC的周長=A8+8C+AC,

=AB+BD+DC+ACt

=2DCMC=2x5+6=16(cm').

27.證明：VZA=9O0,

：.CA±AB,

*：EDLCA,

:.ED〃AB,

:.NDGC=ZAFC,

VZEGF=ZDGC,ZCFE=AAFC,

：.ZEGF=NCFE,

：.EF=EG.

28.解；(1)?「△ABC是等邊三角形，

???/8=NA=NC=60。，

???/8+/l+NQE8=180。，

/DEB+NDEF+Z2=180°,

,/ZDEF=60°,

:.N1+NDEB=N2+NDEB,

AZ2=Z1=5O°：

(2)VZB+Zl+ZDE^=180°,ZFDE+Z3+ZDEF=180°,

又?.?/B=60°,NOE尸=60°,Z1=Z3,

/FDE=NDEB,

：,DF//BC.

29.(1)解：??.△ABC是等邊三角形，

:.NABC=NACB=60。,

如圖1,過廣作交BC于D,過F作卬〃8C,交.AC于N,

：.ZFDC=/八3c=60。，

:.NFDC=ZACB=ZCFD=6C°,

.)△CD廣是等邊三角形，

:.CD=CF,

'：AC=BC,

：.AF=BD,

*：BG=AF,

：.BD=BG,

VBI//DF,

：.GI=FL

YFN//BG,

:.ZFNI=NGBI,

在AFN1和AGB1中，

(乙FNI=Z.GB1

Z.NIF=乙RIG

Fl=Gl

?，

：.4FN1@4GBi(AAS),

:.NI=BI,FN=BG,

：,FN=AF,

'：FHLAB,

:?AH=HN,

11

=-="X

：,HI=HN+NI2AB2io=5：

(2)證明：如圖2,延長。。至P,使8C=QP,連接AP、EP,

:.BD=CP,

,:AE=BD,

：,AE=CP,

在"CP和ACAE中，

CP=AE

Z-ACP=Z.CAE=120°

AC=CA

?f

：.(SAS),

：.AP=CE,

；BE=AB+AE,RP=BC+CP,

:?BE=BP,

???