指數函數

概念：一般地，函數y=a^x（a>0,且a#l）叫做指數函數，其中x是自變量，函數

的定義域是R。

注意：L指數函數對外形要求嚴格，前系數要為1，否則不能為指數函數。

2.指數函數的定義儀是形式定義。

指數函數的圖像與性質：

規律：1.當兩個指數

函數中的a互為倒數時，兩個函數關于/軸對稱,但這兩個函數都不具有

奇偶性。

2.當a>l時，底數越大，圖像上升的越快，在y軸的右側，圖像越靠近y軸：

當OVaVl時，底數越小，圖像下降的越快，在y軸的左側，圖像越靠近y軸。

在y軸右邊“底天圖高;在y軸左邊“底大窗低

3.四字口訣：“大增小減”。即：當a>l時，圖像在R上是增函數；當OVaVl時,

圖像在R上是減函數。

4.指數函數既不是奇函數也不是偶函數。

比較幕式大小的方法：

1.當底數相同時，則利用指數函數的單調性進行比較；

2.當底數中含有字母時要注意分類討論；

3.當底數不同，指數也不同時，則需要引入中間量進行比較：

4.對多個數進行比較，可用0或1作為中間量進行比較

底數的平移：

在指數上加上一個數，圖像會向左平移；減去一個數，圖像會向右平移.

在f(X)后加上一個數，圖像會向上平移；減去一個數，圖像會向下平移。

對數函數

1.對數函數的概念

由于指數函數戶ax在定義域(-8,+8)上是單調函數，所以它存在反函數，

我們把指數函數丫=2%2>0,aWl)的反函數稱為對數函數，并記為y=logaX(a>0,a^l).

因為指數函數y=ax的定義域為(-8,+oo),值域為(O,+oo),所以對數函數y=]ogax的

定義域為(0，+8),值域為(-8,+OO).

2.對數函數的圖像與性質

對數函數與指數函數互為反函數，因此它們的圖像對稱于直線y=x.據此即可以畫

出對數函數的圖像，并推知它的性質.

為了研究對數函數y=logax(a>0,a#l)的性質，我們在同一直角坐標系中作出函數

W1)的圖像的特征和性質.見卜表.

a>la<l

”-7

X=1i

圖y

y=logaX{cl>l)

(10)

X'，'___________?

X?

oX.x

U

象(lfo)X

y=logax(0<a<l)

(l)x>0

性(2)當x=l時,y=0

質(3)當x>l時，y>0(3)當x>l時,y<0

OVxVl時，y<0OVxVl時，y>0

(4)在(0,+8)上是增函數(4)在(0,+8)上星減函數

補設yi=logaXy2=logbx其中a>l,b>l(或OVaVI0<b<l)

充當x>l時“底大圖低”即若a>b則y>y2

性當OVxVl時“底大圖高”即若a>b,則y>y2

質

比較對數大小的常用方法有:

⑴若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行判斷.

⑵若底數為同一字母，則按對數函數的單調性對底數進行分類討論.

（3）若底數不同、真數相同，則可用換底公式化為同底再進行比較.

⑷若底數、真數都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進行比較.

3.指數函數與對數函數對比

名稱指數函數對數函數

x

一般形式y=a(a>0,aWl)y=logax(a>0,aWl)

定義域(-8,4-00)(0,+8)

值域(0,+00)(-8,+°°)

當a>l時，當a>l時

函>l(x>0)>O(x>l)

1

數a<=l(x=0)Ioga=O(x=l)

<l(x<0)<O(x<l)

值

當0<aVl時、當0<aVl時，

變

[<iu>o)<O(x>l)

化

ax<=](x=0)log.=O(x=l)

情>l(x<0)>0(x<1)

況

單調性當a>1時，a'是增函數；當a>l時，logaX是增函數；

當OVaVl時，ax是減函數.當OVaVl時，logaX是減函數.

x

圖像y=a的圖像與y=logax的圖像關于直線y二x對稱.

幕函數

事函數的圖像與性質

幕函數），=乂隨著〃的不同，定義域、值域都會發生變化，可以采取按性質和圖像分

類記憶的方法.熟練掌握），=/,當〃=±2,±1,±',1,3的圖像和性質，列表如下.

23

從中可以歸納出以下結論：

①它們都過點（1,1）,除原點外，任何存函數圖像與坐標軸都不相交，任何事函

數圖像都不過第四象限.

=g,：,1,2,3時?，幕函數圖像過原點且在［0,+8）上是增函數.

②a

時，鼎函數圖像不過原點且在（0,+8）上是減函數.

④任何兩個幕函數最多有三個公共點.

1

y=.一V=Xy=/.v=k

定義域RRR{x|x>0}{x|xwO}

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第I象限的增減在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限

性單調遞增單調遞增單調遞增單調遞增單調遞減

暴函數）'=/（X￡R,。是常數）的圖像在第

一象限的分布規律是：

①所有累函數＞二x"（X￡R,°是常數）的圖

像都過點（U）；

a=1,2,3,—_a

②當2時函數y=x的圖像都過原

點（°，°）；

③當。=1時，）'=/的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如C’2）；

④當a=2,3時，）'='的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如J）

1

Ct——_a

⑤當2時，”的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如Q）

⑥當a=-l時，）'二/的的圖像不過原點（°，°）,且在第一象限是“下滑”曲線（如S）

當a＞o時，基函數）'二?/有下列性質：

（1）圖象都通過點（a°），（u）：

（2）在第一象限內都是增函數；

（3）在第一象限內，時，圖象是向下凸的；（）＜。＜1時，圖象是向上凸的；

（4）在第一象限內，過點（U）后，圖象向右上方無限伸展。

當。＜。時:暴函數）'=/有下列性質：

（1）圖象都通過點（11）；

（2）在第一象限內都是減函數，圖象是向下凸的：

（3）在第一象限內，圖象向上與）'軸無限地接近；向右無限地與工軸無限地接近；

（4）在第一象限內，過點（U）后，越大，圖象下落的速度越快。

無論。取任何實數，幕函數）'二丁的圖象必然經過第一象限，并且一定不經

過第四象限。

對號函數

b

函數>=4X+—(a>0,b>0)叫做對號函數，因其在(()，+8)的圖象似符號“J”

而得名，利用對號函數的圖象及均值不等式，當x>0時，ax+->2j-(當且僅當

%\ax

即尤時取等號)，由此可得函數y=+2(a>O,b>O,x^R+)的性質:

Vax

當X=心時,函數y=ax+2（a>O,b>O,x￡R，）有最小值2.1—,特別地，當a=b=1

\a'xVa

時函數有最小值2。函數)'=ax+^(a>0,b>0)在區間(0,2)上是減函數，在區間(b

xa

+8)上是增函數。

因為函數y=+2(a>0,b>0)是奇函數，所以可得函數)=以+2(a>O.b>O,xER)

XX

的性質:

bJL

當工二時，函數y=ax+—(a>O,b>O,x￡Rl有最大值-2、，一，特別地，當a=b=l

X

時函數有最大值-2。函數y=ax+2(a>0,b>0)在區間)上是增函數，在區

xVa

間(-^―?0)上是減函

奇函數和偶函數

(1)如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個X值，都有f(一x)=-(x).那么就稱f(x)為奇

函數.

如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個X值，都有f(-x)=f(x),那么就稱f(x)為偶函數.說

明：(1)由奇函數、偶函數的定義可知，只有當f(x)的定義域是關十原點成對稱的若十區同時，

才有可能是奇

(2)判斷是不是奇函數或偶函數，不能輕率從事，例如判斷f(x)是不易的.為了便于判斷

有時可采取如下辦法：計算f(x)+f(-x),視其結果而說明是否是奇函數.用這個方法判斷此

函數較為方便：f(x)

(3)判斷函數的奇偶性時，還應注意是否對定義域內的任何x值，當>^M0時?，顯然有f(一

x)=-f(x),但當x=0時,f(—x)=f(x尸1,???f(x)為非奇非偶函數.

(4)奇函數的圖象特征是關于坐標原點為對稱的中心對稱圖形：偶函數的圖象特征是關于

y軸為對稱軸的對稱圖形.

(5)函數的單調性與奇偶性綜合應用時，尤其要注意由它們的定義出發來進行論證.例

如果函數f(x)是奇函數，并且在(0,+8)上是增函數，試判斷在(一8,0)上的增減性.

解設xl,x2e(-oo,0),且xlVx2V0

則有一xl>-x2>0,

???f(x)在(0,+8)上是增函數，

.?.f(-xl)>f(-x2)

又YRx)是奇函數，.?.f(x)=一f(x)對任意x成立，

.,.=-f(xl)>-f(x2)

/.f(xl)<f(x2).

???￡仁)在(一8,0)上也為增函數.

由此可得出結論：一個奇函數若在(0,+8)上是增函數，則在(一8,0)上也必是增函

數，即奇函數在(0,+8)上與(一8,0)上的奇偶性相同.

類似地可以證明，偶函數在(0,+8)和(-8,0)上的奇偶性恰好相反.

時，f(x)的解析式

解Vx<0,A-x>0.

又???f(x)是奇函數，；?f(一x尸一f(x).

........桐茵藪囪篆前麻程芭樂產茸應聲........

我們知道，如果對于函數y=f(x)定義域內任意一個x,都有

f(-x)=f(x),那么函數y=f(x)就叫做偶函數.偶函