2025年長沙市初中學業水平考試試卷數學注意事項：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和座位號：2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分。一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的。請在答題卡中填涂符合題意的選項。本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學家已經探明一年之中地球與太陽之間的距離隨時間變化而變化，地球與太陽之間的平均距離約為149600000km，用科學記數法將數據149600000表示為（）A． B． C． D．2．下圖是由五個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．3．在實際生活中，常用正數、負數表示具有相反意義的量。如果把向東走80米記作米，那么向西走60米記作（）A．米 B．米 C．米 D．米4．下列運算正確的是（）A． B． C． D．5．2020年，我國承諾，力爭于2030年前實現“碳達峰”，2060年前實現“碳中和”。倡導低碳生活是每個公民的社會責任。某班環保小組為了解同學們去年各自家庭月平均“碳足跡”的情況，收集了本組8名同學的家庭月平均用電產生的耗碳量（單位：千克）數據，依次為：76，78，77，79，78，75，78，80．則這組數據的眾數是（）A．77 B．78 C．79 D．806．智慧農業廣泛應用智能機器人。某品牌智能機器人的一個機械手平均每分鐘采摘10個蘋果。若該機器人搭載m個機械手（），則該機器人平均每分鐘采摘的蘋果個數為（）A．6m B． C．60m D．10m7．如圖，，直線EF與直線AB，CD分別交于點E，F，直線EG與直線CD交于點G．若，，則的度數為（）A．50° B．60° C．65° D．70°8．如圖，AC，BC為的弦，連接OA，OB，OC．若，則的度數為（）A．40° B．45° C．50° D．55°9．如圖，將沿折痕AD折疊，使點B落在AC邊上的點E處，若，則的周長為（）A．5 B．6 C．6.5 D．710．中國式現代化取得了彪炳史冊的偉大成就，極大地提升了我國的綜合國力與國際影響力。據世界銀行公布的2024年各國GDP數據，可知2024年中國GDP總量為18.53萬億美元。附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國家數據表國家GDP總量（單位：萬億美元）國家GDP總量（單位：萬億美元）德國4.59巴西2.33印度3.93俄羅斯2.05英國3.49韓國1.76法國3.13瑞士0.93預計2025年中國GDP總量的增長率為5%左右，請你根據以上信息估算：2025年中國GDP的增長量與下列哪個國家2024年GDP總量最接近？（）A．法國 B．瑞士 C．巴西 D．英國二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．分解因式：______．12．為了解某校學生利用全國中小學智慧教育平臺輔助學習的情況，從該校全體3600名學生中，隨機調查了100名學生，統計結果顯示僅有3名學生從未使用該平臺輔助學習。由此，估計該校全體學生中，從未使用該平臺輔助學習的學生有______名。13．分式方程的解為______。14．如圖，AB為的弦，于點C，連接OA，OB，若，，則OA的長為______。15．如圖，五邊形ABCDE中，，，，則______°．16．衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾Ｇ嗌倌赀~開人生第一步就要走正道，要嚴格遵守國家法律法規。同樣的道理，學習數學首先就必須遵守數學中的基本法則。例如：下面命題的推理過程所得出的錯誤結論就是由于不遵守數學的基本法則導致的。命題：如果a，b，c為實數，且滿足．那么．推理過程如下：第一步：根據上述命題條件有； ①第二步：根據七年級學過的整式運算法則有； ②第三步：把②代入①，可得； ③第四步：把③兩邊利用移項、去括號法則、加法交換律等，變形可得；④第五步：把④兩邊同時除以，得．⑤請你判斷上述推理過程中，第______步是錯誤的，它違背了數學的基本法則。三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．計算：．18．解不等式組：19．如圖，在中，，以點C為圓心，適當長為半徑作弧，交CA于點M，交CB于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點D．（1）求的度數；（2）若，求AD的長。20．2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學閱讀教育論壇在長沙舉行。論壇聚焦美育與閱讀融合。為探索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識競賽，競賽成績以等第形式呈現，隨機抽取了部分參賽學生的成績進行統計，得到如下兩幅待完善的統計圖表．（A代表優秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格。）等第頻數頻率A20mB300.30Cn0.44D60.06根據圖表中所給信息，解答下列問題：（1）本次調查隨機抽取了______名學生的成績；表中______，______；（2）在扇形統計圖中，“A等”所對應的扇形的圓心角為______度；（3）若該校八年級一班和二班恰好各有2名學生的參賽成績是“A等”，從這4名學生中隨機抽取2名學生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級閱讀分享活動，請用列表法或樹狀圖法求選出的2名學生恰好來自同一個班級的概率。21．如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在AB，CD上，且．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）連接EF，若，，求EF的長。22．為落實科技興農政策，某鄉辦食品企業應用新科技推動農產品由粗加工向精加工轉變。根據市場需求，該食品企業將收購的農產品加工成A，B兩種等級的農產品對外銷售，已知銷售6千克A等級農產品和4千克B等級農產品共收入112元，銷售4千克A等級農產品和2千克B等級農產品共收入68元。（不考慮加工損耗）（1）求每千克A等級農產品和每千克B等級農產品的銷售單價分別為多少元？（2）若該食品企業以每千克8元購進6000千克農產品，全部加工后對外銷售，要求總利潤不低于16000元，則至少需加工A等級農產品多少千克？23．如圖，某景區內兩條互相垂直的道路a，b交于點M，景點A，B在道路a上，景點C在道路b上。為了進一步提升景區品質，景區管委會在道路b上又開發了風景優美的景點D．經測得景點C位于景點B的北偏東60°方向上，位于景點A的北偏東30°方向上，景點B位于景點D的南偏西45°方向上。已知．（1）求的度數；（2）求景點C與景點D之間的距離。（結果保留根號）24．我們約定：當滿足，且時，稱點與點為一對“對偶點”。若某函數圖象上至少存在一對“對偶點”，就稱該函數為“對偶函數”。請你根據該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”）：①函數（k是非零常數）的圖象上存在無數對“對偶點”；（）②函數一定不是“對偶函數”；（）③函數的圖象上至少存在兩對“對偶點”。（）（2）若關于x的一次函數與（都是常數，且）均是“對偶函數”，求這兩個函數的圖象分別與兩坐標軸圍成的平面圖形的面積之和；（3）若關于x的二次函數是“對偶函數”，求實數a的取值范圍。25．如圖1，點O是以AB為直徑的半圓的圓心，AD與BC均為該半圓的切線，C，D均為直徑AB上方的動點，連接CD，且始終滿足．（1）求證：CD與該半圓相切；（2）當半徑時，令，，，，比較m與n的大小，并說明理由；（3）在（1）的條件下，如圖2，當半徑時，若點E為CD與該半圓的切點，AC與BD交于點G，連接EG并延長交AB于點F，連接AE，BE，令，，求y關于x的函數解析式。（不考慮自變量x的取值范圍）2025年長沙市初中學業水平考試試卷數學參考答案及評分標準一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）題號12345678910答案BAACBDBCDB二、填空題（本題共6個小題，每小題3分，共18分）11．；12．108；13．；14．6；15．205；16．五。三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．解：原式．18．解：解不等式①，得．解不等式②，得．∴不等式組的解集為．19．解：（1），．由作圖可知，CD是的角平分線，．（2）在中，由三角形內角和定理得，，，在中，，．．．．，．20．解：（1）100；0.20；44；（2）72；（3）記“選出的2名學生恰好來自同一個班級”為事件A，設一班的2名學生為甲和乙，二班的2名學生為丙和丁，畫出樹狀圖：一共有12種等可能的結果，其中事件A包含4種可能的結果。．21．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴且．又，．．又．∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）過點E作于點H．∵四邊形ABCD是正方形，，．又，∴四邊形EBCH是矩形。．又，．在中，由勾股定理得．22．解：（1）設A等級農產品每千克銷售單價為x元，B等級農產品每千克銷售單價為y元，由題意得解得答：A等級農產品每千克銷售單價為12元，B等級農產品每千克銷售單價為10元。（2）設需加工A等級農產品m千克，則需加工B等級農產品千克，由題意得．解得，答：要求總利潤不低于16000元，則至少需加工A等級農產品2000千克。23．解：（1）如圖，由題意可得，．．．（2）方法一：，．由（1）得．．又，．在中，，，，．．，．．∴景點C與景點D之間的距離為．方法二：，，．設，則，．在中，，即，解得．經檢驗得是原方程的解。．，，．．∴景點C與景點D之間的距離為．24．解：（1）①（√）；②（√）；③（×）．（2）由題意可得，，點與點且是一對“對偶點”，由于是“對偶函數”，則其圖象上必存在一對“對偶點”。從而有，兩式相減可得，同理可得．所以兩個一次函數為，，由于，都是常數，且，故此兩個一次函數的圖象分別與兩坐標軸圍成的平面圖形是有公共直角頂點的分別位于二、四象限的兩個等腰直角三角形，如下圖所示求得其面積之和（3）方法一：由題意可得，且時，有，以上兩式相減可得，從而將，代入①整理可得，此關于的一元二次方程必有實數根，由于時，（不符合題意）．從而必有，解得．方法二：由題意可得，由于函數是“對偶函數”，所以它的圖象上一定存在一對“對偶點”點與點且．不妨設經過，兩點的直線（一次函數）的解析式為，由題意可得，即．聯立，①－②得．由直線與二次函數圖象必有兩個不同交點，故必有（*）。，③-④得，將其代入（*）可得，解得．方法三；由題意可得，且時，有，以上兩式相減可得，以上兩式相加變形可得，所以關于的一元二次方程必有兩個不等實數根，從而，解得．25．解：（1）證法一：如圖1，連接OC，OD，過O作于點E．令．由于，則有，化簡得，∴CD與該半圓相切。證法二：如圖2，連接C