【課題】2．1橢圓（二）【教學目標】知識目標：理解標準方程所表示的橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質．能力目標：學生的數學思維能力得到提高．【教學重點】橢圓的性質．【教學難點】橢圓離心率概念．【教學設計】本課利用研究代數問題的方法研究橢圓的范圍、對稱性和頂點．a和b分別表示橢圓的半長軸長和半短軸長．橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，即．教材從代數的角度，介紹了離心率的大小與橢圓的扁平程度之間的關系．例3是橢圓的性質的訓練題．利用對稱性，作圖會簡便的多，可以讓學生自行練習．例4是求橢圓方程的訓練題．例5是實際應用問題．這些題目都屬于基礎性訓練題．【教學備品】教學課件．【課時安排】2課時．(90分鐘)【教學過程】教學過程教師行為學生行為教學意圖時間*揭示課題2．1橢圓．*創設情境興趣導入前面我們根據橢圓的定義，選取適當的坐標系，得到了橢圓的標準方程．下面將通過對方程的研究，來認識橢圓的性質．介紹播放課件質疑了解觀看課件思考引導啟發學生得出結果05*動腦思考探索新知 1．范圍 從方程中可以看到： 即－a≤x≤a，－b≤y≤b． 這說明橢圓位于四條直線所圍成的矩形內（如圖2－4）．圖2－42．對稱性在橢圓的標準方程中，將y換成－y，方程依然成立．這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關于x軸的對稱點也在橢圓上，因此橢圓關于x軸對稱（如圖2－5）．同理，將x換成－x，方程依然成立．這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關于y軸的對稱點也在橢圓上（如圖2－5）；將x換成－x，y換成－y，方程依然成立．這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關于坐標原點的對稱點也在橢圓上（如圖2－5）．由此可知，橢圓既關于x軸對稱，又關于y軸對稱，還關于坐標原點對稱．x軸與y軸都叫做橢圓的對稱軸，坐標原點叫做橢圓的對稱中心（簡稱中心）．圖2－5 3.頂點 在方程中，令y=0，得x=±a，說明橢圓與x軸有兩個交點和；同樣，令x=0，得y=±b，說明橢圓與x軸有兩個交點和（如圖2－4）． 橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．因此四個點是橢圓的四個頂點．線段分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b．a和b分別表示橢圓的半長軸長和半短軸長． 4．離心率 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，記作e．即． 因為a＞c＞0，所以0＜e＜1．當e增大逐漸接近1的時候，c逐漸接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，當e減小逐漸接近0的時候，c逐漸接近0，從而逐漸接近a，此時橢圓逐漸接近于圓．【說明】 有些書中將圓看成橢圓的特殊情況：當e=0的時候，b=a，此時橢圓就成為圓．本套教材中，將原與橢圓最為不同的曲線來進行研究，所以橢圓的離心率e≠0，即橢圓的離心率滿足0＜e＜1．總結歸納分析關鍵詞語思考理解記憶引導學生發現解決問題方法25*鞏固知識典型例題例3求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用“描點法”畫出它的圖形． 解將所給的方程化為標準方程，得． 這是焦點在x軸上的橢圓的標準方程，并且a=5，b=3． 因為． 所以橢圓的長軸長2a=10，短軸長2b=6，離心率焦點坐標為頂點坐標為 可以先畫出橢圓在第一象限及其邊界內的圖形，然后再利用橢圓的對稱性，畫出全部圖形． 在第一象限及其邊界內橢圓方程可以變形為 在區間[0，5]內，選出幾個x的值，計算出對應的y值．列表：x012345y32.942.2752.41.80 以表中的x值為橫坐標，對應的y值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點(x，y)，用光滑的曲線順次聯結各點得到橢圓在第一象限及其邊界內的圖形．然后利用橢圓的對稱性，畫出全部圖形（如圖2－6）．圖2－6 例4求適合下列條件的橢圓的標準方程： （1）經過點P(－3，0)、Q(0，－2)； （2）長軸長為18，離心率為． 解（1）由于點P、Q在坐標軸上，并且以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的焦點就是橢圓的頂點，故點P、Q分別是橢圓長軸和短軸的一個端點．于是a=3，b=2． 由于橢圓的長軸在x軸上，故橢圓的焦點在x軸上．因此所求的橢圓標準方程為． （2）因為所以a=9，c=3． 于是 橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上．因此，所求的橢圓方程為或．【說明】要注意橢圓的焦點與長軸始終在同一個軸上．求橢圓的標準方程時，如果不能確定焦點的位置，要針對不同的情況，給出兩種標準方程． 例5已知一個橢圓形的油桶蓋，其長軸的兩端到一個交點的距離分別為40cm和10cm（如圖2－7）．求橢圓的標準方程與兩個焦點的坐標．圖2－7 解由已知得，． 于是有 解得a=25，c=15． 因此． 故橢圓的標準方程為． 焦點坐標為引領講解說明觀察思考主動求解注意觀察學生是否理解知識點50*運用知識強化練習求適合下列條件的橢圓的標準方程．（1）a=4，b=1，焦點在x軸上；（2），焦點在y軸上．提問巡視指導動手求解及時了解學生知識掌握情況60*理論升華整體建構思考并回答下面的問題：什么叫做橢圓的離心率？結論：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，記作e．即．質疑歸納強調回答理解強化師生共同歸納強調重點70*歸納小結強化思想本次課學了哪些內容？重點和難點各是什么？引導回憶75*自我反思目標檢測本次課采用了怎樣的學習方法？你是如何進行學習的？你的學習效果如何？求e=0.8，c=4的橢圓的標準方程．提問巡視指導反思動手求解培養反思學習過程的能力85*繼續探索活動探究(1)讀書部分：教材(2)書面作業：教材習題2．1（必做）；學習指導2．1（選做）(3)實踐調查：運用本課所學知識，解決實際問題說明記錄分層次要求90【教師教學后記】項目反思點學生知識、技能的掌握情況學生是否真正理解有關知識；是否能利用知識、技能解決問題；在知識、技能的掌握上存在哪些問題；學生的情感態度學生是否參與有關活動；在數學活動中，是否認真、積極、自信；遇到困難時，是否愿意通過自己的努力加以克服；學生思維情況學生是否積