/安徽省阜陽(yáng)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．已知集合，，則()A. B. C. D.2．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則()A. B. C. D.3．已知雙曲線的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.4．已知函數(shù)，則不等式的解集為()A. B. C. D.5．“”是“直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件6．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為()A. B. C. D.7．已知直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且，，，，則此球的表面積等于()A. B. C. D.8．已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞減的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是()A.36 B.42 C.72 D.84二、多項(xiàng)選擇題9．已知向量，，則下列命題正確的有()A.若，則 B.若，則C. D.的最大值為310．已知在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N，P，Q分別是，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)E為正方形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是()A.平面B.平面平面C.三棱錐的體積為D.若點(diǎn)E到直線與到直線的距離相等，則點(diǎn)E的軌跡為圓的一部分11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若，，，則()A. B. C. D.三、填空題12．已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品.某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸X服從正態(tài)分析，且，則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的1000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.13．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則________.14．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，，A，B是橢圓上兩點(diǎn)，四邊形為矩形，延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)P，若，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______.四、解答題15．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.16．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，E為的中點(diǎn)，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.17．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，特別地，當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，.（1）求拋物線C的方程；（2）已知點(diǎn)，若，求的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.18．某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時(shí)間不低于10小時(shí)的為合格品，工程師選擇某臺(tái)生產(chǎn)電池的機(jī)器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計(jì)調(diào)試前451560調(diào)試后35540合計(jì)8020100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；（2）現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件做對(duì)比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機(jī)抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為Y，求使事件“”的概率最大時(shí)k的取值.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82819．如果無(wú)窮數(shù)列滿足“對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)k，使得”，則稱(chēng)數(shù)列具有“性質(zhì)P”.（1）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且公比，，，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)P”；（2）若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)P”，當(dāng)且僅當(dāng)；（3）如果各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)P”，且，，，四個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)出現(xiàn)在數(shù)列中，求的所有可能取值之和.

參考答案1．答案：B解析：根據(jù)題意，，則，故選：B.2．答案：A解析：由已知有，故.故選：A.3．答案：C解析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，左焦點(diǎn)，其到漸近線的距離為，因?yàn)椋?故選：C.4．答案：D解析：由于的定義域?yàn)镽，且，故是偶函數(shù).而對(duì)，有，故.所以在上遞增.從而不等式等價(jià)于，即.此即，即，解得.故選：D.5．答案：A解析：要使直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，當(dāng)且僅當(dāng)圓心到直線l的距離.此即，即，即或，即或.顯然，“”是“或”的充分不必要條件.故選：A.6．答案：D解析：因?yàn)椋裕瑒t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.7．答案：B解析：如圖底面三角形的外心是，，在中，，可得，由正弦定理可得外接圓半徑，設(shè)此圓圓心為，球心為O，在中，易得球半徑，故此球的表面積為故選：B.8．答案：C解析：若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，則，，，此時(shí)有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)有：個(gè)；若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，，此時(shí)有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)有：個(gè)；若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，，此時(shí)有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)有：個(gè)；若、和在上單調(diào)遞減，則，，，此時(shí)有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)有：個(gè)；綜上所述：共有個(gè).故選：C.9．答案：ABD解析：A.，故，選項(xiàng)正確，符合題意；B.當(dāng)，則，有，故，選項(xiàng)正確，符合題意；C.，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.，當(dāng)時(shí)，的最大值為3，選項(xiàng)正確，符合題意；故選：ABD.10．答案：AB解析：對(duì)于A，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N，P，Q分別是，，，的中點(diǎn)，，，平面，平面，所以平面，A正確；對(duì)于B，在正方形中，，又，所以，在正方體中，平面，，，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線，所以平面因?yàn)槠矫妫虼似矫嫫矫妫珺正確；對(duì)于C，連接，，，，則三棱錐的體積為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)E為正方形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E到直線與到直線的距離相等，轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)E到B的距離與點(diǎn)E到直線的距離相等，則點(diǎn)E的軌跡是拋物線的一部分，D錯(cuò)誤；故選：AB.11．答案：AC解析：由，取，即得，故A正確；又由，可得，即，則有，將其兩邊求導(dǎo)得，，把代入可得，（*），即，從而，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為4.又由可得，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由（*）可得，，即得，又，即得，，于是，即B錯(cuò)誤；因，故，即C正確；對(duì)于D，由無(wú)從求得的具體函數(shù)值，故得不到，即D錯(cuò)誤.故選：AC.12．答案：840解析：，且，，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的1000個(gè)該種零件中合格品的個(gè)數(shù)為.故答案為：840.13．答案：4解析：，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.則.是偶函數(shù)，則，解得，因?yàn)椋瑒t，即，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，則，解得，則，，結(jié)合，則，因?yàn)椋瑒t時(shí)，.故答案為：4.14．答案：/解析：設(shè)，則由題意可得，，，所以，在中，，因?yàn)椋裕獾茫裕驗(yàn)椋裕裕獾茫噪x心率.故答案為：15．答案：（1）；（2）極小值，極大值解析：（1）由，得.從而，.故曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，從而方程為，即.（2）由于對(duì)有，對(duì)有，故在和上遞減，在上遞增.所以的所有極值為：極小值，極大值.16．答案：（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）解析：（1）因?yàn)闉榈冗吶切危珽為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌鏋榫匦危裕忠驗(yàn)椋裕驗(yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫唬?）因?yàn)槠矫妫矫妫裕忠驗(yàn)椋裕驗(yàn)闉榈冗吶切危裕忠驗(yàn)椋裕^(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋矫妫矫妫矫嫫矫妫跃褪嵌娼堑钠矫娼牵驗(yàn)辄c(diǎn)E是中點(diǎn)，，所以點(diǎn)F是中點(diǎn)，，因?yàn)椋裕驗(yàn)樵谌切沃校裕谌切沃校瑥亩捎嘞叶ɡ碛校矗谌切沃校瑥亩捎嘞叶ɡ碛校裕远娼堑恼抑禐?17．答案：（1）；（2）解析：（1）拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)并整理得，，顯然，設(shè)，，則，，則，解得，所以拋物線C的方程為；（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)并整理得，顯然，所以，，又，所以，，因?yàn)椋裕裕瑒t，設(shè)的面積為S，則，所以的面積為.18．答案：（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)關(guān)聯(lián)；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）875解析：（1）零假設(shè)為：假設(shè)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)關(guān)聯(lián)；則，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)說(shuō)明零假設(shè)不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)關(guān)聯(lián)；（2）依題意，用分層隨機(jī)抽樣法抽取的8件產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品有件，不合格產(chǎn)品有2件，而從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，其中的合格品件數(shù)X的可能值有1，2，3.則，，.故X的分布列為：X123P則；（3）依題意，因隨機(jī)抽取調(diào)試后的產(chǎn)品的合格率為，故，則，，由，故由可解得，因，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；由可解得，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故當(dāng)事件“”的概率最大時(shí)，.19．答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3），解析：（1），，解得：，則，即且，，，，若，則，則當(dāng)，對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)k使得則等比數(shù)列滿足性質(zhì)P.（2）因?yàn)閿?shù)列具有“性質(zhì)P”，則若數(shù)列具有性質(zhì)P，則，則，又，則則，，則，又則當(dāng)時(shí)上式成立，當(dāng)時(shí).，則，因?yàn)椋瑒t時(shí)，則則.，則，則.反之，若，則，則上面各式成立，則數(shù)列具有“性質(zhì)P”綜上數(shù)列具有“性質(zhì)P”，當(dāng)且僅當(dāng).（3）從，，，這四個(gè)數(shù)