專題6.5向量的數(shù)量積（重難點(diǎn)題型精講）1．向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的物理背景在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.

我們知道力和位移都是矢量，而功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個(gè)矢量也可以進(jìn)行運(yùn)算，并且這個(gè)運(yùn)算明顯不同于向量的數(shù)乘運(yùn)算，因?yàn)閿?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量.(2)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點(diǎn)，作=，=，則∠AOB=(0≤≤π)叫做向量與的夾角，也常用表示.(3)兩個(gè)向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量||||叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即=||||.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0=0.(4)向量的投影如圖，設(shè)，是兩個(gè)非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①==.

②=0.

③當(dāng)與同向時(shí)，=；當(dāng)與反向時(shí)，=-.

特別地，==或=.

④|a|，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即∥時(shí)，等號(hào)成立.

⑤=.(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：

對(duì)于向量，，和實(shí)數(shù)，有

①交換律：=；

②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.3．向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立，與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.【題型1向量的投影】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)向量的投影的定義，結(jié)合具體條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·安徽·校聯(lián)考二模）已知單位向量a,b滿足a+b=3，則A．a(chǎn) B．12a C．12【解題思路】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得a?b，首先求得a在b【解答過程】由題意知：a=∵a+b∴acos<a,b>=故選：C.【變式1-1】（2022春·湖北·高二階段練習(xí)）已知|a|=3,|b|=5，設(shè)a,b的夾角為120°，則A．56a B．536a C【解題思路】列出投影向量公式，即可計(jì)算求解.【解答過程】b在a上的投影向量a故選：C.【變式1-2】（2022春·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）已知平面向量a,b滿足|a|=2,a?bA．12a B．12b C．【解題思路】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合向量的夾角公式運(yùn)算求解.【解答過程】b在a方向上的投影向量為(|故選：C.【變式1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120°，AB=A．-32AB B．-12AB【解題思路】根據(jù)圖形求出向量AB與CD的夾角，再根據(jù)投影向量的公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】延長AB，DC交于點(diǎn)E，如圖所示，∵∠ABC∴∠CBE∴∠CEF又∵CD∴向量CD在向量AB上的投影向量為CD?故選：B.【題型2向量數(shù)量積的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】解決向量數(shù)量積的計(jì)算問題，要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積的題目，解題時(shí)要充分把握?qǐng)D形的特征.【例2】（2022·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考）已知向量a與向量b的夾角為60°，a=4，b=5，則a?A．20 B．10 C．53 D．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的定義直接計(jì)算作答.【解答過程】因?yàn)橄蛄縜與向量b的夾角為60°，a=4，b所以a?b=|a故選：B.【變式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量a，b滿足|a=2，b|=3，且a與b的夾角為A．6 B．8 C．10 D．14【解題思路】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開所求的式子，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.【解答過程】`由|a=2，b|=3，且所以a=2=2×2故選：B.【變式2-2】（2022·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C=90°，CB=3，點(diǎn)M在邊AB上，且滿足BM=2A．43 B．3 C．6 D．【解題思路】結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算以及線性運(yùn)算求得正確答案.【解答過程】依題意CA⊥CB，CB=3所以CM==1故選：B.【變式2-3】（2022春·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，在邊長為3的正△ABC中，D，E分別在AC，AB上，且AEEB=CDDAA．93-12 B．92-【解題思路】結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算得到DE?BC【解答過程】因?yàn)锳EEB=DE==AC又因?yàn)檎鰽BC邊長為3，所以AC=AB故DE=3×3×=-9故選：C.【題型3求向量的夾角（夾角的余弦值）】【方法點(diǎn)撥】求兩非零向量的夾角或其余弦值一般利用夾角公式=求解.【例3】（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知向量m，n滿足m=n=2，且m?n=-22A．π6 B．π4 C．3π【解題思路】根據(jù)向量的點(diǎn)乘關(guān)系，求出cosθ，即可求出m，n夾角【解答過程】解：由題意，在向量m，n中，m=m?解得：cos∴θ故選：C.【變式3-1】（2022春·云南曲靖·高三階段練習(xí)）已知|a|=1,|b|=2,aA．0 B．21111 C．213【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)求解a-2b，再根據(jù)向量夾角余弦值公式可得【解答過程】解：|a|=1,|所以cosa故選：D.【變式3-2】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a，b滿足a=1，a+2b=7，aA．π2 B．3π4 C．π【解題思路】根據(jù)a+2b=7，a-b=192，【解答過程】解：由題可得a+2ba-b①②兩式聯(lián)立得a?b=-∴cosa,b∴a,故選：D.【變式3-3】（2022秋·山東聊城·高一期中）已知|a|=2,|b|=2,e是與向量b方向相同的單位向量，向量a在向量b上的投影向量為-A．45° B．60° C．120° D．135°【解題思路】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合題意可得a?b|b【解答過程】由題意可知向量a在向量b上的投影向量為a?則a?b|而?a→,故選：D.【題型4已知向量的夾角求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，借助向量的夾角公式=，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·甘肅蘭州·高一期中）已知i,j為互相垂直的單位向量，a=-i+2j,b=3A．0,+∞ B．C．-∞,0 D【解題思路】根據(jù)a與a-b的夾角為銳角，由a?a-b【解答過程】解：因?yàn)閍=-所以a-因?yàn)閍與a-所以4+2λ-2>0，且解得λ>0當(dāng)a//a-即-1=-4k2=當(dāng)λ=10時(shí)，a與a所以λ的取值范圍為0,10∪故選：B.【變式4-1】（2022·高一單元測(cè)試）已知△ABC是正三角形,若a=AC-λAB與向量AC的夾角大于90°,A．λ<12 B．λ<2 C．【解題思路】由平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律求解，【解答過程】由題意得a?AC<0，設(shè)△則(AC-λ故選：D.【變式4-2】（2022春·北京順義·高三期中）已知a和b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，c=a+λbλ∈R，則λ=1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量公式cosa,c=a?ca?c【解答過程】a?c=acosa,c=a?ca?c=故λ=1是c和a夾角為π故選：A.【變式4-3】（2022秋·陜西渭南·高一期末）已知i,j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量，a=i-2j，bA．-2,23C．-∞,1【解題思路】由向量夾角為銳角可知a?b>0且【解答過程】∵a,b的夾角為銳角，∴∴a?b=i∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為-∞故選：B.【題型5向量的模】【方法點(diǎn)撥】或是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外，根據(jù)平面圖形求向量的模時(shí)，注意利用圖形的性質(zhì)對(duì)向量的數(shù)量積或夾角等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例5】（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|aA．3 B．10 C．14 D．4【解題思路】根據(jù)平面向量模的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】∵向量a,b滿足|a|=1，∴|a+2b∴|2a∴2故選：D.【變式5-1】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量a，b，c兩兩之間的夾角均相等，且a?b=-1，b?c=-2，A．133 B．393 C．76【解題思路】根據(jù)題意確定向量兩兩間夾角為2π3，利用條件求出|a→|2【解答過程】因?yàn)槠矫嫦蛄縜，b，c兩兩之間的夾角均相等，且兩兩之間的數(shù)量積為負(fù)數(shù)，所以兩兩之間的夾角均為2π3|a且a→則解得|a所以|a→+故選：B.【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量a，b滿足a=2b=22，a，b的夾角為π3，若c=A．89 B．83 C．22【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可.【解答過程】a=2b=22，a，b的夾角為πc2=13故選：D.【變式5-3】（2022春·寧夏石嘴山·高三階段練習(xí)）在邊長為4的等邊△ABC中，已知AD=23AB，點(diǎn)P在線段CD上，且AP=A．1 B．5 C．7 D．2【解題思路】將AP用AC和AD表示，再根據(jù)C,D,P三點(diǎn)共線，求出m【解答過程】解：AP=因?yàn)镃,D,P三點(diǎn)共線，所以所以AP=則AP=故選：C.【題型6向量數(shù)量積的最值問題】【方法點(diǎn)撥】先進(jìn)行數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算，將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或幾何量的最值問題，利用求函數(shù)最值的基本方法求出相關(guān)的最大值或最小值，或利用圖形直觀求出相關(guān)的最值.【例6】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，AG=2，點(diǎn)O在線段AG上，則OA?A．-3 B．-2 C．-1【解題思路】首先根據(jù)平面向量的加法幾何意義，三角形重心的性質(zhì)和平面數(shù)量積的概念得到OA?(【解答過程】如圖所示：因?yàn)镺G=所以O(shè)B+于是有OA?又OA?OG≤所以O(shè)A?故選：A.【變式6-1】（2022春·遼寧撫順·高三階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則PA?PB的最大值為（A．8+62 B．8+82 C．12+62【解題思路】根據(jù)已知條件作出圖形，利用向量的加法法則及相反向量的定義，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及勾股定理即可求解.【解答過程】由題意可知，取AB的中點(diǎn)O，如圖所示所以PA?=PO當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E或點(diǎn)F重合時(shí)，|PO|取的最大值，PO2取得最大值，且最大值為12+故選：D.【變式6-2】（2022·全國·高一假期作業(yè)）已知向量a、b，|a|=1，|b|=2，若對(duì)任意單位向量e，均有|aA．12 B．22 C．1 D【解題思路】由(a+b)?e=a【解答過程】因?yàn)閨a所以(a所以(a所以(a所以a+所以a+所以a?所