彈性流體動壓（力）潤滑

（ElastohydrodynamicLubrication,EHL）

彈性流體動力潤滑是研究在相互滾動或滾動伴有滑動的兩個彈性物體之間的流體動力

潤滑問題。

大部分的機械運動副，載荷是通過較大的支承面來胃遞的。如滑軌、滑動軸承等。其單

位面積受的壓力比較小，通常為1?10（）X105Pa。

另一些運動副是通過名義上的線接觸或點接觸來傳遞載荷的，如齒輪、滾動軸承等。

因接觸面積很小，平均單位面積壓力很大，接觸處的壓力可達109Pa以上。在這種苛刻條件

下，用古典潤滑理論計算的油膜厚度與實際情況不符。

與古典理論不一致的原因是：

（1）高的壓力使油的粘度增大；已不是雷諾方程中假定的“粘度在間隙中保持不變二

（2）重載使彈性體發生顯著的局部變形，也不是雷諾方程假定的“兩個固體表面是剛性

的”。

由于上述兩個效應，劇烈地改變了油膜的幾何形狀，而油膜形狀又反過來影響接觸區的壓

力分布。

因此，解決彈流潤滑問題必須同時滿足流體潤滑方程和固體彈性方程。凡表面彈性變形量與

最小油膜厚度處在同一量級的潤滑問題，都屬于彈流問題。

3.1剛性滾動體的動壓潤滑

①簡化問題

在分析齒輪、短圓柱滾子軸承等問題時，常用如圖9所示兩個圓柱的接觸。

圖9兩圓柱體接觸轉化為圓柱對平面的接觸

從圖9（a）中可得：

式中：h位于x處的油膜厚度；hO最小油膜厚度。

___/24\"

BC=/?）-/?!cos（p}=/?!（1-cos=1-1一女十女+

當很小時，略去2以上的高次項，得：

同理，得FE=—

2凡

則：

如將圓柱對圓柱簡化為圓柱對平面，如圖9（b）所示。

設：當量圓柱體的半徑。（即：）

則：

②求解油膜壓力與最小油膜厚度的關系

假定（在載荷較小的時候可這樣假定）：

⑴滾動體是剛性的，不考慮接觸變形；

⑵潤滑油（流體）是等粘度的，粘度不隨壓力而變化；

⑶滾動體相對于油膜厚度為無限長，即不考慮潤滑就有垂直于畫面的法向流動。

采用邊界條件：

入口處：，；

出口處：

h=hm處：

根據古典潤滑理論解穩定運轉（定常運動）時兩圓柱接觸時的雷諾方程:

dp

=12%U安

dx(R-ll)

式中：滾動速度U=l/2（L1+U2）,為潤滑油的吸入速度；

no常溫常壓下潤滑油的動力粘度；

h油膜厚度，當khm時，=0。

可得壓力與油膜厚度的關系（壓力分布曲線）。如圖10所示。

再根據流體為連續的條件及幾何尺寸的推導，可得：

也即：.............................................................（M-1）

式（M-1）稱為馬丁（Martin）公式

式中：hO最小油膜厚度；R當量圓柱體半徑（）；P載荷；

no潤滑油動力粘度（假定為常量）；w單位長度所受的載荷（P/L）；

U1.U2兩圓柱體表面運動速度（）；L圓柱體的長度。

馬丁公式在輕載情況下尚符合實驗測定值；但重載時，一般僅為測定值的。原因是馬丁

假定粘度不隨壓力變化，而在重載下，粘度隨壓力變化是非常明顯的。

如考慮了粘度隨壓力變化，，剛性滾動體在重載時的潤滑狀況，可用下式表示：

最小油膜厚度的公式為：................................................（M-2）

式（M-2）為考慮了粘度隙壓力變化后的計算式。

式中：?粘壓系數；no常溫常壓下的動力粘度。

3.2彈性體的流體動壓（力）潤滑

彈性流體動壓潤滑理論，是研究相互滾

未變形的圓柱體

動或滾動伴有滑動的條件下，兩彈性物體間

流體動壓潤滑膜的力學性質。與普通流體動壓

潤滑理論的區別在于：高接觸應力；接觸物體

不假定其為剛體，而是彈性體。

運用彈性流體動壓潤滑理論，可建立起

彈性體表面幾何形狀、尺寸、材料性能、潤滑

流體粘度、表面速度、載荷與油膜厚度、壓力

分布、摩擦力和溫升等參數間的定量關系。在

實際中最關心的是油膜厚度。

①線接觸的彈性流體動壓潤滑

1.線接觸下彈流潤滑機理

一彈性圓柱體與一剛性平面接觸如圖11

所示。圓柱體在整個赫茲（Hertz）壓力區中

進入區赫茲壓力區

壓平，如圖11（a）o當圓柱體在平面上滾動

時（其間有潤滑油存在），兩表面各自帶著吸（b）潤滑接觸時的進入區

附在其上的潤滑油互相接近，并使油充滿表

面間的空隙。這時將產生流體動壓力。圖11彈性圓柱體與剛性平面接觸時

圖11（b）為（a）的局部放大（圖中縱的潤滑機理

向放大比例比橫向的大1000倍）。潤滑油進入的實際上是》很窄長的收斂間隙。流體動

壓就發生在此間隙中。油膜厚度僅lum的量級。”

潤滑油進入此楔形區時，壓力就增大；當到達赫茲變形區的邊緣時，流體動壓力將

達到一定的數值與赫茲壓力相對抗。

雖然在'進入區'的流體動壓力遠低于最大赫茲壓力，但由于赫茲區邊緣處的壓力是比

較低的。如果流體動壓能超過此處的壓力，則就能使兩表面分開。當潤滑油一旦進入赭茲接

觸區，由于壓力增大，粘度就變得更大，而且油膜又極薄，再加圓柱體的運動速度使油通

過赫茲區的時間很短（毫秒或微秒級），因而沒有足夠的時間把潤滑劑從接觸區擠出來。

流體最后達到的壓力分布大體如圖12所示：除赫茲區邊緣部分外，其整個壓力分布形

狀和大小與赫茲壓力分布十分相似。

在近出口處，由于油壓從高壓歌然減到大氣壓，產生很大的壓力梯度，同時粘度也將

隨壓力的減低而變小。為維持流動的連續性，在近出口處的油膜形狀必有一個局部的‘預縮

因而油膜壓力在尾部形成高峰。如果沒有這個‘頸縮'，則壓力的突然下降，會使流體流出

大于流入，而流體的這種形狀，恰好限制了它的流出。

接觸面間典型的彈性流體動壓潤滑的壓力曲線可分三個區域，每個區域有其各自的特

殊函數。進口區是建立油膜，赫茲接觸區是承載，出口區是卸載。潤滑劑經過這三個區域時，

粘度發生著劇烈的變化：從易流動的液體一一類似固體一一流動的液體。而這整個過程才幾

個毫秒或微秒。各個區域中潤滑劑的粘度由所在區域的溫度、壓力和剪切情況所決定。這里

粘度是個重要因素，故必須知道影響粘度的條件。

如：進口區油膜形成能力是受流經該處的潤滑油粘度所決定。因進口區非常狹窄，粘度

基本上受固體表面的溫度控制。粘度受溫度變化的指數公式，在這個區域中足夠準確。因此

由該處的溫度可以知道粘度的大小。此粘度又影響形成的油膜厚度。

潤滑油進入赫茲壓力區時，油膜已經形成。由于壓力區內油膜極薄，壓力極大，故粘度

也極大；同時，摩擦產生的熱量也將影響粘度的大小，因而隨壓力變化引起的粘度激增程度

將受溫度升高而有所抵銷。

潤滑油離開赫茲壓力區后，進入一個發散區域，壓力驟然降低，粘度也明顯下降。由于

此處的壓力低于周圍壓力而形成負壓，溶解在油中的氣體要析出來，在充填兩表面間的間

隙時，形成氣穴，使油膜破裂和形成頸縮。

以上就是彈性流體潤滑的基本機理。有了這些概念以后，就容易明瞭各種參數對油膜厚

度的影響。如能改變某些因素使進入區的流體動壓增大，則就能增大油膜厚度。例如，增加

速度，或增大粘度，都能使油膜厚度增大。而增大載荷對油膜厚度的影響不大。因為載荷增

大僅能擴大赫茲壓力區和增高赫茲壓力，對進入區的影晌不大。而進入區正是形成油膜的區

域，即決定進入流量的區域。

2.線接觸的最小油膜厚度

格魯賓、道松等人提出了幾個彈性流體動壓潤滑的油膜厚度計算公式，現列于表I中。

推導這些公式時作以下設定：

⑴將圓柱與圓柱或圓柱與平面的線接觸，簡化為圓在與剛性平面的接觸。

11fl-v/1-v?11]1

⑵引入'當量彈性—=-+—模量'和當量半徑一=一+一

E2(E}E2]RNR2

的概念。

式中：E'當量彈性模量；E1,E2分別為兩圓柱體材料的彈性模量；

vl,v2分別為兩圓柱體材料的泊松比。

R當量半徑；RR分別為兩圓柱體的半徑

表1線接觸時最小油膜厚度計算公式

公式名稱有量綱表達式無量綱表達式

格魯賓公式(rp*

8.￡/F'n1.95（Gt/）n

y6MH)%=1.95（他（〃戶“1下

湍

道松公式(Dowson)

7/=1.6606萬°7》《”

%=L6a"6（〃oU）o7即3?。。3jJ

道松修正公式/r、013

H=2.65GO54t7P

(1967)%）=2.65a°"臚3?0。3（/J

伯洛克公式212H=1.66（GZ7）^

3

(Block)=1.66（z/ot/）3R^a

海爾伯魯夫公式6

h=232（"M）"曖6H=2.32

(IlerrBrugh)%一、"IV0-2￡,0-4

表中：hO最小油膜厚度；U圓柱體表面運動速度，；

Ho常溫常壓下潤滑油的動力粘度；a潤滑油的壓粘系數；P載荷;

R圓柱體的當量半徑；E'圓柱體材料的當量彈性模量：W=P/L0

H=；U—-—；P—.......；G=aE'；L圓柱體(接觸線)長度。

RE'RE'RL

格魯賓公式是最早得出的與實際接近的彈性流體動力潤滑最小油膜厚度計算公式。是用

解析法及采用前面所述的模型和一些設定推導出來的。

道松公式是將雷諾方程及實驗數據用計算機擬合的方法得到的。他的兩個公式看起

來差別很大，實際上在用鋼和礦物油的條件下，當G-5000時，1.6G0.6P2.65G0.54。兩式

的實際結果差別甚微。

3.公式的應用范圍

以上潤滑理論均有一定的假設和簡化，故油膜厚度的計算也都有一定的適用范圍。超過

一定界限就會有較大的誤差。

a.重載彈性接觸時，道松修正公式能得到十分精確的結果。

b.輕載剛性接觸時，馬丁方程可適用。

c.中等載荷下，當粘壓效應遠大于彈性效應時。伯勞克（Block）公式適用。

d.當彈性變形遠大于壓一粘效應時，海爾伯魯夫（HerrBrugh）推導的公式適用。

影響最小油膜厚度的因素分析

根據以上彈性流體動力潤滑公式可以看到：

①載荷P對油膜厚度的影響很小，僅為0.13次方。

②彈性變形對油膜厚度影響很大，用格羅賓和道松公式計算的結果與用馬丁公式（不考

慮彈性變形）計算結果差別很大，約大10?100倍。由粘度變化和彈性變形的綜合效應，比

它們的單獨效應大得多，G為0.6次方。

③速度對油膜厚度影響較大，膜厚與速度的0.7次方成正比。

④材料性能參數，E'為0.03次方，但由于變化范圍很窄，影響不顯著。

5.油膜的形狀特點

在大部分赫茲接觸區內的油膜厚度是相等的，如圖13所示。

.在狗清造體出0死.有一個胰耳的收縮（亞苑）區.E或約為平均屬V的3/4.月比相或,存在省壓力的峰值，4式中葉,此壓力冷值有于#裝捱觸的最高壓力tt.

②點接觸的彈性流體動壓潤清

兩個物體初始接觸于一點，稱為點接觸。繼續加載時受壓面積增大，接觸中心區內不斷

產生彈性變形，使中心區的潤滑油受到壓縮。

點接觸的有效承載區是個圓形面積（球一球和球-板接觸時）或橢圓形面積（橢球對橢球,

如車輪與鋼軌），面積很小。不像線接觸時，接觸長度與接觸寬度相比要大得多，可不考慮

側泄。而在點接觸時就要考慮側向流泄的問題。因此分析時必須計及潤滑油沿滾動軸線方向

的流動來求解。

1.點接觸下的彈流潤滑機理

首先分析球與平板接觸情況下的油膜形狀以及油膜的壓力分布：

a.當球形表面與平板表面接觸時，首先是接觸中心處潤滑油受壓，由于粘度隨壓力增

大，潤滑油從擠壓區的排出率將降低。

b.因中心區內單位面積平均壓力很大而不斷產生彈性變形，使表面輪廓變成如圖14曲

線b所示的形狀。這時，接觸區中心可能有部分潤滑油被封在里面，形成擠壓區。那里的油

膜與周圍環境間將存在很大的壓力梯度。在擠壓區的周邊，油膜厚度會出現收縮型的周邊。

具有收縮性的周邊是點接觸彈性流體動力潤滑的特點。

c.如果此時球與平板間作橫向相對運動。當粘度、運度、幾何形狀的組合適當時，就會

產生足夠的流體動壓力，使兩表面分開。如圖14中曲線a所示。

這時入口處油壓逐漸加大，而側邊和出口處沒有產生流體動壓的機理，故這些地方產

生收縮區(即油膜最薄的區域)。由光干涉實驗算出的壓力和膜厚的等值線如圖15和圖16

所示，為壓力和膜厚的典型分布，可以看到，油膜最薄處不在中心，而在出口方的左右兩

側。

2.點接觸下最小油膜厚度的計算公式

由于計算復雜，點接觸下的彈性流體動力潤滑一直沒有精確的數學解。只能推薦幾個近

似的數學解公式，列于表2中。

實驗條件：C/=0.617X10H，=0*4x10-G=2014.47

表2點接觸時最小油膜厚度計算公式

公式名稱計算公式

奧登特公式有量綱表達式無量綱表達式

(Archard)/—\0.74--0.074

H=2.04/n774(GU)P

%=2.04式74(0〃°)°74”)

鄭緒云公式

…12M

I凡

Umax為赫茲接觸壓力，根據赫茲接觸公式計算：Y=b/a,c,n,m,Rx/Ry可由表3查得

表中:ho最小油膜厚度;Q潤滑油壓粘系數；u接觸表面的運動速度;

n?常溫常壓下潤滑油的動力粘度;R接觸球或桶球的當量曲率半徑；

E'接觸材料的當量彈性模量；P載荷；

D_3N八NE23

pmax最大赫茲接觸壓力：橢球-橢—2加6球球一Enax=058球

【R

2&丫

G=aE'；

E'R23R〃

表3b/a,R/R,

c,n,m及

Rx/Ry等幾個

參數

Y=b/a

0.50.0650.5480.742.790

1.00.0880.62011

2.00.0950.6401.480.358

5.00.0980.6482.560.084

表中：Rx沿運動方向的當量曲率半徑；Ry垂直運動方向的當量曲率半徑。

橢球接觸時，RxWRy；球接觸時，Rx=Ry。a,b橫球兩個方向的半徑；球接觸時@4。

因為油膜厚度對滾動體磨損有重要的影響，由摩擦副工作條件及潤滑劑性能計算所得

之油膜最小厚度，是否能保證摩擦副的正常安全工作呢？需要有個大體的判斷標準。

以比值2=~j——4---------表示彈性流體動壓潤滑油膜厚度對接觸表面粗糙度之比。

5（%+辦）

式中：hO最小油膜厚度；，分別為兩個表面粗松度的平均平方根偏差。

即：

如給出的表面粗糙度為Ra（粗糙度的算術平均偏差），。

Ra=0.8Hjf,也即Hjf=1.25Ra。

當比值入＞3,則潤滑良好，可避免擦傷和膠合。如入＜1,則為邊界潤滑狀態，易于擦傷、膠

合和磨損。而當K入＜3時，表面處于可能形成邊界潤滑的概率中。

③流體動壓潤滑公式的適用范圍

遇到具體摩擦副時，如何判斷材料是剛性還是可能發生彈性變形；潤滑劑在運動中是定

粘度還是變粘度。也即，應當采用哪個公式來計算和設計潤滑劑及摩擦副的材料和結構幾何

參數。

已經有人做了總結和歸納并建立了幾個判斷參數。圖17中根據判斷標準劃分了

四個區間，以確定其潤滑性質和公式的適用范圍。

圖中：A區為彈性體、流體動壓潤滑范圍（滾動體彈性變形顯著），為道松公式

適用區；

B區為剛性體、等粘度的流體動壓范圍（馬1公式適用區）；

C區為剛性體、變粘度流體動壓潤滑范圍（格魯賓公式適用區）；

D區為彈性體、等粘度流體動壓范圍（雷諾公式適用區）。

判斷標準的幾個參數如表4所列:

表4判斷參數

彈性參數粘性參數速度參數載荷參數

(?3%

g.=a----亦

R1K)

表中：P0圓柱體單位長度上的載荷；E'當量彈性模量：R當量半徑:

n＜.常溫常壓下的粘度；u速度；?壓-粘系數。

④彈流潤滑實例介紹

齒輪和滾動軸承通常處于彈流潤滑狀態下工作，現將適用的道松公式列于表5。

表5齒輪和滾子軸承最小油膜厚度計算的道松公式

計算部位計算公式

齒輪節圓處143/、0.13

113

接觸點4=633(6sina0)［六)E叫互

（見圖18）匕，

滾子與內圈滾道1.13(13

(1+@1Y,

石，0.03Ju_

接觸點%=0.202，(i)力（仇〃嚴

412

滾子與外圈滾道1.13--|0：/\0.13

￡?0.03/“

接觸點%=0.125/(曲。7今(j)

表中：rl主動齒輪（一般是小齒輪）的節圓半徑，cm；aO齒輪壓力角，一般為20°；

nl主動輪轉速，r/min；n2從動輪轉速,r/min；i傳動比，i=n"n2=z2/zl；

no常溫常壓下的油粘度；a潤滑油的壓粘系數；

E'當量彈性模量：B1主動齒輪寬度，cm；

Pmax齒面上所受法向最大載荷或滾動體最大載荷（滾子軸承），kgfo

d

諼子有效長度:

五,n內圖轉速(r/min)；

d,滾子直役;D,,滾子伯承中心圓直徑。

圖18齒輪傳動簡圖

圖19滾珠和滾子軸承示意圖

a.齒輪傳動一般為線接觸，因其各接觸點的速度在運動中不斷變化，膜厚也不斷變

化，就很不好計算,故將其簡化，以直齒圓柱齒輪齒面上節圓處的接觸點來計算其最

小油膜厚度，此點的速度可以算出。一般使用道粉齒輪油膜厚度計算公式。

例：一閉式齒輪傳動系統中，齒數zl=21,z2=66,壓力角a0=20°,模數m=3.5mm,

齒寬B=30mm,傳動功率N=5.5kW,轉速n=1450r/min,齒的單位寬度上的法向力P0=

35.6kgf/cm。采用礦物油澗滑,v0=177cSt,油的壓粘系數a=21X10-4cm2/kgf,齒面粗

糙度為Hjf=O.8Rm.（相當于▽8?V?）。求在齒輪嚙合處（節圓處）的最小油膜厚度,

解：

通過齒輪的幾何計算，得節圓半徑：mm；r2=116mmo

齒面在嚙合點處的曲率半徑為：；R2=39.6mm。

當量曲率半徑：。

傳動比：i=z2/zl=nl/n2=66/21=3.14o

滾動速度：U=Ul=U2=o

取潤滑油密度：P20.9g/cm3。

潤滑油的動力粘度。產v°XpX1.02X10^=177X0.9X1.02X10-8

=163X10skgf,s/cm2<>

WE'=2.33X10fikgf/cm2

計算判斷標準：

U35f屋36

12.33x106x0.95JU63xIO-8x191）

21xlO-4x35.6f35.6、3…

------------------------?-----=26.X