1第三章復變函數的積分

§3.1復積分的概念22

1、復積分的概念及基本計算方法2、柯西-古薩積分定理3、復合閉路定理4、柯西積分公式與高階導數公式第三章復變函數的積分本章主要內容：33

1、有向曲線§1復變函數積分的概念特別申明今后所說的曲線總是指光滑或逐段光滑曲線,特別說明的例外。44

閉曲線正向的定義:與之相反的方向就是曲線的負方向.曲線方向的說明:一般:曲線C的正方向總是指從起點到終點的方向.那么終點到起點的方向就是曲線C的負向,記為C-對周線而言,逆時針方向為正方向,順時針方向為負方向C55

2、復積分的定義B

xyo（1）分割（2）取近似（3）求和66

.

)

(

,

)

(

)

(

ò

?

C

dz

z

f

B

A

C

z

f

I

C

z

f

記作

的積分

從

沿曲線

為

上可積，上述極限值

在

則稱

被積函數積分路徑（4）取極限77

----一元函數定積分的定義.注88

3、積分存在的條件1.必要條件2.充分條件

將各函數代數化99

因此積分存在的條件問題，歸為尋求右端兩個式子極限存在的條件問題，由分析可知，這只需u(x,y),v(x,y)均在C上連續即可，且極限分別為1010

這是實的第二型曲線積分記憶1111

4、復積分的性質復積分與實變函數的定積分有類似的性質.被積函數的線性可加性1212

積分路徑的可加性積分估值定理3.21313

性質(5),(6)的證明兩端取極限得[證畢]性質5積分估值定理1414

5、復積分計算的參數方程法若能寫出C的參數方程為:C:z(t)=x(t)+iy(t)

t

則因為C是光滑曲線

x(t),y(t)

C[

,

]:1515

1616

定理設曲線C的參數方程為:z=z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.f(z)沿曲線C連續

注:該公式可看成由下式形式相乘而得到1717

（1）連接z1和z2兩點的線段的參數方程為幾類常見曲線的復數方程（

2）1818

例12

，其中積分路徑為C

計算

dz

z

I

c

=

ò

x1+io11yAB于是，解:(i)C的參數方程1919

可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有相同的值.01+i1yxAB112020

于是，03+4i34yx解:(i)C的參數方程AB2121

可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有不同的值.03+4i34yxAB2222

例3解ox

y

r

C2323

綜上所述，我們有

記住這一結果，后面經常用到，并且注意該結果與圓心、圓的半徑沒有關系2424

解：練習：這幾題結果都跟有關！！！疑問：這里邊到底有什么玄機呢？還需繼續研究2525

例5i2+iOxy練習計算積分：26

（1）

（重要積分）（2）

解

的參數方程為

27（4）（3）2828

小

結1、了解積分的定義與性質2、掌握掌握積分的計算3、熟練掌握重要例子29作業P761(1,2);2(1).30第三章復變函數的積分

§3.2柯西積分定理31

復變函數的積分的實際上等同于對坐標的曲線積分，這就很自然地引出積分與路徑無關的問題.§2柯西-古薩積分定理31

1、

引言

我們的問題是：在什么條件下復變函數的積分與積分路徑無關？此問題等價于沿任意的閉曲線積分是否等于零的問題.

3232

（1）被積函數f(z)=z2在復平面處處解析；復平面是單連通區域；結論：積分與積分路徑無關。（2)被積函數在復平面處處不解析；復平面是單連通區域；結論：積分與積分路徑有關。（3）結論：積分與積分路徑有關。3333

由此猜想：復積分的值與路徑無關或沿閉路的積分值等于零的條件可能與被積函數的解析性及解析區域的連通性有關.2、

柯西積分定理（4）還是上一個積分在去掉的區域內處處解析；此時的區域不是單連通區域；結論：積分與積分路徑有關。3434

本定理得證明實際是計算積分的問題，其中一種方法為3535

推論1設f(z)在單連通區域D內解析，則在D內f(z)的積分與路徑無關.

人們對此定理的評價是很高的，有人稱之為

積分的基本定理或函數論的基本定理，還有人

認為它是研究復變函數論的一把鑰匙。36

C2xyOC1z0z137證:

取內任意兩點與，設起點為

,終點為為連接與的任意

曲線,且連接成一個圍線則從而38

例1求解的奇點為，在的外部，

故在以為邊界的閉圓上解析，

。

故推論2

若f(z)在閉合曲線C上及C內無奇點，則3939

3、

原函數

當z在區域D內變化時，積分值也變化，并且該積分在D內確定了一個單值函數（變上限的單值函數），記作

當f(z)在單連通區域D內解析，則在D內積分與路徑無關，即以為起點，z為終點的D內任何路徑上的積分值都相等，可記為4040

定理2設f(z)在單連通區域D內解析，則F(z)在D內解析，且定義

若函數F(z)在區域D內的導數等于f(z)，即

,稱F(z)為f(z)在D內的原函數.定理3：任何兩個原函數相差一個常數。4141

定理4

設f(z)在單連通區域D內解析，

F(z)是f(z)的一個原函數，則--------復積分的牛頓—萊布尼茲公式說明：在區域單連通而函數解析的情況下，可用此公式求復變函數的積分，特別是處處解析的函數的積分。4242

例2計算下列積分：43，例3

求從－1到1的上半單位圓周。。

解由于在平面解析44

例4分析在為（1）從－1到1的上半單位圓周；（2）從－1到1的下半單位圓周；

（3）從－1到-1+2i再到1+2i，最后到1的折線段時三者的關系45xy-1-1+2i1O1+2iC1C2C346

解：由于在平面僅有奇點故(1)=(3),(2)-(1)=2πi4747

定理54復合閉路定理下面把定理1推廣多連通域上.4848

證明DC4949

此式說明一個解析函

數沿閉曲線的積分，

不因閉曲線在區域內

作連續變形而改變它

的積分值，只要在變

形過程中曲線不經過

f(z)的不解析點.

DCC1C1C1—閉路變形原理.50D變形過程中不能夠經過f(z)不解析的點51。

例5

設為圍線內部一點，求

解以為圓心作圓周,使全含于的內部,

，

則在內部、外部所成區域上解析，上連續在52CC’αDr53例6計算，其中（1）xy1CO54解:（1）由于的奇點在的內部，而奇點的外部，在。

。

故在上解析，

于是。

故55，其中xy1C1C22O（2）例6計算C562）由于的奇點及均在的內部,故在內分別作以0、1為心，半徑，

均為的小圓、，則在以、

，

及為邊界的多連通區域內解析

解:故57例7計算的值,c為包含圓周|z|=1在內解:

函數在復平面內除z=0和z=1兩個奇點由于C是包含著圓周|z|=1在內的任何正向簡單的任何正向簡單閉曲線.外是處處解析的.閉曲線,因此,它也包含這兩個奇點.在C內作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2,C1只包含奇點z=0,C2只包含奇點z=1.58xyO1C1C2C59則根據復合閉路定理,可得60小

結1、Cauchy—Goursat基本定理2、原函數、不定積分3、復合閉路定理61作業：

P76:5(1,2,4);6(1)62§3.3柯西積分公式6363

一、

問

題

的

提

出二、

柯

西

積

分

公

式三、

典

型

例

題四、

小

結

3.3柯西積分公式6464

一、問題的提出相同點：(1)均是沿圍線的積分，且圍線內只有一個奇點；(2)被積函數均為分式；(3)積分值均跟有關。上節課的兩個結果C1C21xyo回憶6565

?6666

6767

二、柯西積分公式證6868

[證畢]6969

關于柯西積分公式的說明:(---這是解析函數的又一特征)結論：如果兩個解析函數在區域的邊界上處處相等，則它們在整個區域上也相等。?7070

(4)一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周C上的平均值.(3)解析函數可用復積分表示7171

三、典型例題解：C2xyC1O7272

解：被積函數有奇點

i和

-i.OC1C2Ci-ixy7373

例3解7474

例5解

：

7575

四、小結7676

柯西積分公式7777

四、高階導數公式

在以前的討論中我們曾不止一次的看到：新東西的發現常常屬于勤于觀察、善于觀察的人。提問：解析函數的導數仍是解析函數？經思索、觀察，它可寫成7878

提問：當f(z)滿足一定條件時，會有7979

顯然，該公式可視為柯西積分公式的推廣.

如