復變函數與積分變換 課件 第三章 復變函數的積分 習題課_第1頁
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文檔簡介

一、重點與難點重點：難點：1.復積分的基本定理；2.柯西積分公式與高階導數公式

復合閉路定理與復積分的計算3

二、內容提要有向曲線復積分積分存在的條件及計算積分的性質柯西積分定理原函數的定義復合閉路定理柯西積分公式高階導數公式4

設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,1.有向曲線5

2.積分的定義6

(7

3.積分存在的條件及計算（1）化成線積分（2）用參數方程將積分化成定積分8

4.積分的性質9

5.柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)

10

由定理得11

6.原函數的定義(牛頓-萊布尼茲公式)12

7.閉路變形原理

復合閉路定理

一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的值.那么13

8.柯西積分公式一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.14

9.高階導數公式15

三、典型例題例1

計算

的值，其中C為1）沿從

到

的線段：2）沿從

到

的線段：

與從

到

的線段

所接成的折線.解

16

說明

同一函數沿不同路徑所得積分值不同.17

因此

證

例2

設C為圓周

證明下列不等式.18

解

例3

計算當

時,19

解

例3

計算當

時,20

解法一

利用柯西-古薩基本定理及重要公式21

22

解法二利用柯西積分公式23

因此由柯西積分公式得24

25

解分以下四種情況討論：2

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