河北省衡水市武強中學2024-2025學年高一年級下學期期末考試數學試題一、單選題1．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則的面積是（

）

A．6 B．10 C．12 D．242．已知點，，且，則點的坐標為（

）A． B． C． D．3．在中，內角的對邊分別為，則（

）A． B． C． D．14．在中，a，b，c分別為三個內角A，B，C所對的邊，設向量，若，則角A的大小為（

）A． B． C． D．5．底面圓周長為，母線長為4的圓錐內切球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知復數滿足，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在正方體中，M，N分別為的中點，異面直線MN與所成角為（

）A． B． C． D．8．在中，，點E在上，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復數，，則（

）A． B． C． D．10．（多選）某工廠生產出一種機械零件，如圖所示，零件的幾何結構為圓臺，在軸截面中，，則下列說法正確的有（

）A．該圓臺的高為B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺軸截面面積為D．一只螞蟻從點C沿著該圓臺的側面爬行到的中點，所經過的最短路程為11．已知的內角所對的邊分別為，則（

）A．B．若，則C．若，則為銳角三角形D．若，則的形狀能唯一確定三、填空題12．復數的虛部為．13．已知等邊邊長為2，平面，且，則點C到平面的距離為．14．已知滿足，若在方向上的投影向量為，則．四、解答題15．已知，.(1)求；(2)若在復平面內對應的向量分別為，且，求實數的值.16．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.(1)求及AD的長度；(2)求BC的長度.17．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點．(1)求證：平面；(2)若求直三棱柱的體積和表面積；18．在銳角中，角的對邊分別為，，，已知且．(1)求角A的大小；(2)若，求的面積；(3)求的取值范圍．19．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，點在棱上．(1)求證：平面平面；(2)當，且為的中點時，求與平面所成的角的大小．題號12345678910答案CACBCDBCABCCD題號11答案AB1．C根據直觀圖與斜二測畫法的定義求解.【詳解】由題可知，為直角三角形，且，如圖：

由斜二測畫法知，所以.故選：C.2．A設點的坐標為，根據平面向量的坐標運算可得出關于、的方程組，解出這兩個未知數的值，即可得出點的坐標.【詳解】點、，且，設點的坐標為，則，所以，，，求得，，故點的坐標為，故選：A．3．C利用三角函數誘導公式及定義法求向量數量積．【詳解】解：中，內角，，的對邊分別為，，，，，，則，故選：C．4．B【詳解】因為,所以,即,所以因為,故故選：B．5．C作圓錐與其內切球的軸截面，利用直角三角形求出內切球的半徑，再計算內切球的體積.【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，根據題意可作圓錐與其內切球的軸截面如圖所示：根據圓錐和球的對稱性可知，球的截面為圓，即為等腰的內切圓，即，，，，在中，，由，，則，在中，，即，可得，解得，即內切球的半徑，故內切球體積為.故選：C.6．D設復數為標準式，利用復數相等，可得復數，結合復數的除法，可得答案.【詳解】設，則，即，解得，所以.故選：D.7．B連結，，根據題中條件，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，進而可求出結果.【詳解】連結，，因為在正方體中，M，N分別為的中點，所以，因此，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，顯然為.故選：B8．C利用向量的線性運算將用與表示出來，再利用向量共線定理的推理即可得解.【詳解】因為，所以，則，因為三點共線，所以，解得.故選：C9．ABCA利用復數的模的定義計算；B利用復數的加法運算；C先計算，再利用共軛復數的定義；D利用復數的乘法運算.【詳解】由題意可得，，則，故A正確；，故B正確；，則，故C正確；，故D錯誤.故選：ABC10．CD由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項；由梯形面積公式即可判斷BC選項；由圓臺側面展開圖結合勾股定理即可判斷D選項．【詳解】如圖①，作交于E，則，則，則圓臺的高為，故A錯誤；圓臺的軸截面面積為，故B錯誤，C正確；將圓臺的一半側面展開，如圖②，設P為的中點，由圓臺補成圓錐，圓臺對應的圓錐的一半側面展開為扇形，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，圓錐側面展開圖的圓心角為，連接，可得，，則，所以沿著該圓臺表面從點C到中點的最短距離為，故D正確．故選：CD．11．AB應用正弦定理及邊角關系判斷A、B、D；由余弦定理易得為銳角，而角和角是否為銳角無法確定，即可判斷C.【詳解】因為，所以，故A正確；因為，則，故B正確；由余弦定理，可知為銳角，但無法判斷角和角是否為銳角，不一定為銳角三角形，故C錯誤；由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D錯誤.故選：AB12．5利用復數的乘法法則將復數表示為一般形式，可得出該復數的虛部.【詳解】因為復數，所以該復數的虛部為5．故答案為：5.13．利用等體積計算即可.【詳解】因平面，則為三棱錐的高，則，由平面，平面，則，在直角中，，同理，則等腰的底邊上的高為，則,設點C到平面的距離為，則，得故答案為：.14．利用投影向量的定義求出，再利用數量積的運算律求解.【詳解】由在方向上的投影向量為，得，則，而，于是，所以.故答案為：15．(1)，(2)（1）由復數的四則運算代入計算，即可得到結果；（2）由向量垂直的坐標運算代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）因為，所以因為，所以.（2）由（1）可知，則，，因為，所以，解得.16．(1)(2)（1）運用平方關系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【詳解】（1）因為，，，，所以，，由于，又，∴，∴，則，∴，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得.17．(1)證明見解析(2)，（1）取的中點，連接，只需證為平行四邊形，由此，進而可證平面；（2）由題干條件可知底面為等腰直角三角形，且直棱柱高為1，利用三棱柱的體積和表面積公式即可算出答案.【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，因為為的中點，所以，，因為四邊形為平行四邊形，為的中點，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）因為，即，由勾股定理的逆定理可知，且在直三棱柱中，為高，由三棱柱的體積公式可得體積，表面積為5個面面積之和.18．(1)(2)(3)（1）根據題意結合三角恒等變換運算求解；（2）先利用余弦定理求得，進而可求面積；（3）利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得，結合正弦函數的有界性運算求解.【詳解】（1）因為，且，則，可得，整理得，所以.（2）由余弦定理，即，解得或（舍去），所以的面積.（3）由正弦定理，可得，則，因為為銳角三角形，且，則，解得，則，可得，則，所以的取值范圍為.19．(1)證明見解析(2)（1）先證平面，再根據線面垂直證