2.3直線、平面垂直的判定及其性質

?知識梳理

直線與平面垂直的判定

1.定義：如果直線L與平面a內的任意一條直線都.垂直，我們就說直線L與平面a互相

垂直，記作L_La,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平

面垂直時，它們唯一公共點P叫做垂足。

2.直線與平面垂直的判定定理：—條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線

與此平面垂直。

注意點：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b）定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。

平面與平面垂直的判定

1.二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形

2.二面角的記法：二面角a-1-B或a-AB-B

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

直線與平面、平面與平面垂直的性質

?1.直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

?2、兩個平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一

個平面垂直。

?知能訓練

一.選擇題

1.已知m和n是兩條不

同的直線，a和B是兩個

不重合的平面，那么下面

給出的條件中一定能推出B.m〃n,且n_LBC.a_LE,且m〃aD.m±n,且n〃B

m±B的是（）

A.a_LB,且mu

A.a_LB,且mu

a

A.a_LB,且mua

2.在三棱椎P-ABC中，PA_L平面ABC,ACIBC,D為側棱PC上的一點，它的正視圖和側視圖如圖所示,

則下列命題正確的是()

/

A.AD平面11阮且三棱椎D-ABC的體積為

8

3

B.BD_L平面PAC且三棱椎D-ABC的體積為

8

3

C.AD_L平面PBC且三棱椎D-ABC的體積為

16

3

D.BD_L平面PAC且三棱椎D-ABC的體積為

16

3

3.如圖，在正四棱錐

S-ABCD中，E是BC的

中點，P點在側面4SCD

內及其邊界上運動，并

且總是保持PELAC.則

動點P的軌跡與4SCD

組成的相關圖形處

()

4.如圖，梯形ABCD中，

AD〃BC,ZABC=90,:,

AD:BC:AB=2:3:4,E>

oDC.②④D.③④

F分別是AB.CD的中點，

將四邊形ADFE沿直線

EF進行翻折.給出四個

結論：

（DDF±BC：

（2）BD_LFC；

③平面DBFJ_平面BFC；

④平面DCF_L平?面BFC.

在翻折過程中，可能成

立的結論是（）

A.①③

A.①③

5.已知A,B,C,D是同

一球面上的四個點，其

中aABC是正三角形，c.32

AD_L平面ABC,B.24n2D.48n

AD=2AB=6,則該球的1T

表面枳為（）

A.16Ji

A.16n

6.設O是空間一點,a,b,c是空間三條直線，a,B是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成

立的是（）

A.當aGb=0且aua,bua時，若c_La,c±b,則c_La

A.當aCb=0且aua,bua時，若c_La,c_Lb,則c_La

A.當aCb=O且aua,bua時，若^@,c±b,則c_l_a

B.當anb=0且aua,bua時，若a〃B,b〃B,則a〃B

C.當bua時，若b_LB,則a_LB

D.當bua時，且CQQ時，若「〃明則b〃c

7.已知平面a_L平面B,點AGa,則過點A且垂直于平面B的直線（）

A.只有一條，不一定在平面a內B.有無數條，不一定在平面a內

C.只有一條，一定在平面a內D.有無數條，一

定在平面a內

8.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD_L底面ABCD,則下列結論中

不正確的是（）

A.AC1SB

A.AC1SB

B.AB〃平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

9.下列命題中錯誤的是（）

A.如果平面a_L平面B,那么平面a內一定存在直線平行于平面B

B.如果平面a不垂直于平面B,那么平面Q內一定不存在直線垂直于平面B

C.如果平面Q_L平面Y,平面B_L平面丫，an0=1,那么1_L平面丫

D.如果平面a_L平面8,那么平面a內所有直線都垂直于平面8

10.如圖，在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點,ACCEF=G.現在沿AE、EF、FA把這個正

方形折成一個四面體，使B.C.D三點重合，重合后的點記為P,則在四面體P-AEF中必有（）

A.AP_LZ\PEF所在平面B.AG_LZ\PEF所在平面

C.EP_LZUEF所在平面D.PG_LZ\AEF所在平面

11.如圖，設平面an

P=EF,ABIa,CD

_La,垂足.分別為

B,D,若增加一個條

件，就能推出BD1

EF.現有①AC8；

②AC與Q,B所成的

角相等：③AC與CD2個C.3個D.4個

在B內的射影在同一

條直線上：④AC〃

EF.那么上述幾個條

件中能成為增加條件

的個數是（）

A.1個

A.1個

12.在△ABC中，

NBAC=90°,PA

_L平面ABC,cw

AB=AC,D是BCB.8D.6

的中點，則圖中直

角三角形的個數

是（）

A.5

13.經過一條直線與一個平面垂直的平面個數是（）

A.1B.2C.無數D.以上答案都不正確

14.如圖,平面a

平面B,A￡Q,

BeB,AB與兩平

面a、B所成的角

分別為

4

和

nB.3：1C.3：2D.4：3

6

.過A、B分別作

兩平面交線的垂

線，垂足為A'、

B',則AB：A'

B'=（）

A.2：1

A.2:1

A.2：1

15.已知點E,F分

別是正方體

ABCD-A1B1C1D1

的極AB,AA1的中

點，點M,N分別是々

線段D1E與。卡上巳。1條C.2條D.無數條

的點，則與平面

ABCD垂直的直線

1\^有（）

A.0條

A.0條

16.三棱錐P-ABC的高為PH,若P到AABC的三邊的距離相等，若H在△ABC內，則H為△人80的（）

A.內心B.外心C.垂心D.垂心或內心

17.如圖所示，在斜三

棱柱ABC-A1B1C1民直線BC上C.直線CA上D.4ABC內部

中，ZBAC=90:,

BC11AC,則C1在

面ABC上的射影H必

在（）

A.直線AB上

A.直線AB上

18.如圖是一個

幾何體的平面展

開圖，其中

ABCD為正方形，

E、F分別為

PA.PD的中點，

在此幾何體中，

給出下面四個結

論：

①直線BE與直

處「匚口而B.2個C.3個D.4個

線CF異面；

②直線BE與直

線AF異面；

③直線EF〃平面

PBC：

④平面船￡，平

面PAD.

其中正確結論的

個數是（）

A.1個

A.1個

二.填空題

19.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M

滿足時，平面MBDJ_平面PCD.（只要填寫一個你認為是正確的條件即可）

20.已知平面Q,B和直線，給出條件：

①m〃0:

②m_La：

@mua:

④a_L[3：

⑤a〃B.

（i）當滿足條件時，有m〃B；

（ii）當滿足條件時，有m_L6.（填所選條件的序號）

21.已知AB是平面a的垂線,AC是平面a的斜線，CDW平面a,CD_LAC,則面面垂直的有.

22.設AABC的三個頂點在平面a的同惻,AA1平面a于點A1,BB1_L平面a于點B1,CC1_L平面。于點

C1,G、G1分別是AABC和aAIBICI的重心，若AA1=7,BB1=3,CC1=5,則GG1=.

23.設a,B為兩個不重合的平面,m,n為兩條不重合的直線，給出下列四個命題：

①若m_Ln,m±a,nQa則n/za；

②若aJLB,aCB=m,nca,nlm,則n_LB：

③若mln,m〃a,n〃B,貝ija_LB：

④若nua,muB,a與B相交且不垂直，則n與m不垂直.

其中所有真命題的序號是

24.如圖，在正方體ABCDAB1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP與

BD1垂直，則動點P的軌跡為

25.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1EJ_平面ABF,

則CE與DF的和的值等于

26.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱PA=a,PB=PD=

2

三.解答題

27.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分別是梭AB、AD、DD1、BB1、A'B1.

A1D1的中點，求證：

(I)直線BC1〃平面EFPQ：

(II)直線AC1平面PQMN.

2?.在如圖所示的多閨體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形

(I)若AC1BC,證明：直線BC_L平面ACC1A1：

(II)設D.E分別是線段BCCC1的中點，在線段AB上是否存在一點M,使宜線DE〃平面A1MC?請

證明你的結論.

B

29.如圖，在三棱柱ABCA1柱C1中，側棱垂直于底面,AB_LBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,

BC的中點.

(I)求證：平面ABE_LB1BCC1；

(II)求證：C1F〃平面ABE：

(III)求三棱錐E-ABC的體枳.

30.如圖1,在直角梯形ABCD中，3ADC=90°,CD〃AB,AB=4,AD=CD=2,M為線段AB的中點.將4

ADC沿AC折起，使平面ADC_L平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.求證：BC_L平面ACD；

【參考答案】

1-5BCABD6-10CCDDA11-15BBDAB16-18AAB

19.DM1PC(或BMJ.PC等.20.③⑤；②.21.平面ABC_L平面ACD

22..23.①..24.線段CB..25...26.5

27.證明：(I)在正方體ABCD-在B1C1D1中，連接AD1,

???AD1〃BC1,且F、P分別是AD.DD1的中點,

.,.FP/7AD1..-.BC1/7FP,

又FPc平面EFPQ,且BC1Q平面EFPQ,

.??直線BC1〃平面EFPQ；

(II)如圖,

連接AC.BD,則AC_LBD,?平面ABCD,BDu平面ABCD,

.,.CC11BD；

又ACGCC1=C,...BD，平面ACC1,

又AC1u平面ACC1,.?.BDLACI；

又IM、N分別是A1B1.A1D1的中點，

AMNZ/BD,AMNIACI：

同理可證PN1AC1,

又PNHMN=N,.?.直線AC1_L平面PQMN.

28.(I)證明：*：四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形，

AAA1±AB,AA11AC,

VABnAC=A,

???AA1L平面ABC,

VBCc平面ABC,

AAA1±BC,

VAC±BC,AA1AAC=A,

???直線BC_L平面ACC1A1：

(II)解：取AB的中點M,連接AIM,MC,AIC,AC1,設O為AIC,AC1的

交點，則O為AC1的中點.

連接MD,OE,貝ljMD〃AC,MD=

1

2

AC,OE#AC,OE=

I

2

AC,

:.MD〃OE,MD=OE,

連接OM,則四邊形MDEO為平行四邊形，

:.DE〃MO,

,:DEQ平面A1MC,MOc平面AIMC,

二.DE〃平面A1MC,

???線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直