齊次線性方程題目和答案齊次線性方程組是線性代數中的一個重要概念，它指的是所有常數項都為零的線性方程組。以下是一些齊次線性方程組的題目和答案：題目1：解下列齊次線性方程組：\[\begin{cases}x+y-z=0\\2x-y+z=0\\x+2y+3z=0\end{cases}\]答案1：首先，我們可以將方程組寫成矩陣形式：\[\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&-1&1\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\]接下來，我們對增廣矩陣進行行簡化：\[\begin{pmatrix}1&1&-1&0\\2&-1&1&0\\1&2&3&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&-1&0\\0&-3&3&0\\0&1&4&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&-1&0\\0&1&-1&0\\0&1&4&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&5&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\]從簡化后的矩陣可以看出，方程組的解為：\[x=0,\quady=0,\quadz=0\]因此，該方程組只有零解。題目2：解下列齊次線性方程組：\[\begin{cases}x+2y+3z=0\\4x+5y+6z=0\\7x+8y+9z=0\end{cases}\]答案2：將方程組寫成矩陣形式：\[\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\]對增廣矩陣進行行簡化：\[\begin{pmatrix}1&2&3&0\\4&5&6&0\\7&8&9&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&3&0\\0&-3&-6&0\\0&-6&-12&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&3&0\\0&1&2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\]從簡化后的矩陣可以看出，方程組的解為：\[x=z,\quady=-2z\]其中\(z\)是自由變量。因此，該方程組的通解為：\[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\]題目3：解下列齊次線性方程組：\[\begin{cases}x+y+z=0\\x-y+z=0\\x+y-z=0\end{cases}\]答案3：將方程組寫成矩陣形式：\[\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\]對增廣矩陣進行行簡化：\[\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&-1&1&0\\1&1&-1&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&-2&0&0\\0&0&-2&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\]從簡化后的矩陣可以看出，方程