豐臺區(qū)高三二模數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$處取得極值，則該極值是：

A.最大值

B.最小值

C.無極值

D.無法確定

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=3$，$S_5=30$，則公差$d$等于：

A.3

B.4

C.5

D.6

3.若不等式$|x-1|+|x+2|<3$的解集為$A$，則$A$的長度為：

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知復數(shù)$z=a+bi$（其中$a,b\inR$）滿足$|z-i|=|z+1|$，則實數(shù)$a$的取值范圍是：

A.$a>0$

B.$a\leq0$

C.$a>1$

D.$a\leq1$

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$在區(qū)間$(0,1)$內單調遞增，則函數(shù)$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}$在區(qū)間$(0,1)$內：

A.單調遞增

B.單調遞減

C.先增后減

D.先減后增

6.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=2$，$S_3=12$，則公比$q$等于：

A.2

B.3

C.4

D.6

7.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{1-x^2}$在$x=0$處的切線斜率為：

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

8.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的圖像關于直線$x=1$對稱，則該函數(shù)的對稱中心為：

A.$(1,0)$

B.$(1,1)$

C.$(1,2)$

D.$(1,3)$

9.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=5$，$S_4=40$，則第8項$a_8$等于：

A.5

B.10

C.15

D.20

10.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=0$處的導數(shù)$f'(0)$等于：

A.0

B.1

C.-1

D.2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間$(-\infty,+\infty)$上單調遞增的是：

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=e^x$

D.$f(x)=\lnx$

E.$f(x)=\sqrt{x}$

2.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的圖像經(jīng)過點$(1,2)$，則以下哪個方程組無解：

A.$\begin{cases}f(x)=2\\x=1\end{cases}$

B.$\begin{cases}f(x)=2\\x=2\end{cases}$

C.$\begin{cases}f(x)=2\\x=3\end{cases}$

D.$\begin{cases}f(x)=2\\x=4\end{cases}$

E.$\begin{cases}f(x)=2\\x=5\end{cases}$

3.下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是：

A.$\{2,4,6,8,10,\ldots\}$

B.$\{3,6,9,12,15,\ldots\}$

C.$\{1,3,5,7,9,\ldots\}$

D.$\{1,2,4,8,16,\ldots\}$

E.$\{1,3,5,7,11,\ldots\}$

4.下列命題中，正確的是：

A.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調遞增，則$f(a)<f(b)$

B.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調遞減，則$f(a)>f(b)$

C.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$f(a)<f(b)$

D.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$f(a)>f(b)$

E.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$f(a)=f(b)$

5.下列復數(shù)中，可以表示為實數(shù)的復數(shù)是：

A.$i$

B.$-i$

C.$1+i$

D.$1-i$

E.$2i$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項$a_1$，若$a_4+a_7=20$，則$a_6=\_\_\_\_\_\_\_$

2.若函數(shù)$f(x)=\frac{2x-1}{x^2+x}$的圖像與$x$軸的交點為$(1,0)$，則該函數(shù)的定義域為$\_\_\_\_\_\_\_$

3.若復數(shù)$z=3+4i$的模為$5$，則$z$在復平面上的坐標為$\_\_\_\_\_\_\_$

4.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公比$q=3$，則第5項$a_5=\_\_\_\_\_\_\_$

5.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的圖像在$x=1$處取得極值，則該極值的值為$\_\_\_\_\_\_\_$

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算題

已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：

（1）函數(shù)的導數(shù)$f'(x)$；

（2）函數(shù)的極值點及對應的極值；

（3）函數(shù)的單調區(qū)間。

2.計算題

已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，其中$a_1=5$，$S_5=55$，求：

（1）數(shù)列的公差$d$；

（2）數(shù)列的前10項和$S_{10}$；

（3）數(shù)列的第15項$a_{15}$。

3.計算題

已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求：

（1）函數(shù)的定義域；

（2）函數(shù)的圖像與$x$軸的交點；

（3）函數(shù)的垂直漸近線方程。

4.計算題

已知復數(shù)$z=2+3i$，求：

（1）$z$的模$|z|$；

（2）$z$的共軛復數(shù)$\overline{z}$；

（3）$z$的輻角$\theta$（用弧度表示）。

5.計算題

已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，其中$a_1=3$，$a_4=81$，求：

（1）數(shù)列的公比$q$；

（2）數(shù)列的前6項和$S_6$；

（3）數(shù)列的第8項$a_8$。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.A（知識點：極值的判定方法）

2.B（知識點：等差數(shù)列的通項公式和前$n$項和公式）

3.A（知識點：不等式的解法）

4.B（知識點：復數(shù)的模和幾何意義）

5.A（知識點：函數(shù)的單調性）

6.B（知識點：等比數(shù)列的通項公式和前$n$項和公式）

7.A（知識點：導數(shù)的幾何意義）

8.A（知識點：函數(shù)的對稱性）

9.B（知識點：等差數(shù)列的通項公式）

10.A（知識點：導數(shù)的計算）

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.A,C,D（知識點：函數(shù)的單調性）

2.B,D（知識點：函數(shù)與方程的關系）

3.A,B,C（知識點：等差數(shù)列的定義）

4.A,B（知識點：函數(shù)的單調性）

5.B,D（知識點：復數(shù)的模和幾何意義）

三、填空題答案及知識點詳解：

1.$a_6=6$（知識點：等差數(shù)列的通項公式）

2.定義域為$\{x|x\neq2\}$（知識點：函數(shù)的定義域）

3.坐標為$(3,4)$（知識點：復數(shù)的模和幾何意義）

4.$a_5=54$（知識點：等比數(shù)列的通項公式）

5.極值為$-2$（知識點：導數(shù)的計算）

四、計算題答案及知識點詳解：

1.解題過程：

（1）$f'(x)=3x^2-12x+9$

（2）極值點為$x=1$，極值為$f(1)=2$，極大值。

（3）單調遞增區(qū)間為$(-\infty,1)$和$(3,+\infty)$，單調遞減區(qū)間為$(1,3)$。

2.解題過程：

（1）$d=2$

（2）$S_{10}=10\times5+45=95$

（3）$a_{15}=5+14\times2=33$

3.解題過程：

（1）定義域為$\{x|x\neq2\}$

（2）交點為$(2,0)$

（3）垂直漸近線方程為$x=2$

4.解題過程：

（1）$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=5$

（2）$\overline{z}=2-3i$

（3）$\theta=\arctan\frac{3}{2}$

5.解題過程：

（1）$q=3$

（2）$S_6=3+9+27+81+243+729=1093$

（3）$a_8=3^8=6561$

知識點總結：

本試卷涵蓋了高中數(shù)學中的多項知識點，包括函數(shù)的性質、數(shù)列、復數(shù)、導數(shù)、極值、單調性、定義域、圖像、方程、幾何意義等。題型包括選擇題、多項選擇題、填空題和計算題，全面考察了學生對這些知識點的掌握程度。

題型詳解及示例：