湖北省十堰市2024-2025學年高一下學期6月期末調研考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復數，則（

）A． B． C． D．2．函數的最小正周期為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（

）A． B． C．-6 D．64．已知復數，滿足，，且，則（

）A． B． C．7 D．5．在直四棱柱中，四邊形是梯形，，，，E，F分別是棱，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．6．已知，均為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．37．某甜品店推出一款球形創意冰激凌，將冰激凌球放置在特制的巧克力圓臺容器中.已知巧克力圓臺容器的上底面圓的半徑為8厘米，下底面圓的半徑為2厘米，若該球形創意冰激凌與巧克力圓臺容器的內壁及上、下底面均相切（不考慮巧克力圓臺容器的厚度），則該球形創意冰激凌的體積是（

）A．立方厘米 B．16π立方厘米C．立方厘米 D．立方厘米8．純音是指單一頻率的聲音，純音的數學模型是函數.我們在日常生活中聽到的聲音幾乎都是復合音，而復合音是由多個頻率不同的純音組成的.已知某聲音的數學模型是函數，若的圖象關于直線對稱，且的圖象關于點中心對稱，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．設i為虛數單位，復數滿足，則（

）A．可以是 B．若為純虛數，則其虛部為2C． D．對任意復數，恒成立10．已知函數的圖象的一條對稱軸為直線，則（

）A． B．的圖象關于點對稱C．在上單調遞減 D．在上有3個零點11．“趙爽弦圖”是中國古代數學的圖騰，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如圖，某人仿照“趙爽弦圖”，用六個全等的直角三角形和一個小的正六邊形拼成一個大正六邊形，其中G，H，J，K，L，M分別是，，，，，的中點，O是正六邊形的中心，P是正六邊形內的一動點（包含邊界），，則（

）A． B．C．的最小值是3 D．的最大值是三、填空題12．已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是.13．某數學興趣小組成員為測量A，B（視為質點）兩地之間的距離，在A的北偏東15°方向上和西偏北30°方向上分別選取點C，D，已知B在A的西偏南30°方向上，A，C兩地相距千米.B，D兩地相距千米，且D在C的西偏南15°方向上，則A，B兩地之間的距離是千米.14．在正四棱錐中，，，點F在四棱錐的側面上運動，且平面，則動點的軌跡長度為.四、解答題15．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，且.(1)求B；(2)若，且的周長為6，求a，c.16．如圖，在多面體中，，，，平面平面.

(1)證明：平面.(2)已知，平面平面，是線段的中點.①證明：四邊形為矩形.②求多面體的體積.17．已知函數，，是的兩個零點，且的最小值是π.(1)求的值；(2)求在上的值域；(3)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.18．密鋪，即平面圖形的鑲嵌，指用形狀、大小完全相同的平面圖形進行拼接，使彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片、如圖1，這是一個密鋪圖形，它由四個完全相同的平面四邊形組成，小華為了進一步研究這個密鋪圖形，單獨繪制出組成這個密鋪圖形的四邊形，如圖2，其中，.

(1)若的面積為，且B為銳角，求的長度.(2)試問是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由，(3)求四邊形面積的最大值.19．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為4的菱形,,為等邊三角形，，E，F分別是棱，的中點.(1)求四棱錐的體積.(2)在棱上是否存在點G，使得平面平面?若點G存在，求出的值；若不存在，請說明理由.(3)若H是棱的中點，求二面角的正弦值.

湖北省十堰市2024-2025學年高一下學期6月期末調研考試數學試題參考答案題號12345678910答案BCADBACBACDABD題號11答案BCD1．B【詳解】，所以，則.故選：.2．C【詳解】因為函數的最小正周期為，函數的圖象是由函數的圖象將軸下方的圖象翻折到軸上方和軸上方的圖象組成，故函數的最小正周期為.故選：C.3．A【詳解】由題意可得，解得，故選：A.4．D【詳解】設，在復平面內對應的向量分別為，，由題意可知，，，則以，為鄰邊的平行四邊形中，.在中，由余弦定理可得，故選：D.5．B【詳解】取棱的中點，連接，，，因為，所以四邊形為平行四邊形，，則是異面直線與所成的角或補角.設，則，，，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值是.故選：.6．A【詳解】因為，均為銳角，所以，所以，即.因為，所以，所以，，則.故選：A.7．C【詳解】如圖，設，分別是該圓臺容器上、下底面圓的圓心，四邊形是該圓臺容器的軸截面，圓是球形創意冰激凌的截面，E，F分別為圓O切，的切點，則，.作，垂足為H，則，，.因為，所以，則，即該球形創意冰激凌的半徑為4，故該球形創意冰激凌的體積為立方厘米.故選：C.8．B【詳解】因為的圖象關于直線對稱，所以，所以，即，所以，則，即.因為的圖象關于點中心對稱，所以，即，即，則，解得.綜上，.因為，所以的最小值為3.故選：B.9．ACD【詳解】當時，，符合題意，A正確.由為純虛數，且，得，其虛部為，B錯誤.設，則，所以，因為，則有，故，C正確.由復數的運算性質和模長定義，可知對任意復數，，恒成立，D正確.故選：ACD.10．ABD【詳解】由題意可得，解得，因為，所以，A正確.因為，所以的圖象關于點對稱，B正確.由，得，則在上單調遞增，C錯誤.由，得，則此時有三個零點，則在上有3個零點，D正確，故選：ABD.11．BCD【詳解】連接，則O為線段的中點.連接，易證四邊形，均為平行四邊形，則.連接，則A，M，E三點共線，且，所以，A錯誤.由正六邊形的性質可得，，則，B正確.作，垂足為N.當P與H重合時，取得最小值.因為，所以.因為H為線段的中點，所以N為線段的中點，所以，則，C正確.延長，交線段于點，則為線段的中點.因為，所以.因為，所以，所以.當P在線段上時，取得最大值，，D正確故選：BCD.12．【詳解】因為，所以.因為在上單調遞增，且，所以解得.故答案為：.13．30【詳解】由題中數據可得，，千米，則.在中，由正弦定理可得，則千米.在中，千米，千米，，由正弦定理可得，則，所以，所以，故千米.故答案為：30.14．【詳解】如圖，分別取線段，的中點，連接，，.連接，交于點，連接.因為四邊形是正方形，所以為線段的中點.因為，所以，即為線段的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為分別是線段，的中點，所以，.因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，且，所以平面平面.因為平面，且在平面內，所以點的軌跡為線段.由題意可知，則，.由余弦定理可得，則.故答案為：.15．(1)(2).【詳解】（1）因為，所以，即，由正弦定理，則，代入兩邊約去得：即.因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以.（2）由余弦定理可得，則.①因為，且的周長為6，所以.②聯立①②，解得.16．(1)證明見解析(2)①證明見解析；②8【詳解】（1）證明：因為，所以，所以.因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以.因為，平面，平面，且，所以平面.

（2）①證明：因為，且為線段的中點，所以.因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面.所以，由（1）可知平面，則，，因為，，且，所以.因為，所以四邊形是矩形.②解：因為，且為線段的中點，所以，由①知，因為平面，平面，且，所以平面，由①知，因為，，所以.則四棱錐的體積.故多面體的體積.17．(1)(2).(3).【詳解】（1）由題意可得.由于，是的兩個零點，所以，是的兩個零點，因為的最小值是，且，所以最小正周期，解得.（2）由（1）知.因為，所以.當，即時，取得最小值，；當，即時，取得最大值，.故在上的值域為.（3）設，，由（2）可知.不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，即.因為，當且僅當時，等號成立.所以a的取值范圍是.18．(1)(2)是，1(3).【詳解】（1）因為的面積為，所以，解得，因為B為銳角，所以.在中，由余弦定理可得，則；（2）在中，由余弦定理可得.①在中，由余弦定理可得.②聯立①②，可得，即，即為定值1；（3）四邊形的面積，則，由（2）可知，則，所以，所以.當，即時，取得最大值72.故，即四邊形面積的最大值為.19．(1)16(2)存在，.(3).【詳解】（1）連接.因為四邊形是邊長為4的菱形，，所以為邊長為4的等邊三角形.因為是線段的中點，所以，所以.因為是邊長為4的等邊三角形，且是線段的中點，所以，且.因為，，所以，所以.因為平面，平面，且，所以平面，則四棱錐的體積為.（2）存在滿足條件的點，此時.理由如下：連接，記，，連接，，，.因為E，F分別是棱，的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為四邊形是菱形，所以是的中點，所以.因為，且是棱的中點，所