行知中學2024-2025學年第二學期高一年級數學月考22025.5一、填空題（本大題共12小題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）

1．設集合，則．

【答案】2．函數（是有理數）的圖象過一定點，則的坐標為．

【答案】3．已知函數是奇函數，則實數的值為．

【答案】14．為虛數單位，若復數滿足，則．

【答案】5．已知角的頂點是坐標原點，始邊與軸的正半軸重合．終邊過點，則．

【答案】6．已知，則．

【答案】7．關于的不等式的解集為．

【答案】8．如果函數滿足對任意，都有成立，那么實數的取值范圍是．

【答案】9．在中，角的對邊分別是，若，且，則的面積最大值是．

【答案】10．設為實數，若，則的最大值是．

【答案】11．已知，順次連接函數與的任意三個相鄰的交點都構成一個等腰直角三角形，則．

【答案】12．已知的外接圓圓心為，若（為實數）有最小值，則參數的取值范圍是．

【答案】二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分，每題3分）

13．設，則＂＂是＂＂的（）.

A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件

【答案】A14．有四個命題：（1）若，則；（2）若，則；（3）若＂，則；（4）若且，則.其中正確命題的序號是（）.

A．（1）（3）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（1）（4）【答案】C15．三角函數是刻畫周期現象最典型的數學模型．關于三角函數周期性給出兩個結論：（1）函數是周期函數；（2）函數是周期函數，則下列判斷正確的是（）.

A．（1）（2）都正確B．（1）（2）都錯誤C．（1）正確，（2）錯誤D．（1）錯誤，（2）正確

【答案】C16．已知定義在R上的偶函數，滿足對任意的實數都成立，且值域為.設函數，若對任意的，存在，使得成立，則實數的取值范圍為（）.

A．B．C．D．

【答案】D三、解答題（本大題滿分46分）17．（本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分）

已知是一元二次方程的一個復數根.

（1）求的值；

（2）若為純虛數，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）由條件可知，，

則，得，

則，得，所以；

（2）由題意可知得，所以，則．

18．（本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分）

已知向量滿足

（1）求與的夾角余弦值；

（2）求向量在向量上的投影向量的坐標．【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，所以，

又，所以，

故與的夾角余弦值為；

（2）因為，則，所以向量在向量上的投影向量坐標為．

19．（本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分）

為了美化環境，某公園欲將一塊空地規劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形，并修建兩條小路（路的寬度忽略不計），其中千米，千米，是以為直角頂點的等腰直角三角形．設．

（1）當時，求：①小路的長度；②草坪的面積；

（2）當草坪的面積最大時，求此時小路的長度．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，故，

由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，即，

則，

故有，故;

（2），,

故，則，其中，則當，即時，草坪ABCD的面積最大，

此時，即此時小路BD的長度為.

20．（本題滿分10分，第1小題4分，第2小題6分）

已知，函數．

（1）若函數的值域為，求的取值范圍；

（2）若關于的方程的解集中恰好只有一個元素，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）因為函數的值域為，即的值域為，故能夠取到一切大于0的實數，

當時，，不符合題意；

當時，不符合題意，

當時，根據二次函數的圖象和性質可得，解得;綜上所述：的取值范圍是．

（2）關于的方程的解集中恰好只有一個元素，

所以的解集中恰好只有一個元素，

即且的解集中恰好只有一個元素，

所以，即，

①當時，解得，此時，滿足題意；

②當時，，此時也滿足題意；

③當且時，兩根為，

當時，由得，當時，由得，

因為和只能取一個值，

所以只能取，所以且，解得．

綜上所述：的取值范圍是．

21．（本題滿分12分，第1小題3分，第2小題4分，第3小題5分）

已知函數，若對于任意的實數都能構成三角形的三條邊長，則稱函數為上的＂完美三角形函數＂．

（1）記在上的最大值、最小值分別為，試判斷＂＂是＂為上的＂完美三角形函數＂的什么條件？不需要證明；

（2）設向量，若函數為上的＂完美三角形函數＂，求實數的取值范圍；

（3）已知函數為（為正的實常數）上的＂完美三角形函數＂.函數的圖象上，是否存在不同的三個點，它們在以軸為實軸，軸為虛軸的復平面上所對應的復數分別為，滿足，且？若存在，請求出相應的復數，若不存在，請說明理由．【答案】（1）充要條件（2）（3）不存在【解析】（1）根據＂完美三角形函數＂的定義