試題試題2024北京理工大附中初三3月月考數學（3.20）一、選擇題（共16分，每題2分）每題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.火星是太陽系九大行星之一，火星的半徑約為3395000米，數3395000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.2.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.圓柱 B.三棱錐 C.三棱柱 D.正方體3.實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，若，則下列結論錯誤的是（）A. B. C. D.4.如圖，將一副三角板疊在一起，使它們的直角頂點重合于O點，已知∠AOB=160°，則∠COD的度數為()A.20° B.30° C.40° D.50°5.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，當a為正整數時，a的值為（）A.1 B.2 C.1或2 D.46.如圖是某小區花園內用同一種白色正多邊形和黑色正方形地磚鋪設的小路的局部示意圖，四塊正多邊形地磚圍成的中間區域使用一塊正方形地磚，則正多邊形的內角和為（）A. B. C. D.7.從甲、乙、丙三名同學中隨機抽取兩名同學去參加義務勞動，則甲與乙恰好被選中的概率是（）A. B. C. D.8.如圖，正方形的邊長為4，延長至E使，以為邊在上方作正方形，延長交于M，連接，，H為的中點，連接分別與，交于點N、K：則下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（共16分，每題2分）9.若二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是______．10.因式分解：________________．11.分式方程的解是______．12.已知點A（x1，y1）、B（x1―3，y2）在直線y＝―2x＋3上，則y1_____y2（用“＞”、“＜”或“＝”填空）13.果農小明隨機從甲、乙、丙三個品種的枇杷樹中各選棵，每棵產量的平均數（單位：千克）及方差（單位：千克）如下表所示，他準備從這三個品種中選出一種產量既高又穩定的枇杷樹進行種植，則應選的品種是_____．甲乙丙14.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點E在邊BC上，DF⊥AE，垂足為F，若DF＝6，則線段EF的長為_____．15.已知是反比例函數圖象和正比例函數圖象的交點．若，則的取值范圍是______．16.一次數學考試共有8道判斷題，每道題5分，滿分40分．規定正確的畫√，錯誤的畫×．甲、乙、丙、丁四名同學的解答及得分情況如下表所示，則的值為______．題號學生12345678得分甲×√×√××√×30乙××√√√××√25丙√×××√√√×25丁×√×√√×√√三、解答題（共68分，第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27，28每題7分）17.計算：．18.解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．19.已知，求的值．20.如圖，在中，，于點D，延長DC到點E，使．過點E作交的延長線于點F，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）過點E作于點，若，，求的長．21.已知關于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數根：（2）若方程的兩個實數根都是正整數，求整數的值．22.在平面直角坐標系中，一次函數的圖象經過點，且與軸交于點A．（1）求該函數的解析式及點A的坐標；（2）當時，對于的每一個值，函數的值小于一次函數的值，直接寫出n的取值范圍．23.某校七年級和八年級的學生參加科普知識競賽，成績得分用x表示，共分為四組：，，，，下面給出了部分信息：七年級20名學生的成績是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100．八年級20名學生的成績在C組中的數據是：83，85，85，86，87，89，89，89，89．七、八兩年級抽取的學生成績數據統計表班級平均數中位數眾數滿分率七年級8786八年級8789根據以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出圖表中a、b的值：，．（2）根據以上數據，你認為七年級和八年級中哪個年級的學生掌握科普知識較好？請說明理由（一條理由即可）；（3）該校七年級有400名學生和八年級有500名學生參加了此次科普知識競賽，請估計兩個年級成績達到90分及以上的學生共有多少人？24.如圖，在中，，以為直徑的交于點，點為延長線上一點，延長交于點，連接，．（1）求證：是的切線；（2）連接，若，時，求的長．25.鷹眼技術助力杭州亞運，提升球迷觀賽體驗，如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統預測畫面（圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點O，守門員位于點A，的延長線與球門線交于點B，且點A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．水平距離s與地高度h的鷹眼數據如表：0912151821…04.24.854.84.2…（1）根據表中數據可得，當m時，h達到最大值m；（2）求h關于s的函數解析式；（3）當守門員位于足球正下方，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度2.6m時，視為防守成功．若一次防守中，守門員位于足球正下方時，，請問這次守門員能否防守成功？試通過計算說明．26.在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，且．（1）當時，求的值；（2）點，，在拋物線上，若，判斷，與的大小關系，并說明理由．27.四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到線段CE，連接DE，過點B作BF⊥DE交DE的延長線于F，連接BE．（1）依題意補全圖1，并直接寫出∠FBE的度數；（2）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數量關系，并證明．28.如圖1，對于的頂點P及其對邊上的一點Q，給出如下定義：以P為圓心，為半徑的圓與直線的公共點都在線段上，則稱點Q為關于點P的內聯點．在平面直角坐標系中：（1）如圖2，已知點，點B在直線上．①若點，點，則在點O，C，A中，點______是關于點B的內聯點；②若關于點B的內聯點存在，求點B縱坐標n的取值范圍；（2）已知點，點，將點D繞原點O旋轉得到點F，若關于點E的內聯點存在，直接寫出線段EF長度的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共16分，每題2分）每題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】C【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正整數；當原數的絕對值時，是負整數．【詳解】解：．故選：C．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．2.【答案】C【分析】根據主視圖和左視圖都是高度相等的長方形，可判斷該幾何體是柱體，進而根據俯視圖的形狀，可判斷柱體底面形狀，得到答案．【詳解】解：∵幾何體的主視圖和左視圖都是高度相等的長方形，故該幾何體是一個柱體，又∵俯視圖是一個三角形，故該幾何體是一個三棱柱，故選：C．【點睛】題考查的知識點是三視圖，如果有兩個視圖為三角形，該幾何體一定是錐，如果有兩個矩形，該幾何體一定柱，其底面由第三個視圖的形狀決定．3.【答案】C【分析】本題考查根據數軸上字母的位置，判斷式子的正負，有理數的相關運算，以及絕對值意義，根據，可知數軸原點是b，c的中點，即可判斷實數a，b，c的正負，再根據有理數的相關運算法則，對選項作出判斷，即可解題．【詳解】解：，數軸原點是b，c的中點，，，，且，，故A項正確，不符合題意．，故B項正確，不符合題意．，故C項錯誤，符合題意．，故D項正確，不符合題意．故選：C．4.【答案】A【分析】先根據直角三角板的性質得出，進而可得出的度數．【詳解】解：，是一副直角三角板，，，，，故選：．【點睛】本題考查的是角的計算，余角，解題的關鍵是熟知直角三角板的特點．5.【答案】C【分析】關于x一元二次方程有兩個不相等的實數根，則根的判別式，計算出的范圍，根據要求取是正整數的值．【詳解】解：由方程，知，要使方程有兩個不相等的實數根，則，即，解得：，要取正整數，或，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是：要求掌握，當時，方程有兩個不等的實數根；時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．6.【答案】C【分析】先求出正多邊形的一個外角為：，再求出正多邊形的邊數為：，根據正多邊形的內角和公式求出結果即可．【詳解】解：∵正方形的一個內角為，∴正多邊形的一個內角為：，∴正多邊形的一個外角為：，∴正多邊形的邊數為：，∴正多邊形的內角和為：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了正多邊形的內角和外角，解題的關鍵是根據圖形求出正多邊形的一個內角度數，熟記多邊形內角和公式．7.【答案】C【分析】根據題意用列舉法求概率即可．【詳解】解：隨機抽取兩名同學所能產生的所有結果，它們是：甲與乙，甲與丙，乙與丙，所有可能的結果共3種，并且出現的可能性相等，甲與乙恰好被選中的概率：．故選：C．【點睛】本題主要考查了用列舉法求概率，能正確列舉出所有等可能結果是做出本題的關鍵．8.【答案】B【分析】由正方形的性質得到，，，，，求得，，根據全等三角形的定理定理得到，即可判斷①；根據全等三角形的性質得到，推出，得到，即可判斷②；根據全等三角形的性質得到，根據相似三角形的性質得到，根據平行線的性質得到，根據直角三角形的性質得到即可判斷③；根據矩形的性質得到，根據三角形的面積公式即可得到結論；【詳解】解：∵正方形的邊長為4，，∴，，，∵H為的中點，∴，，∴，，∵，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴，∴，故②錯誤；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③正確，延長交于M，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，故④錯誤，故選B；【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，矩形的判定和性質，直角三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件．根據二次根式有意義的條件：被開方數為非負數求解即可．【詳解】解：由題意知，解得，故答案為：．10.【答案】【分析】此題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合運用，正確運用平方差公式是解題關鍵．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：原式．故答案為：．11.【答案】【分析】按照解分式方程的方法解方程即可．【詳解】解：，方程兩邊同乘得，，解整式方程得，，當時，，是原方程的解，故答案為：．【點睛】本題考查了解分式方程，解題關鍵是熟練運用解分式方程的方法解方程，注意：分式方程要檢驗．12.【答案】<【分析】由k=-2<0根據一次函數的性質可得出該一次函數單調遞減，再根據x1>x1-3，即可得出結論．【詳解】解：∵直線y＝―2x＋3中，k=-2＜0，∴該一次函數隨x的增大而減小，∵＞x1―3，∴＜．【點睛】本題考查了一次函數的性質，解題的關鍵是根據k=-2<0得出該一次函數y隨x的增大而減小本題屬于基礎題，難度不大,解決該題型題目時，根據一次項系數的正負得出該函數的增減性是關鍵．13.【答案】甲【分析】本題考查了方差和平均數，先比較平均數得到甲和乙產量較高，然后比較方差得到甲比較穩定，即可求解，掌握方差越小數據越穩定是解題的關鍵．【詳解】解：因為甲、乙的平均數比丙大，所以甲、乙的產量較高，又甲的方差比乙小，所以甲的產量比較穩定，即從這三個品種中選出一種產量既高又穩定的枇杷樹進行種植，則應選的品種是甲；故答案為：甲．14.【答案】3【分析】證明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，從而可得EF．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，故答案為：3．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．15.【答案】或【分析】本題主要考查反比例函數與一次函數綜合，解題的關鍵是根據圖象的特點求解．根據反比例函數圖象與正比例函數圖象可得兩圖像關于原點中心對稱，根據圖象的特點求出兩交點，，利用圖像特點即可求解．【詳解】解：根據反比例函數圖象與正比例函數圖象交點規律：兩個交點關于原點對稱，可得另一交點的坐標為．由圖象可得在點的左側、y軸的右側及另一交點的左側時，相同橫坐標的反比例函數的值都大于正比例函數的值，故當時，或，故答案為：或．16.【答案】【分析】本題考查了推理與論證，由乙丙的答案和得分得出第2，5題兩題答案正確，由甲的得分結合乙丙的答案可得甲其余題答案均正確，由正確答案求出丁的得分即可，考查了學生閱讀能力和邏輯思維能力．【詳解】解：乙、丙的第2，5題答案相同，且總得分都是分，第2，5題兩題答案正確；甲得了分，即甲錯兩題且第2，5題與乙、丙的答案不同，甲其余題答案均正確，這道判斷題的答案分別是：×，×，×，√，√，×，√，×，對比丁的答案，可知其第，兩題是錯誤的，，故答案為：．三、解答題（共68分，第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27，28每題7分）17.【答案】【分析】本題考查了實數的混合運算，先根據特殊角的三角函數值、二次根式的性質、負整數指數冪、絕對值進行化簡，再計算乘法，最后計算加減即可．【詳解】解：．18.【答案】，表示在數軸上見解析.【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數軸上表示出來即可．【詳解】由①得，x≥-1，由②得，x＜3，所以，不等式組的解集為：-1≤x＜3，在數軸上表示如下：【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，在數軸上表示不等式組的解集，需要把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．19.【答案】【分析】本題考查的是分式的化簡求值，設，先約分再代入計算即可，熟練進行分式的約分是解答此題的關鍵．【詳解】解：設，∴原式．即．20.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊證明即可；（2）根據等腰三角形的性質和平行四邊形的性質、、，用面積相等求解即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：如圖所示，∵，，，∴，由（1）得：四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，∵，，∴，即，解得；【點睛】本題考查了平行的性質和等腰三角形的性質，涉及到勾股定理解三角形等知識點，靈活運用所學知識是關鍵．21.【答案】（1）見解析（2）的值為1或或2或【分析】（1）先求出，再根據根的判別式得出答案即可；（2）把方程的左邊分解因式，求出方程的解，再根據方程的解是整數和m為整數得出答案即可．【小問1詳解】證明：，，，∴，∴方程總有兩個實數根；【小問2詳解】解：，，解得：，，∵方程的兩個實數根都是整數，m為整數，或或2或．【點睛】本題考查了根的判別式和根與系數的關系，能熟記根的判別式是解此題的關鍵，一元二次方程（a、b、c為常數，），當時，方程有兩邊不相等的實數根，當時，方程有兩個相等的實數根，當時，方程無實數根．22.【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據待定系數法求解；（2）根據數形結合，列式求解.【小問1詳解】解：把代入得，∴解得：，，∴此函數解析式令,，∴.【小問2詳解】解：如下圖：當時，，當時，，解得，∴當時，當時，對于的每一個值，函數的值小于一次函數的值.【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式、兩條直線相交或平行問題，數形結合思想是解題的關鍵.23.【答案】（1）86；89（2）八年級的學生掌握科普知識較好，理由見解析（3）兩個年級成績達到90分及以上的學生一共約有315人．【分析】本題考查頻數（率分布直方圖、扇形統計圖、用樣本估計總體、平均數、中位數、眾數，能夠讀懂統計圖，掌握用樣本估計總體平均數、中位數、眾數的定義是解答本題的關鍵．（1）根據中位數、眾數的定義可得答案．（2）根據平均數、中位數的意義可得結論．（3）根據用樣本估計總體，用400乘以七年級成績達到90分及以上的百分比加上500乘以八年級成績達到90分及以上的百分比即可得出答案．【小問1詳解】由七年級20名學生的成績可知，出現次數最多的為86，．八年級20名學生的成績在組中的人數為（人，將八年級20名學生的成績按照從小到大的順序排列，排在第10和11位的為89，89，．故答案為：86；89．【小問2詳解】八年級的學生掌握科普知識較好．理由：七年級和八年級抽取的學生成績的平均數相同，但八年級的中位數比七年級的中位數大，所以八年級的學生掌握科普知識較好．【小問3詳解】（人．兩個年級成績達到90分及以上的學生一共約有315人．24.【答案】（1）見解析（2）【分析】本題考查了切線的判定與性質、圓周角定理、平行線分線段成比例定理、切線長定理，熟練掌握以上知識點，正確作出輔助線是解此題的關鍵．（1）連接，根據圓周角定理得出，從而得出，根據余角的性質得出，即可得出結論；（2）先得出是的切線，根據切線長定理得出，從而得出，根據平行線分線段成比例定理得出，求解即可．【小問1詳解】證明：連接，，，，，，是直徑，，，，，，，是半徑，是的切線；【小問2詳解】解：如圖，連接OP，，，為半徑，是的切線，，，，，，，，．25.【答案】（1），（2）（3）守門員能成功防守，見詳解．【分析】本題考查的是二次函數的實際應用，利用待定系數法求解二次函數的解析式，理解函數圖像上點的橫坐標與縱坐標的含義．（1）根據拋物線的對稱軸可直接得出結論；（2）根據拋物線的對稱性找到頂點，設出頂點式，再代入可求出參數，由此可解答；（3）把代入二次函數解析式求出h，再與最大防守高度比較即可．【小問1詳解】解：時，達到最大值；【小問2詳解】由（1）知，拋物線頂點坐標，設，把代入解析式，，解得，∴．【小問3詳解】當，，∵，∴守門員能成功防守．26.【答案】（1）（2）【分析】（1）由，，可得，根據對稱軸為直線即可求解；（2）根據，求得對稱軸的范圍，再將點根據對稱性轉化到對稱軸右側，再根據得拋物線開口向上，隨的增大而增大，即可得出答案．【小問1詳解】當時，得，，；【小問2詳解】，，，，，，點關于直線的對稱點的坐標是，．．，當時，隨的增大而增大．．【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要涉及到二次函數的開口方向、對稱性以及增減性，熟知二次函數的基本性質是解決函數問題的關鍵．27.【答案】（1）圖見解析，45°；（2）DE＝AF，證明見解析【分析】（1）按照題中的表述畫出圖形即可．∠FBE的度數為45°．由題意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，根據三角形內角和與互余關系分別推理即可；（2）作AH⊥AF，交BF的延長線于點H，判定△HAB≌△FAD（ASA），可得HB＝FD，AH＝AF，HF＝DE，∠H＝45°，從而可得HF與AF的數量關系，則可得線段AF與DE的數量關系．【詳解】解：（1）補全圖形，如圖所示；∠FBE＝45°．設DF與AB交于點G，如圖所示：由題意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠EDC＝∠DEC=90°﹣α，∠BCE＝90°﹣α，∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，∴∠ABE＝45°﹣α．∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°．∵∠AGD＝∠FG