3.1差分方程差分的定義差分方程的概念線性常系數差分方程的迭代求解010203差分的定義連續函數

，采樣后為簡寫一階向前差分：二階向前差分：n階向前差分：一階向后差分：二階向后差分：n階向后差分：時域中描述用微分方程在平衡點附近用線性常系數差分方程來描述差分方程差分的定義差分方程的概念線性常系數差分方程的迭代求解010203差分方程的概念差分方程是確定時間序列的方程

連續系統微分用差分代替一般離散系統的差分方程：代替代替n:差分方程的階次m:輸入階次向前差分向后差分寫出對應時域表達式差分方程差分的定義差分方程的概念線性常系數差分方程的迭代求解010203線性常系數差分方程的迭代求解例題

已知差分方程試求解：采用遞推迭代法，有：通常C（k）沒有閉合形式的解。差分方程的解差分方程的解也分為通解與特解。通解是與方程初始狀態有關的解。特解與外部輸入有關，它描述系統在外部輸入作用下的強迫運動。線性常系數差分方程的迭代求解例題

已知差分方程試求解：采用matlab程序求解：123456n=10;%定義計算的點數c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定義輸入輸出和點數的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,′k:o′)%繪輸出響應圖,每一點上用o表示解序列為：k=0，1，…，9時，c=0，1.0000，1.5000，

1.7500，1.8750，

1.9375，1.9688，

1.9844，1.9922，

1.9961，……差分方程的解序列表示說明：另一個求解方法是利用z變換求解。3.2Z變換的定義Z變換的定義采樣信號采樣信號的z變換注意：z變換中，z-1代表信號滯后一個采樣周期，稱為單位延遲因子。時間序列的強度時間序列出現的時刻時域S域Z域1.Z變換的定義Z變換的定義z的有理分式：z-1的有理分式:零、極點形式：2.采樣脈沖序列進行z變換的寫法3.實際應用中z變換的表現形式Z變換所表示的無窮級數是收斂的，并可寫成閉和形式。Z變換的定義4.Z變換的典型應用案例工程師利用Z變換，可以把傳感器采集的離散的采樣信號轉化為數學模型，進而分析汽車控制系統的穩定性、響應速度等性能指標。01自動駕駛對接收端的離散信號進行Z變換，可以分析信號的頻譜特性，判斷哪些頻率成分受到了干擾，然后采取相應的濾波等措施來恢復信號。02數字通信對圖像進行存儲、傳輸和處理時，把圖像看作是由一個個像素點組成的離散信號，利用Z變換可以對圖像數據進行壓縮和特征提取03數字圖像處理3.3Z變換的基本定理——線性定理Z變換的基本定理——線性定理z變換的線性定理拉氏變換的線性定理如果那么如果那么Z變換的基本定理——線性定理z變換線性定理的典型應用場景在數字音頻處理系統中，想要調整音頻的效果，讓低音更醇厚、高音更清脆時，就可以對這兩個信號進行線性組合01高低音信號組合調音對機器人水平位置和垂直位置兩個信號進行線性組合后再Z變換，可以讓機器人準確地沿著預定軌跡運動，完成各種復雜的任務。02機器人軌跡控制設置合適的k1和k2，對電壓和電流信號進行線性組合并計算其Z變換，能更清晰地分析電網的運行狀況，及時發現潛在問題，保障電力系統穩定運行。03電網運行狀況分析3.4Z變換的基本定理——時移定理Z變換的基本定理——時移定理右位移（延遲）定理左位移（超前）定理f(k-n)相對時間起點延遲n個采樣周期F(z)經過一個z-n的純滯后環節，時間特性向后移動n步表示f(k+n)相對時間起點超前n個采樣周期F(z)經過一個zn的純超前環節，時間特性向左移動n步如果

拉氏變換后得z變換的時移定理拉式變換的延遲定理f(t)延遲τ時間得f(t-τ)Z變換的基本定理——時移定理z變換時移定理的典型應用場景數字通信系統中，信號在傳輸過程中經常會遇到延遲。z變換的時移定理幫助工程師們在接收端對延遲后的信號進行處理，還原出原始信號的特征。01數字通信系統接收端補償傳輸延遲假設每隔T時間記錄一次車輛的速度，想要預測車輛未來nT時間的行駛狀態，就可以利用左位移定理計算出延遲后的z變換，交通工程師就能提前了解車輛的行駛趨勢，做好交通流量調控等工作02智能交通的車輛的行駛趨勢分析工業自動化生產線中，有很多傳感器每隔T時間采集數據，當生產工藝需要提前對未來幾個采樣周期的溫度數據進行處理時，可用左位移定理，幫助工程師提前發現設備可能出現的過熱等問題，及時調整生產參數，保證生產的順利進行03工業自動化生產線中故障預警3.5Z變換的基本定理——終值定理Z變換的基本定理——終值定理sF(s)的全部極點除坐標原點外應全部分部在s平面的左半平面假定函數F(Z)全部極點均在z平面的單位圓內或最多有一個極點在z=1處，則：z變換的終值定理拉式變換的終值定理如果那么已知：Z變換的基本定理——終值定理z變換終值定理的應用場景智能家居的室內溫度調控系統中，溫度傳感器每隔一段時間采集一次室內溫度，這些溫度數據構成離散信號

。經過數據處理和分析得到這個溫度信號的Z變換，通過z變換的終值定理，可以計算出經過很長時間后，室內溫度最終會穩定在什么值。01溫度預測金融領域的股票價格分析中，把某只股票在每個交易日的收盤價看作離散信號

。經過對歷史數據的分析和模型計算，得到股票價格信號的Z變換

。通過z變換的終值定理，可以計算這只股票的價格會穩定在什么水平。02股票價格分析在工業自動化生產線的產品質量監測中，每隔一定時間檢測生產線上產品的某項質量指標，這些指標數據構成離散信號

。經過對質量數據的處理，得到該質量信號的Z變換

。通過z變換的終值定理，可以計算出隨著生產過程持續進行，產品質量指標最終會穩定在什么數值。03產品質量分析3.6求Z變換的方法求Z變換的方法根據定義(級數求和)線性定理；時移定理；復位移定理；初值定理；終值定理根據z變換定理求Z變換的方法已知F(s)的z變換L反變換

z變換采樣

利用s域中的部分分式展開A(s)=0無重根情況A(s)=0有重根情況部分分式展開求Z變換的方法查表法

部分分式查表求和

部分分式查表求和F(s)f(t)F(z)常用的幾個Z變換和拉氏變換公式求Z變換的方法應用場景分析工程師們利用求Z變換的方法，對接收端的離散信號進行處理。通過部分分式法分解復雜信號函數，結合Z變換定理分析信號特性，從而設計出更高效的信號解調算法，提高通信質量，保障數據的快速、準確傳輸。01處理數據通信中的干擾語音信號是離散的，而且包含了很多復雜的頻率成分。通過求Z變換，可以把語音信號從時域轉換到復頻域進行分析。利用線性定理和部分分式法等方法，提取語音信號的關鍵特征，為后續的語音識別模型訓練提供有力支持，02處理語音識別系統中離散的圖像、語音數據通過查表法快速求出多種傳感器的信號形式的Z變換，再結合Z變換定理對不同傳感器信號進行綜合處理，實現對家居設備的智能調控。03多種傳感器的智能控制3.7求Z反變換的方法求Z反變換的方法查表法F(s)f(t)F(z)常用的幾個Z變換和拉氏變換公式如已知z變換函數F(z)，可依F(z)直接從給定的表格中求得它的原函數f*(t)。求Z反變換的方法部分分式法

部分分式

查表求和

查表求Z反變換的方法冪級數展開法長除法求Z反變換的方法應用場景分析已知機械臂在某個運動規劃下的位置信號的Z變換F(z)。運用部分分式法，將F(z)分解為多個簡單分式之和，通過查表法找到每個簡單分式對應的原函數fi(kT)，再將這些原函數相加得到總的原函數f(kT)，就是機械臂在各個采樣時刻的位置信息，工程師就能規劃出機械臂的精確運動軌跡。01機器人運動軌跡規劃電力系統出現故障時，這些電氣量的變化規律會通過Z變換反映在F(z)函數中。采用冪級數展開法將F(z)展開。從展開式的系數f(kT)中，可以獲取到故障時刻前后電流在各個采樣時刻的具體數值變化。結