關于圓錐曲線題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的長軸長為（）A.4B.8C.6D.122.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程為（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)4.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{1}{2}\)，則\(\frac{a}\)等于（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)5.若雙曲線\(\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{3}=1\)的右焦點與拋物線\(y^{2}=12x\)的焦點重合，則\(m\)的值為（）A.3B.6C.9D.126.橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)上一點\(P\)到一個焦點的距離為\(2\)，則\(P\)到另一個焦點的距離為（）A.1B.2C.3D.47.拋物線\(x^{2}=-4y\)的準線方程是（）A.\(y=1\)B.\(y=-1\)C.\(x=1\)D.\(x=-1\)8.雙曲線\(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1\)的實軸長是（）A.2B.4C.6D.89.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的焦距為（）A.4B.6C.8D.1010.若雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線方程為\(y=2x\)，則其離心率為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于圓錐曲線的是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓2.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的性質正確的有（）A.焦點在\(x\)軸B.長軸長為\(10\)C.離心率為\(\frac{3}{5}\)D.短軸長為\(8\)3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的性質正確的是（）A.焦點在\(x\)軸B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.實軸長為\(6\)D.離心率為\(\frac{5}{3}\)4.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的性質有（）A.焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)B.準線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)C.開口向右D.對稱軸為\(x\)軸5.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，下列關系正確的是（）A.\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)B.離心率\(e=\frac{c}{a}\)C.\(a\gtc\gt0\)D.長軸長為\(2a\)6.雙曲線\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的性質正確的有（）A.焦點在\(y\)軸B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.實軸長為\(2a\)D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)）7.拋物線\(x^{2}=2py(p\gt0)\)的性質包括（）A.焦點坐標為\((0,\frac{p}{2})\)B.準線方程為\(y=-\frac{p}{2}\)C.開口向上D.對稱軸為\(y\)軸8.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m\gt0,n\gt0)\)，當\(m\gtn\)時，正確的是（）A.焦點在\(x\)軸B.\(a^{2}=m\)C.\(b^{2}=n\)D.離心率\(e=\sqrt{1-\frac{n}{m}}\)9.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)與\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的相同點有（）A.漸近線相同B.離心率相同C.焦距相同D.實軸長相同10.拋物線\(y^{2}=4x\)與\(x^{2}=4y\)的不同點有（）A.焦點坐標B.準線方程C.開口方向D.對稱軸三、判斷題（每題2分，共10題）1.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)一定大于\(b\)。（）2.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點到準線的距離是\(p\)。（）3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）4.橢圓的離心率\(e\)的范圍是\((0,1)\)。（）5.拋物線\(x^{2}=-2py(p\gt0)\)開口向下。（）6.雙曲線\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)的實軸長為\(2b\)。（）7.橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦點在\(y\)軸上。（）8.拋物線\(y^{2}=8x\)的準線方程是\(x=-2\)。（）9.雙曲線的離心率\(e\gt1\)。（）10.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)上一點到兩焦點距離之和為\(2a\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦點坐標。答：由橢圓方程\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)知\(a^{2}=25\)，\(b^{2}=9\)，則\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=16\)，\(c=4\)。焦點在\(x\)軸上，所以焦點坐標為\((\pm4,0)\)。2.寫出雙曲線\(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\)的漸近線方程。答：對于雙曲線\(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\)，\(a=4\)，\(b=3\)，其漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)，即\(y=\pm\frac{3}{4}x\)。3.求拋物線\(y^{2}=12x\)的焦點坐標和準線方程。答：拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)形式，這里\(2p=12\)，\(p=6\)，焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)即\((3,0)\)，準線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)即\(x=-3\)。4.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{1}{2}\)，\(a=4\)，求\(b\)的值。答：由離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，\(a=4\)，可得\(c=2\)。又\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)，即\(4=16-b^{2}\)，解得\(b^{2}=12\)，所以\(b=2\sqrt{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論橢圓、雙曲線、拋物線在實際生活中的應用。答：橢圓應用于行星軌道等；雙曲線用于雷達探測區(qū)域等；拋物線用于探照燈、衛(wèi)星天線等，它們在不同領域發(fā)揮著重要作用，利用其幾何特性實現(xiàn)特定功能。2.分析橢圓和雙曲線的性質差異。答：橢圓離心率\(e\in(0,1)\)，到兩定點距離之和為定值；雙曲線離心率\(e\gt1\)，到兩定點距離之差的絕對值為定值。橢圓有封閉圖形，雙曲線是兩支。漸近線是雙曲線特有的性質，橢圓沒有。3.探討拋物線的焦點和準線的幾何意義。答：焦點是拋物線上的點到其距離與到準線距離相等的定點；準線與焦點配合定義拋物線，拋物線上點到焦點和準線距離相等這一性質，在光學、力學等方面有諸多應用，體現(xiàn)其重要幾何意義。4.當橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的離心率\(e\)變化時，橢圓形狀如何改變？答：當\(e\)趨近于\(0\)時，\(c\)趨近于\(0\)，\(a\)與\(b\)接近，橢圓趨近于圓；當\(e\)趨近于\(1\)時，\(c\)趨近于\(a\)，\(b\)趨近于\(0\)，橢圓