此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)達(dá)標(biāo)檢測(cè)卷數(shù)學(xué)（A）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知盒中裝有大小形狀完全相同的個(gè)紅球、個(gè)白球、個(gè)黑球．甲每次從中任取一球且不放回，則在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)第1次拿到白球?yàn)槭录?次拿到黑球?yàn)槭录瑒t，，則，故選C．2．設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可知：，解得，故選C．3．某學(xué)習(xí)小組有三名男生、三名女生共計(jì)六名同學(xué)，選出四人進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測(cè)試，這四人中所含女生人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，故選C．4．設(shè)某地胡柚（把胡柚近似看成球體）的直徑（單位：服從正態(tài)分布，則在隨機(jī)抽取的1000個(gè)胡柚中，直徑在內(nèi)的個(gè)數(shù)約為（）附：若，則，．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，，則．故直徑在內(nèi)的個(gè)數(shù)約為，故選B．5．氣象資料表明，某地區(qū)每年七月份刮臺(tái)風(fēng)的概率為，在刮臺(tái)風(fēng)的條件下，下大雨的概率為，則該地區(qū)七月份既刮臺(tái)風(fēng)又下大雨的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)某地區(qū)每年七月份刮臺(tái)風(fēng)為事件A，設(shè)某地區(qū)每年七月份下大雨為事件B，則該地區(qū)七月份既刮臺(tái)風(fēng)又下大雨為事件AB，由題得，，所以，所以，故選B．6．甲進(jìn)行3次投籃訓(xùn)練，甲每次投中目標(biāo)的概率為，則甲恰投中目標(biāo)2次的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】甲恰投中目標(biāo)2次的概率為，故選A．7．隨機(jī)變量X的分布列如表，則（）X01PA． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)隨機(jī)變量期望的計(jì)算公式，可得，所以方差為，故選B．8．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布定義可知它的圖像是關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)椋裕裕蔬xC．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，則（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】因?yàn)椋裕蔬xCD．10．已知隨機(jī)變量的分布列如下：其中、，若，則（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由分布列知，則，，，，所以，，，．因?yàn)椋裕裕蔬xAB．11．若隨機(jī)變量且，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，該正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是，，，，，，故選AD．12．如城鎮(zhèn)小汽車的普及率為，即平均每個(gè)家庭有個(gè)家庭擁有小汽車，若從如城鎮(zhèn)中任意選出個(gè)家庭，則下列結(jié)論成立的是（）A．這個(gè)家庭均有小汽車的概率為B．這個(gè)家庭中，恰有三個(gè)家庭擁有小汽車的概率為C．這個(gè)家庭平均有個(gè)家庭擁有小汽車D．這個(gè)家庭中，四個(gè)家庭以上(含四個(gè)家庭)擁有小汽車的概率為【答案】ACD【解析】由題得小汽車的普及率為，A．這個(gè)家庭均有小汽車的概率為，所以該命題是真命題；B．這個(gè)家庭中，恰有三個(gè)家庭擁有小汽車的概率為，所以該命題是假命題；C．這個(gè)家庭平均有個(gè)家庭擁有小汽車，是真命題；D．這個(gè)家庭中，四個(gè)家庭以上(含四個(gè)家庭)擁有小汽車的概率為，所以該命題是真命題，故選ACD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．袋中裝有完全相同的個(gè)小球，其中有紅色小球個(gè)，黃色小球個(gè)，如果不放回地依次摸出個(gè)小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是___．【答案】【解析】記事件第一次摸出紅球，事件第二次摸出紅球，則，，因此，，故答案為．14．若隨機(jī)變量的分布列如下表，且，則表中的值為_(kāi)______．【答案】【解析】由于概率之和為，則，，解得，故答案為．15．投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為，那么針尖向下的概率為．若連續(xù)擲一枚圖釘次，則至少出現(xiàn)次針尖向上的概率為_(kāi)________．【答案】【解析】投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為，針尖向下的概率為，∴連續(xù)擲一枚圖釘次，出現(xiàn)次針尖向上的概率為，出現(xiàn)次針尖向上的概率為，故至少出現(xiàn)次針尖向上的概率，故答案為．16．已知隨機(jī)變量的所有可能取值為、，其中，則________；當(dāng)取最小值時(shí)，________．【答案】，【解析】由分布列的性質(zhì)得，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故答案為；．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）甲、乙二人進(jìn)行一場(chǎng)比賽，該比賽采用三局兩勝制，即先獲得兩局勝利者獲得該場(chǎng)比賽勝利．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲獲勝的概率都為．在①，②，③中任選一個(gè)，若時(shí)，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為，求其分布列和期望．【答案】見(jiàn)解析．【解析】選①時(shí)，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、，則，，．隨機(jī)變量的分布列如下：則．選②時(shí)，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、，則，，．隨機(jī)變量的分布列如下：則．選③時(shí)，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、，則，，．隨機(jī)變量的分布列如下：則．18．（12分）甲、乙兩位同學(xué)各有張卡片，現(xiàn)以投擲一枚骰子的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)擲出奇數(shù)點(diǎn)時(shí)．甲贏得乙卡片一張，當(dāng)擲出偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，乙贏得甲卡片一張．規(guī)定投擲的次數(shù)達(dá)到次，或在此之前某人贏得對(duì)方所有卡片時(shí)，游戲終止．（1）設(shè)表示游戲終止時(shí)投擲的次數(shù)，求的分布列及期望；（2）求在投擲次游戲才結(jié)束的條件下，甲、乙沒(méi)有分出勝負(fù)的概率．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）．【解析】（1）可能取值為、、，，，．隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．（2）令投次沒(méi)分出勝負(fù)的事件為，投擲次游戲才結(jié)束為事件，投次能分出勝負(fù)的事件為，則，，，．19．（12分）年月日，中華蘇維埃共和國(guó)臨時(shí)中央政府根據(jù)中央革命軍事委員會(huì)月日的建議，決定月日為中國(guó)工農(nóng)紅軍成立紀(jì)念日，中華人民共和國(guó)成立后，將此紀(jì)念日改稱為中國(guó)人民解放軍建軍節(jié)．為慶祝建軍節(jié)，某校舉行“強(qiáng)國(guó)強(qiáng)軍”知識(shí)競(jìng)賽，該校某班經(jīng)過(guò)層層篩選，還有最后一個(gè)參賽名額要在，兩名學(xué)生中間產(chǎn)生，該班委設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)試方案：，兩名學(xué)生各自從個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取個(gè)問(wèn)題作答．已知這個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生能正確回答其中的個(gè)問(wèn)題，而學(xué)生能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為，，兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確與否都是相互獨(dú)立、互不影響的．（1）求恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率；（2）求恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率；（3）設(shè)答對(duì)題數(shù)為，答對(duì)題數(shù)為，若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）選擇投票給學(xué)生，詳見(jiàn)解析．【解析】（1），兩名學(xué)生各自從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答．這6個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生能正確回答其中的4個(gè)問(wèn)題，而學(xué)生能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為，，兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確與否都是相互獨(dú)立、互不影響的．恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率為．（2）恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率為．（3）所有可能的取值為1，2，3，；；，所以．由題意，隨機(jī)變量，所以，，，因?yàn)椋梢?jiàn)，與的平均水平相當(dāng)，但比的成績(jī)更穩(wěn)定．所以選擇投票給學(xué)生．20．（12分）某車站每天上午發(fā)出兩班客車，每班客車發(fā)車時(shí)刻和發(fā)車概率如下：第一班車：在，，發(fā)車的概率分別為，，；第二班車：在，，發(fā)車的概率分別為，，，兩班車發(fā)車時(shí)刻是相互獨(dú)立的，一位旅客到達(dá)車站乘車．求：（1）該旅客乘第一班車的概率；（2）該旅客候車時(shí)間（單位：分鐘）的分布列；（3）該旅客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析；（3）分鐘．【解析】（1）該旅客可能乘的車，也可能乘的車，這兩個(gè)時(shí)間乘車互斥，概率為．（2）該旅客候車時(shí)間設(shè)為，由題意的可能值依次為（單位：分鐘）：，，，在第一班車已經(jīng)發(fā)出的情況下，他只能乘第二班車，，，．分布列為：1030507090（3）由（2）得該旅客候車時(shí)間的期望值為：，∴旅客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望分鐘．21．（12分）一批用于手電筒的電池，每節(jié)電池的壽命服從正態(tài)分布（壽命單位：小時(shí)）．考慮到生產(chǎn)成本，電池使用壽命在內(nèi)是合格產(chǎn)品．（1）求一節(jié)電池是合格產(chǎn)品的概率（結(jié)果四舍五入，保留一位小數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)結(jié)果，若質(zhì)檢部門檢查節(jié)電池，記抽查電池合格的數(shù)量為，求隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，，．【解析】（1）一節(jié)電池是合格產(chǎn)品的概率為．（2）變量的值可能為0，1，2，3，4，變量服從二項(xiàng)分布，所以，，，，．則隨機(jī)變量的分布列為：01234則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，方差為．22．（12分）某大型超市抽查了100天該超市的日純利潤(rùn)數(shù)據(jù)，并將日純利潤(rùn)數(shù)據(jù)分成以下幾組（單位：萬(wàn)元）：，，，，，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：組別頻數(shù)以上述樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，解決下列問(wèn)題：（1）從該大型超市近幾年的銷售記錄中抽出5天，求其中日純利潤(rùn)在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)不少于2的概率；（2）該超市經(jīng)理由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該大型超市每天的純利潤(rùn)服從正態(tài)分布，其中，近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）．①試?yán)迷撜龖B(tài)分布，估計(jì)該大型超市1000天內(nèi)日純利潤(rùn)在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)（精確到個(gè)位）；②該大型超市負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的純利潤(rùn)給超市員工制定了兩種不同的獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案一：直接發(fā)放獎(jiǎng)金，日純利潤(rùn)低于時(shí)每名員工發(fā)放獎(jiǎng)金70元，日純利潤(rùn)不低于時(shí)每名員工發(fā)放獎(jiǎng)金90元；方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中日純利潤(rùn)不低于時(shí)每位員工均有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，日純利潤(rùn)低于時(shí)每位員工只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率分別為金額50元100元概率小張恰好為該大型超市的一名員工，則從數(shù)學(xué)期望的角度看，小張選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案更有利？參考數(shù)據(jù)：若，則，．【答案】（1）；（2）①約為819天；②獎(jiǎng)勵(lì)方案二