第05講圓（知識清單+11大題型+好題必刷）題型梳理題型梳理題型一圓的基本概念辨析題型二求過圓內一點的最長弦題型三圓的周長和面積問題題型四判斷點與圓的位置關系題型五利用點與圓的位置關系求半徑題型六三角形外接圓的概念辨析題型七求三角形外心坐標題型八求特殊三角形外接圓的半徑題型九判斷三角形外接圓的圓心位置題型十判斷確定圓的條件題型十一點與圓上一點的最值問題知識清單知識清單知識點1．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優弧，小于半圓的弧叫做劣弧．（3）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．知識點2．點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．知識點3．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．知識點4．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．題型方法題型方法【題型一】圓的基本概念辨析【例1】（2425九年級上·浙江寧波·開學考試）下列說法中，正確的是（

）．A．同心圓的周長相等 B．相等的圓心角所對的弧相等C．面積相等的圓是等圓 D．平分弧的弦一定經過圓心【舉一反三】1．（2425九年級上·浙江湖州·階段練習）已知是半徑為5的圓的一條弦，那么的長不可能是（

）A．1 B．5 C．3 D．11(1)求二次函數的解析式：【題型二】求過圓內一點的最長弦【例2】（2425九年級上·浙江寧波·開學考試）已知中最長的弦為，則的半徑為（

）．A．2 B．3 C．6 D．12【舉一反三】2．（2324九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，AB是半徑為2的的弦，點C是上的一個動點，若點M，N分別是AB，BC中點，則MN長的最大值是．

3．（2425九年級上·浙江金華·階段練習）請用無刻度的直尺在以下圖中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）【題型三】圓的周長和面積問題【例3】（2223九年級上·浙江金華·階段練習）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（

）A．π B．2π C．3π D．4π【舉一反三】1．（九年級上·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠ACB為銳角，分別以AB，AC為直徑作半圓，過點B，A，C作弧BAC，如圖所示．若AB=4，AC=2，圖中兩個新月形面積分別為S1，S2，兩個弓形面積分別為S3，S4，S1S2=，則S3S4的值是(

)

②把分成三條相等的線段，每個小圓的周長記作，③把分成四條相等的線段，每個小圓的周長，…④把分成條相等的線段，每個小圓的周長．分別求出，，；(2)類比探究：仿照（1）的探索過程，當把大圓直徑平均分成等分時，以每條線段為直徑畫小圓，求每個小圓的面積與大圓面積之間的關系．【題型四】判斷點與圓的位置關系A．外 B．上 C．內 D．不能確定【舉一反三】1．（2425九年級上·浙江杭州·期末）數軸上有點A、點B，點A表示實數6，點B表示實數b，半徑為4．若點A在內，則實數b的取值范圍是（

）A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜102．（2425九年級上·浙江杭州·期中）半徑為，點A到圓心O距離為，則A在．（填“上”、“外”或“內”）3．（2024·浙江紹興·二模）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點，，，在格點（兩條網格線的交點叫格點）上，以點為原點建立直角坐標系．(1)過，，三點的圓的圓心坐標為______；【題型五】利用點與圓的位置關系求半徑【例5】（2425九年級上·浙江杭州·期末）數軸上有點、點，點表示實數6，點表示實數，半徑為4，若點在內．則實數的取值范圍是（）【舉一反三】A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【題型六】三角形外接圓的概念辨析【例6】（2425九年級上·浙江寧波·期中）下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓B．三角形的外心是三角形三條角平分線的交點C．等弧就是長度相等的兩條弧D．圓中最長的弦是直徑【舉一反三】1．（2324九年級上·浙江紹興·期中）下列命題不正確的是（

）A．過一點有無數個圓B．過三點能作一個圓C．三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點D．直角三角形的外接圓的直徑為直角三角形的斜邊3．（2425九年級上·浙江杭州·期中）如圖，以已知線段為弦作⊙O，使其經過已知點C．利用直尺和圓規作圖（保留作圖痕跡，不必寫出作法）．【題型七】求三角形外心坐標【例7】（九年級上·浙江金華·階段練習）下列四個命題中，正確的有（

）A．圓的對稱軸是直徑 B．半徑相等的兩個半圓是等弧C．三角形的外心到三角形各邊的距離相等 D．經過三個點一定可以作圓【舉一反三】2．（九年級上·浙江衢州·期中）在直角坐標系中，拋物線y=ax2－4ax＋2(a>0)交y軸于點A，點B是點A關于對稱軸的對稱點，點C是拋物線的頂點，若△ABC的外接圓經過原點O，則a的值為．【題型八】求特殊三角形外接圓的半徑【舉一反三】2．（2324九年級上·浙江溫州·階段練習）已知直角三角形的斜邊長為，則該三角形的外接圓半徑為．【題型九】判斷三角形外接圓的圓心位置【例9】（2024·浙江臺州·二模）下列命題正確的是（

）A．同位角相等 B．平方根等于它本身的數是0C．對角線相等的四邊形是矩形 D．三角形的外心在三角形內部【舉一反三】A． B． C． D．【題型十】判斷確定圓的條件【舉一反三】1．（2425九年級上·浙江寧波·期中）下列事件中必然發生的事件是（

）A．一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等B．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數C．100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品D．經過任意三點一定可以畫一個圓2．（2223九年級上·浙江·單元測試）正方形的四個頂點和它的中心共5個點能確定個不同的圓．(1)在圖1中作出∠AHG＝∠C．(2)在圖2中作出∠AGH＝∠C．【題型十一】點與圓上一點的最值問題【舉一反三】(1)求點D的橫坐標（用含b的代數式表示）(3)在（2）的條件下，如圖2，P為OC的中點，在直線AC上取一點M，連接PM，作點C關于PM的對稱點N，①連接AN，求AN的最小值．②當點N落在拋物線的對稱軸上，求直線MN的函數表達式．好題必刷好題必刷一、單選題1．有下列四個命題，其中正確的有()①圓的對稱軸是直徑；②經過三個點一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等；④半徑相等的兩個半圓是等弧．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．三角形的外心是（

）．A．各內角的平分線的交點B．各邊中線的交點C．各邊垂線的交點D．各邊垂直平分線的交點3．如圖，圓環中內圓的半徑為米，外圈半徑比內圓半徑長1米，那么外圓周長比內圓周長長（

）A．在內 B．在上 C．在外 D．以上都有可能6．已知⊙P的半徑為5，圓心P的坐標為(1，2)，點Q的坐標為(0，5)，則點Q(

)A．在⊙P外 B．在⊙P上 C．在⊙P內 D．不能確定7．已知點A的坐標為A（3，4），⊙A的半徑為5，則原點O與⊙A的位置關系是（）A．點O在⊙A內 B．點O在⊙A上 C．點O在⊙A外 D．不能確定A． B． C． D．9．投擲飛鏢是大眾喜愛的一項游戲，如圖所示的標靶由一個中心圓和九個等寬的圓環組成，中心圓的半徑為1，每個圓環的寬度也為1（標靶的半徑為10）．則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題11．平面上不共線的四點，可以確定圓的個數為．12．叫做直徑.13．三角形的外接圓與外心（1）的三個點確定一個圓；（2）三角形的外接圓：經過三角形的三個的圓；（3）三角形的外心：三角形的圓心．它是三角形三邊的交點，到三角形三個的距離相等．15．如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DE=OB，∠AOC=74°，則∠E=．16．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A，B，C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是．三、解答題17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點D，求∠ACD的度數．18．如圖，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點C為圓心作⊙C，半徑為r．（1）當r取什么值時，點A在⊙C外？（2）當r取什么值時，點A在⊙C內，點B在⊙C外．

20．求下圖中圓的周長小石根據學習函數的經驗，對函數隨自變量的變化而變化的規律進行了探究．下面是小石的探究過程，請補充完整：(1)通過取點、畫圖、測量，