任意角的三角函數（第一課時）【學習者分析】在初中學生學習過銳角三角函數。因此本課的內容對于學生來說，有比較厚實的基礎，新課的引入會比較容易和順暢。學生要面對的新的學習問題是，角的概念推廣了，原先學生所熟悉的銳角三角函數的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發生是可能的，自然的。【教學目標】1知識與技能目標：理解任意角的正弦、余弦、正切函數的定義（包括定義域、正負符號判斷）；2過程與方法目標：通過從銳角三角函數定義過度到任意角三角函數定義的推廣過程，體驗三角函數概念的產生、發展過程.領悟直角坐標系的工具功能，豐富數形結合的經驗.3．情感、態度與價值觀目標：培養學生通過現象看本質的唯物主義認識論觀點，滲透事物相互聯系、相互轉化的辯證唯物主義世界觀.培養學生求真務實、實事求是的科學態度.【教學重點】任意角的正弦、余弦、正切函數的定義、定義域、（正負）符號判斷法.【教學難點】把三角函數理解為以實數為自變量的函數.【教學方法】教學中注意用新課程理念處理傳統教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.根據本節課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.【教學關鍵】如何想到建立直角坐標系；三個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）.【教學手段】計算機、投影儀．【教學過程】【回憶與探索】（情景1）OMP435師：上課，同學們好，相信剛剛三角函數版的小蘋果應該把同學們中午的困意都趕跑了，那接下來我們在來個熱身活動，看OMP435學生1：師：回答非常好，那你得出這個結果的依據是：生：三角函數定義？師：這三個三角函數分別是怎樣規定的？學生口述教師書寫對對邊鄰邊αsinα=，conα=，tanα=（圖1）（設計意圖：學生在初中學習了銳角的三角函數概念，現在學習任意角的三角函數，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數到實數的擴展）.溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，對銳角三角函數的復習就必不可少.）（情景2）師：我們已經把銳角推廣到了任意角，任意角是在直角坐標系下研究的，那么剛這個角能否放到直角坐標系下，怎么放？生：銳角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊落在第一象限師：非常好，那我們一起把他拖過去（演示課件），那么這時P點為終邊上一點，坐標為（3,4），P距O點距離為5，剛才的三角函數時恰好用了終邊上一點坐標來表示。這給我們表達銳角三角函數提供了新思路。師：當我們把一個銳角放入直角坐標系后，如果P點為終邊上任意一點，那三個三角函數值可以表示為？請同學完成學練稿問題1，（學生回答，教師板書，畫出直角坐標系及角的終邊上任意一點，觀察學生回答情況，進行引導，由學生給出定義）生：（坐標化）如圖，建立平面直角坐標系，設銳角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限．在的終邊上任取一點P，設點P的坐標為（x，y），它與原點的距離．過作軸的垂線，垂足為，則線段的長度為X，線段的長度為y．則：師;回答的非常棒。初中銳角三角定義在直角三角形中我們認定為“直角三角形版定義”，那么剛剛這個定義就可稱之為“直角坐標系版”看到這個定義啊讓人激動不已啊，這個定義好啊？誰來說說這個版本定義好在那里？生：用坐標師：好,這是革命性的突破啊，我們打破了三角函數的束縛，角終邊上的點開始翻身做主了，還有一個關鍵這個坐標P是任意的對嗎？意思是不是P點不論在哪都可以？生：是的師：問題來了，對于確定的角，P點變了，比值會不會改變？話句話說這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？為什么？追問：銳角α大小發生變化時，比值會改變嗎？（先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點O旋轉即α在銳角范圍內變化，三個比值隨之變化的直觀形象。結論是：比值隨α的變化而變化.xOxO·MPy（圖3）P′M′α探索發現：對于銳角α的每一個確定值，三個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.得出結論(強調)：當α為銳角時，三個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，三個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.）（情景3）師：看來影響函數值變化的是角，而不是點P位置，那么P點在什么位置時可以讓定義更簡潔？（引導：我們注意到比值是個分數……）生：r=1（設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。該問題與問題1結合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）預計的困難：由于學生第一次接觸單位圓，對它所能起的作用不了解，所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。根據相似三角形的知識，對于確定的角，三個比值不以點P在的終邊上的位置的改變而改變大小．我們可以將點P取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數：單位圓：在直角坐標系中，我們稱以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓稱為單位圓．師：上述P點就是的終邊與單位圓的交點，銳角的三角函數可以用單位圓上點的坐標表示．這個升級版定義是的定義表達式更加簡潔，這也是我們數學一直追求的，隨著后面學習，大家就會感受到這個定義絕不僅僅是簡潔。（情景4）推廣到任意角：以上三個版本我們定義的都是銳角，我們角的概念推廣之后范圍是范圍是全體實數R，那銳角范圍之外的教的三角函數該如何表示，比如1500角，“直角三角形版本”定義還能行嗎？那我們觀察一下升級版可以嗎？升級版不需要直角三角形（演示課件，隨著角的變化，引導學生分析，終邊有，交點就有，坐標有，三角函數值就有，此外觀察各象限三角函數值的正負變化，最終認可這個定義可以推廣到任意角。）（設計意圖：具體認識任意角的三角函數，突現本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數，請寫出任意角的三角函數的定義。那么學生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設計中再次強調要借助于單位圓，利用坐標，限定學生的思維，以免太發散。）結論：如圖，設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么：A(1,0)_OPA(1,0)_OP(x,y)yx（2）叫做的余弦(cosine)，記做，即；（3）叫做的正切(tangent)，記做，即．師：在上述三角函數定義中，自變量是什么？對應關系有什么特點，函數值是什么？（設計意圖：通過這樣的活動強化學生對任意角三角函數定義的理解，達到對概念的初步精致。）預計的困難：學生對三角函數的自變量認識可能會存在問題。教師的引導：引導學生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預計的答案：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）。說明：（1）當時，的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫坐標都等于，所以無意義，除此情況外，對于確定的值，上述三個值都是唯一確定的實數．（2）當是銳角時，此定義與初中定義相同；當不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數值．（3）正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，我們將這種函數統稱為三角函數．【展示與點撥】例1：求的正弦、余弦和正切值（設計意圖：鞏固對定義的理解。）口算：下列三角函數值分析：根據定義求解，先利用銳角三角函數知識求出點P的坐標，再根據定義求解。探究問題:請把三角函數值在各個象限的符號標出：（）+（）（）（）（）（）（）x（）（）x（）（）x發現：_____________________________________________________。三角函數的定義告訴我們，各三角函數在各象限內的符號，取決于x，y的符號，當點P在第一、二象限時，縱坐標y>0，點P在第三、四象限時，縱坐標y<0，所以正弦函數值對于第一、二象限角是正的，對于第三、四象限角是負的(可制作課件展示);同樣地，余弦函數在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負的;正切函數在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負的．從而完成上面探究問題．即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（設計意圖：判斷三角函數值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求.要引導學生抓住定義、數形結合判斷和記憶三角函數值的正負符號，并總結出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關鍵.）例2、不求值。你能判斷下列三角函數值的符號嗎？（1）；（2）；（3）【課堂小結】下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數，今天又學習了任意角的三角函數，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？（設計意圖：通過問題小結．不追求面面俱到，突出銳角三角函數是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．）若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數相等；各象限三角函數的符號；任意角三角函數的定義域，等．拓展1：3個數可以形成6個比值，為什么只